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有些学生对一些知识迟迟不开窍,但经过一段时间后,突然间会豁然开朗起来,究其原因,就在于他们懂得逐步将获得的点滴经验提炼升华,概括到了一定的时候,就形成了质的飞跃.这种变化不是单靠传授获取的,而是靠不断积累而成的.如何引导学生积极主动地去探索、概括解题规律呢?
1. 多题归一,形成题链
教学中普遍存在这样的问题:课上教师大容量地灌输知识内容,不断抛出有用的结论,而忽视知识产生的过程,课后进行大运动量的训练.结果是学生花了大量的时间而收获甚少.由于没有掌握解题的规律,学生只能生搬硬套地模仿,而根本不能灵活应对同类的变式题.所以,在课堂教学中教师要对同类型的题目有意识地设计成有层次、有梯度的系列问题,形成题链,让学生探究,寻找规律性的方法.
如在一节求轨迹方程的习题课中,我设计了下面的问题:
例1已知一个椭圆,F为左焦点,A为椭圆上一动点,求线段FA的中点M的轨迹方程.
先让学生在课堂上独立思考.学生讨论交流得出多种解法后,我继续提出下面的问题让他们进一步思考:
(1)若将题目中的椭圆改为双曲线、抛物线、相应的轨迹是什么?可采用哪些方法求解?
(2)若将题中的焦点改为坐标平面上一定点,曲线分别为椭圆、双曲线、抛物线、两相交(平行)直线,结果又如何?
(3)若将弦AB中点改为弦的一个定比分点,则轨迹又是什么?可用哪些方法去探求?
(4)将过定点的弦改为定向的弦(即平行弦)或具有定长的弦,又如何求解?
在学生解答问题后,教师再进一步把特例纳入学生已知的更一般的范围,就能加深他们对已知的有关规律的认识或从孤立、特殊的解法中看出更一般的尚未知的规律,从特殊推广到一般.
2. 一题多探,发散思维
在讲解三角函数求值的一节时,我以课本的例题为研究问题的出发点,指导学生从特殊到一般,作有意义的引申、扩充、探究,从而归纳出一类问题的解法.我先让学生观察两道求值题:
例2 (1)sin210°+cos240°+
sin10°cos40°;
(2)cos264°+cos256°+cos64°cos56°.
探究1:两题的答案都是,是偶然的巧合,还是有规律?
让学生进行小组讨论,通过交流发现规律:
当α+β=60°时,sin2α+sin2β+sinαsinβ=,当α+β=120°时,cos2α+cos2β+cosαcosβ=.
当探究1的问题得以解答后,学生的求知欲只是得到暂时的满足.若能在此基础上对条件或结论改造,启发引导学生发现并提出新问题,就能更好地培养学生的创造性思维能力,所以我接着提出:
探究2:能否改变式子的结构,使它成为一个没有条件限制的恒等式呢?
学生通过讨论得出结论:
sin2α+sin2β+2sinαsinβcos(α+β)=sin2(α+β),
cos2α+cos2β+2cosαcosβcos(α+β)=sin2(α+β),
在得出此结论后,学生探究问题的积极性大大提高,当时就有学生提出这样的问题:
探究3:若上式中α、β分别为三角形的角A、B,则有什么结论呢?
问得好!我鼓励学生课后继续研究,最后在我的指导下,学生得到结论:
若A,B,C为三角形的两个角,则有:
cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcos
BcosC=1.
通过从一道三角题探究出同一类三角求值题,又从一类三角求值题联想到另一类有关三角形的求值题,极大地扩大了学生思维空间,锻炼了思维能力.整个探究过程,学生讨论热烈,将问题推向更深的层次,有利于培养学生的立体思维.
3. 一题多变,拓宽视野
由一个基本问题演变出互相关联的问题链使学生学一道题,会一类题,有助于学生掌握解决这类问题的规律,掌握数学问题设计的真正结构,并使原有的孤立的零碎的知识系统化起来,促进对知识整体的认知.
例如在教学解不等式时,我先由一个解基本的不等式问题引入:
例3解不等式│x2+2x-5│<3.
变式1解不等式│x2-4x-3│<2x.
变式2解不等式x+1<│x2+3x+1│.
变式3解不等式│x-1│>│5x+3
变式4解不等式│x+1│+│x-7│≥1.
变式5不等式│x-2│+│x-5│ 变式6对任意x∈R,不等式│x-6│+│x-9│≥a恒成立,求实数a的取值范围.
变式7若f(x)=│x-a│+│3-x的最小值是2,求a的值.
