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缘起——我怎么就错了
“面积的变化”习题
图1是一块梯形地的平面图，比例尺是1：20000，量出图上的上底是1厘米，下底是2厘米，高是3厘米。这块地的实际面积是多少平方米？
顺生A所指，卷面上的解法简洁而干脆：（1+2）×3÷2=4？郾5（平方厘米），4？郾5×20000=90000（平方厘米）=9（平方米）。
困局——这种解法也没错
显然，前文结果与实际面积相差甚远，笔者在批阅试卷后发现错误率达28%。难道学生不会根据求得的结果做出辨析、判断正误吗？刚刚学完“面积的变化”一课，学生对面积的变化规律烂熟于胸：如果把一个图形按照n∶1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2∶1，或者说如果把一个图形的边扩大n倍，面积就扩大n2倍。
习题讲评时，笔者先呈现该题的正确解法：1×20000=20000（厘米）=200（米），2×20000=40000（厘米）=400（米），3×20000=60000（厘米）=600（米），（200+400）×600÷2=180000（平方米）。
笔者希望以正确的学生的思路，来“指正”那些“误解”的学生，过程顺畅而自然，全班学生都认为这种解法合情合理。但当笔者相机抛出生A的解法时，学生又认为生A的做法也符合基本思考方向，在方法上是大同小异的，这种解法并没有错。
学生们抛出了“最充分”的理由：一种方法是根据比例尺，把这三条边各扩大20000倍，先求出梯形地的上底、下底和高的实际长度，然后来求实际面积；生A的做法是先求出图上面积，然后把图上面积扩大20000倍，异曲同工，可为什么结果就不同了呢？僵局就此形成。
笔者思考，此种类型的问题已出现多次，大多是给出图上的长方形、正方形或圆形的平面图以及对应的比例尺，计算实际面积，相对比较简单。为此，笔者做了反复强调和硬性规定，要求先求出实际长度，再根据实际长度求实际面积。固定的解法，已成模式，学生求解也是得心应手。但是为什么要先求出实际长度，再求实际面积，却偶有涉及。笔者认为学习过“面积的变化“一课后，学生应该能明了其中的原委。
重构——基于学生思维的再认识
面对这样的“困局”，笔者重设教学路径开始了与学生的重新对话，以期突破面临的思维桎梏。
一、基础铺垫
出示习题
1. 一个长方形长是3厘米，宽是2厘米，把它的长和宽扩大2倍，面积扩大（ ）倍。
2. 把一个圆的半径扩大3倍，面积扩大（ ）倍。
二、呼应提升
1. 把一个边长是6厘米的正方形的边长扩大200倍，面积扩大多少倍？
2. 一块三角形果园，按1：300的比画在图纸上，底是4厘米，高是3厘米。实际面积是图上面积的多少倍？
师：你们觉得结果该是多少呢？
生：300倍。
生：不对，应该是90000倍。
生：我觉得应该先来算一算图上面积和实际面积，才能得到结果。
师：那我们不算能得到结果吗？
生：不用算！
师：说说你的想法。
生：这题，其实和前面的题目完全是同类型的，“按1∶300的比画在图纸上”，意思就是说实际长度是图上长度的300倍，不信，我可以换一种意思说——把一个底是4厘米，高是3厘米的三角形，扩大300倍，面积扩大多少倍？
师：到底扩大多少倍呢？
生：90000倍。
师：为什么呢？相信大家已经在完全理解这题的意思后，与我们早前学习的规律对应起来了。不过，下面我还是想请同学们通过计算验证下。
生：我先算出图上的面积，4×3÷2=6平方厘米；再计算实际的面积，先要把底和高扩大300倍，求出实际长度，（4×300）×（3×300）÷2=540000平方厘米，540000÷6=90000，确实是90000倍。
师：如果把一个图形的边扩大n倍，面积就扩大n2倍。我们再次进行了验证。
三、迁移拓展
师：那我们再回到那道梯形问题上来，大家还想说些什么？
生：求梯形地的实际面积，我们可以根据比例尺求出上底、下底和高的实际长度，再求实际面积。
师：那大家想对生A的解法说些什么呢？
生：你的方法不完善，按照我们的验证，根据面积的变化规律，求出了图上面积，应该把图上面积扩大200002倍才是梯形菜地的面积。所以你可以这样算——（1+2）×3÷2=4？郾5（平方厘米），4？郾5×20000×20000=1800000000（平方厘米）=180000（平方米）。
计算“这块梯形地的面积”，本是规律的顺承运用，可从平常基本的练习路径来看，较多的是涉及“把一个基本图形的边长扩大n倍，面积扩大多少倍？”而且n一般是在10以内的自然数。此种类型的题目，只要规律的简单套用，学生便能毫无困难地解决，但当面对上述“三角形果园”之例，学生接触不多，规律内化不够，出现生A般误解也在常理之中。“求出图上面积，再根据比例尺求出实际面积”，实际上是忽略了规律自身的内核，本质上是对规律内在的联系不甚通晓，也可以说是思维纽带的断裂。
启示——重新演绎故事里的“事”
通过此例，笔者思考，日常还是缺少教与学之间的一份应然通融，未能促成学生凌空而悬的思维真正“着陆”。
1. 突破“我要的是葫芦”的狭隘短见。
明明是学生在学习中会遇到的“盲点”，思考中遇阻的“断层”，教师在教学中却视而不见，为追求结果不关注细节，正是教师平常的教学活动中频繁发生的案例，以己度人，却忽略了学生是需要我们关照而拔节成长的。“先求出图上面积，再把图上面积扩大20000倍就可以求出梯形地的实际面积”，印证了病症所在。边线变而面积变，虽有规律护航，但规律的形成需要一个实实在在的“探理”过程。规律掌握但应用混乱，归根结底，是规律未能形成思维，自然不能加以有效应用。教学应该在充分的预设中，正视学生的困难，做到在预见中遇见，让学生经历自己的研究和探索过程，通过必要的变式，尝试“磨研思辨”的全方位验证，把知识前后贯通起来，把问题的解决当作锤炼思维的提升过程，演绎出新版的“我要的是葫芦”的动人故事。
2. 无惧“亡羊补牢”救赎。
教师大都会在自己“固有”思维的认识下，使课堂偏离教学预期，收到适得其反的效果，这并不可怕，教师需要做的是及时反思自己的教学行为，调整自身的教学策略，深入透彻地认知知识的生发点和联结点，同时跟进学生的思维动向，了解他们的学习起点，在学生的思维盲点、知识断层处，相机架起贯通的桥梁，教与学就不会脱节，练与用也能趋于相承有度。智者无惧，“亡羊补牢”未尝不是一个教师的励志故事。
教师，需要用审慎的态度，直面学生；教学，需要理性地走进课堂，紧随学生左右，切准学生思维的韵律前行。
（作者单位：江苏省常州市武进区潘家小学）
“面积的变化”习题
图1是一块梯形地的平面图，比例尺是1：20000，量出图上的上底是1厘米，下底是2厘米，高是3厘米。这块地的实际面积是多少平方米？
顺生A所指，卷面上的解法简洁而干脆：（1+2）×3÷2=4？郾5（平方厘米），4？郾5×20000=90000（平方厘米）=9（平方米）。
困局——这种解法也没错
显然，前文结果与实际面积相差甚远，笔者在批阅试卷后发现错误率达28%。难道学生不会根据求得的结果做出辨析、判断正误吗？刚刚学完“面积的变化”一课，学生对面积的变化规律烂熟于胸：如果把一个图形按照n∶1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2∶1，或者说如果把一个图形的边扩大n倍，面积就扩大n2倍。
习题讲评时，笔者先呈现该题的正确解法：1×20000=20000（厘米）=200（米），2×20000=40000（厘米）=400（米），3×20000=60000（厘米）=600（米），（200+400）×600÷2=180000（平方米）。
笔者希望以正确的学生的思路，来“指正”那些“误解”的学生，过程顺畅而自然，全班学生都认为这种解法合情合理。但当笔者相机抛出生A的解法时，学生又认为生A的做法也符合基本思考方向，在方法上是大同小异的，这种解法并没有错。
学生们抛出了“最充分”的理由：一种方法是根据比例尺，把这三条边各扩大20000倍，先求出梯形地的上底、下底和高的实际长度，然后来求实际面积；生A的做法是先求出图上面积，然后把图上面积扩大20000倍，异曲同工，可为什么结果就不同了呢？僵局就此形成。
笔者思考，此种类型的问题已出现多次，大多是给出图上的长方形、正方形或圆形的平面图以及对应的比例尺，计算实际面积，相对比较简单。为此，笔者做了反复强调和硬性规定，要求先求出实际长度，再根据实际长度求实际面积。固定的解法，已成模式，学生求解也是得心应手。但是为什么要先求出实际长度，再求实际面积，却偶有涉及。笔者认为学习过“面积的变化“一课后，学生应该能明了其中的原委。