这里由一个基本问题演变出七个不同的问题,形成了问题链,使学生学一道题,会一类题,做一道题,会一串题,有助于学生掌握解决这类题的规律,较好地强化思维训练.
责任编辑 罗 峰
1. 多题归一,形成题链
教学中普遍存在这样的问题:课上教师大容量地灌输知识内容,不断抛出有用的结论,而忽视知识产生的过程,课后进行大运动量的训练.结果是学生花了大量的时间而收获甚少.由于没有掌握解题的规律,学生只能生搬硬套地模仿,而根本不能灵活应对同类的变式题.所以,在课堂教学中教师要对同类型的题目有意识地设计成有层次、有梯度的系列问题,形成题链,让学生探究,寻找规律性的方法.
如在一节求轨迹方程的习题课中,我设计了下面的问题:
例1已知一个椭圆,F为左焦点,A为椭圆上一动点,求线段FA的中点M的轨迹方程.
先让学生在课堂上独立思考.学生讨论交流得出多种解法后,我继续提出下面的问题让他们进一步思考:
(1)若将题目中的椭圆改为双曲线、抛物线、相应的轨迹是什么?可采用哪些方法求解?
(2)若将题中的焦点改为坐标平面上一定点,曲线分别为椭圆、双曲线、抛物线、两相交(平行)直线,结果又如何?
(3)若将弦AB中点改为弦的一个定比分点,则轨迹又是什么?可用哪些方法去探求?
(4)将过定点的弦改为定向的弦(即平行弦)或具有定长的弦,又如何求解?
在学生解答问题后,教师再进一步把特例纳入学生已知的更一般的范围,就能加深他们对已知的有关规律的认识或从孤立、特殊的解法中看出更一般的尚未知的规律,从特殊推广到一般.
2. 一题多探,发散思维
在讲解三角函数求值的一节时,我以课本的例题为研究问题的出发点,指导学生从特殊到一般,作有意义的引申、扩充、探究,从而归纳出一类问题的解法.我先让学生观察两道求值题:
例2 (1)sin210°+cos240°+
sin10°cos40°;
(2)cos264°+cos256°+cos64°cos56°.
探究1:两题的答案都是,是偶然的巧合,还是有规律?
让学生进行小组讨论,通过交流发现规律:
当α+β=60°时,sin2α+sin2β+sinαsinβ=,当α+β=120°时,cos2α+cos2β+cosαcosβ=.
当探究1的问题得以解答后,学生的求知欲只是得到暂时的满足.若能在此基础上对条件或结论改造,启发引导学生发现并提出新问题,就能更好地培养学生的创造性思维能力,所以我接着提出:
探究2:能否改变式子的结构,使它成为一个没有条件限制的恒等式呢?
学生通过讨论得出结论:
sin2α+sin2β+2sinαsinβcos(α+β)=sin2(α+β),
cos2α+cos2β+2cosαcosβcos(α+β)=sin2(α+β),
在得出此结论后,学生探究问题的积极性大大提高,当时就有学生提出这样的问题:
探究3:若上式中α、β分别为三角形的角A、B,则有什么结论呢?
问得好!我鼓励学生课后继续研究,最后在我的指导下,学生得到结论:
若A,B,C为三角形的两个角,则有:
cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcos
BcosC=1.
通过从一道三角题探究出同一类三角求值题,又从一类三角求值题联想到另一类有关三角形的求值题,极大地扩大了学生思维空间,锻炼了思维能力.整个探究过程,学生讨论热烈,将问题推向更深的层次,有利于培养学生的立体思维.
3. 一题多变,拓宽视野
由一个基本问题演变出互相关联的问题链使学生学一道题,会一类题,有助于学生掌握解决这类问题的规律,掌握数学问题设计的真正结构,并使原有的孤立的零碎的知识系统化起来,促进对知识整体的认知.
例如在教学解不等式时,我先由一个解基本的不等式问题引入:
例3解不等式│x2+2x-5│<3.
变式1解不等式│x2-4x-3│<2x.
变式2解不等式x+1<│x2+3x+1│.
变式3解不等式│x-1│>│5x+3
变式4解不等式│x+1│+│x-7│≥1.
变式5不等式│x-2│+│x-5│
变式7若f(x)=│x-a│+│3-x的最小值是2,求a的值.
这里由一个基本问题演变出七个不同的问题,形成了问题链,使学生学一道题,会一类题,做一道题,会一串题,有助于学生掌握解决这类题的规律,较好地强化思维训练.
责任编辑 罗 峰