重构——基于学生思维的再认识
面对这样的“困局”，笔者重设教学路径开始了与学生的重新对话，以期突破面临的思维桎梏。
一、基础铺垫
出示习题
1. 一个长方形长是3厘米，宽是2厘米，把它的长和宽扩大2倍，面积扩大（ ）倍。
2. 把一个圆的半径扩大3倍，面积扩大（ ）倍。
二、呼应提升
1. 把一个边长是6厘米的正方形的边长扩大200倍，面积扩大多少倍？
2. 一块三角形果园，按1：300的比画在图纸上，底是4厘米，高是3厘米。实际面积是图上面积的多少倍？
师：你们觉得结果该是多少呢？
生：300倍。
生：不对，应该是90000倍。
生：我觉得应该先来算一算图上面积和实际面积，才能得到结果。
师：那我们不算能得到结果吗？
生：不用算！
师：说说你的想法。
生：这题，其实和前面的题目完全是同类型的，“按1∶300的比画在图纸上”，意思就是说实际长度是图上长度的300倍，不信，我可以换一种意思说——把一个底是4厘米，高是3厘米的三角形，扩大300倍，面积扩大多少倍？
师：到底扩大多少倍呢？
生：90000倍。
师：为什么呢？相信大家已经在完全理解这题的意思后，与我们早前学习的规律对应起来了。不过，下面我还是想请同学们通过计算验证下。
生：我先算出图上的面积，4×3÷2=6平方厘米；再计算实际的面积，先要把底和高扩大300倍，求出实际长度，（4×300）×（3×300）÷2=540000平方厘米，540000÷6=90000，确实是90000倍。
师：如果把一个图形的边扩大n倍，面积就扩大n2倍。我们再次进行了验证。
三、迁移拓展
师：那我们再回到那道梯形问题上来，大家还想说些什么？
生：求梯形地的实际面积，我们可以根据比例尺求出上底、下底和高的实际长度，再求实际面积。
师：那大家想对生A的解法说些什么呢？
生：你的方法不完善，按照我们的验证，根据面积的变化规律，求出了图上面积，应该把图上面积扩大200002倍才是梯形菜地的面积。所以你可以这样算——（1+2）×3÷2=4？郾5（平方厘米），4？郾5×20000×20000=1800000000（平方厘米）=180000（平方米）。
计算“这块梯形地的面积”，本是规律的顺承运用，可从平常基本的练习路径来看，较多的是涉及“把一个基本图形的边长扩大n倍，面积扩大多少倍？”而且n一般是在10以内的自然数。此种类型的题目，只要规律的简单套用，学生便能毫无困难地解决，但当面对上述“三角形果园”之例，学生接触不多，规律内化不够，出现生A般误解也在常理之中。“求出图上面积，再根据比例尺求出实际面积”，实际上是忽略了规律自身的内核，本质上是对规律内在的联系不甚通晓，也可以说是思维纽带的断裂。
启示——重新演绎故事里的“事”
通过此例，笔者思考，日常还是缺少教与学之间的一份应然通融，未能促成学生凌空而悬的思维真正“着陆”。
1. 突破“我要的是葫芦”的狭隘短见。
明明是学生在学习中会遇到的“盲点”，思考中遇阻的“断层”，教师在教学中却视而不见，为追求结果不关注细节，正是教师平常的教学活动中频繁发生的案例，以己度人，却忽略了学生是需要我们关照而拔节成长的。“先求出图上面积，再把图上面积扩大20000倍就可以求出梯形地的实际面积”，印证了病症所在。边线变而面积变，虽有规律护航，但规律的形成需要一个实实在在的“探理”过程。规律掌握但应用混乱，归根结底，是规律未能形成思维，自然不能加以有效应用。教学应该在充分的预设中，正视学生的困难，做到在预见中遇见，让学生经历自己的研究和探索过程，通过必要的变式，尝试“磨研思辨”的全方位验证，把知识前后贯通起来，把问题的解决当作锤炼思维的提升过程，演绎出新版的“我要的是葫芦”的动人故事。
2. 无惧“亡羊补牢”救赎。
教师大都会在自己“固有”思维的认识下，使课堂偏离教学预期，收到适得其反的效果，这并不可怕，教师需要做的是及时反思自己的教学行为，调整自身的教学策略，深入透彻地认知知识的生发点和联结点，同时跟进学生的思维动向，了解他们的学习起点，在学生的思维盲点、知识断层处，相机架起贯通的桥梁，教与学就不会脱节，练与用也能趋于相承有度。智者无惧，“亡羊补牢”未尝不是一个教师的励志故事。
教师，需要用审慎的态度，直面学生；教学，需要理性地走进课堂，紧随学生左右，切准学生思维的韵律前行。
（作者单位：江苏省常州市武进区潘家小学）