论文部分内容阅读
【摘 要】数学家盖尔鲍姆说过：“一个数学问题如果用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好戏剧。”在教学中利用反例可以有效地激发学生的求知欲，通过反例能使学生加深对基础知识的理解。反例不但是纠正错误的常用方法，而且是发现问题的重要途径，通过反例的构造可以培养学生的发散性思维和创造思维。综合运用反例，不仅可以达到以反辅正、殊途同归的目的，而且能很好地培养和训练学生的反向思维能力。
【关键词】反例；构造；思维逻辑；推导
在数学发展史中，有很多著名的命题从正面百思不得其解，而举反例使问题得到了解决，反例与证明具有同等重要的地位。当我们要证明某一命题成立时，必须经过严密的逻辑推导，而否定这个命题，通过列举出与这个命题结论相矛盾的例子，即举反例就可以了。举反例往往会收到事半功倍的效果。
一、数学反例及其应用
所谓数学中的反例,是指符合某个命题条件，而又不符合该命题结论的例子。简单的说，反例是一种指出某命题不成立的例子。数学讲究逻辑，证明要言必有据。但是世上所谓“证明”，其目的是为了说服别人相信某个真理，而说服人的方法有许多种，其中就有举反例。若举不出反例，则该事不能不真，相反，若举出了反例，则该事必为假。
例：在一个三角形中，内切圆的半径为r，外切圆的半径为R，最长的高为H，则r +R≤H。
分析：要证明此问题，从正面不容易下手，但是我们可以画出图像加以分析然后构造反例。举特殊化的例子：若这个三角形为等边三角形，则r=H／3,R=2H／3,于是上述结论正确。
二、反例在数学教学中的功能
1.反例是使学生加深理解概念的重要工具
数学概念是中学数学教学的重要内容，是思维的细胞。学好数学概念是学好中学数学知识，提高数学思维能力的基础。所以，加强数学概念的学习是中学数学教学的重要任务。事实上，现实中的中学教学的概念教学不尽人意。学生往往对数学概念缺少深刻的理解。就数学教学而言，素质教育提倡的是为理解而教。教学上需要用不同的策略处理，用不同的理论指导。就数学学习的内容而言，常规训练是否对概念形成有作用，是否有利于理解领会，还需要从内容方面剖析概念形成的过程，要构造自己理解的概念，从而达到学习目的。
在初二学习函数定义时：在某一变化过程中,存在两个变量x，y。当变量x在某一允许变化范围内任取一个值。通过某种对应法则，使得都有唯一的y值与之对应，则称y是x 的函数，记作y=f(x)。其中x叫做自变量，y叫因变量。
表面上，同学们都认为这个定义不需要解释也能明白、理解。仔细分析下来，很多学生对上述定义中“任取”和“唯一”这两个词语理解不透。于是教师就在此处引用几个反例来说明所谓“任取”和“唯一”所指的具体含义。
2.反例是否定命题的重要方法
由于反例在否定一个命题时具有特殊的重要意义。因此在教学中充分利用反例的这一特点适当地运用反例，可以收到事半功倍的效果。
例如：要说明“两个无理数的积仍是无理数”的结论成立，只要举出一个相反的例子驳斥它就可以了。如:因为2×=6，而6不是无理数，故这个结论不成立。
3.反例是数学思维能力培养的重要手段
利用反例,可使学生克服思维定势，有利于培养思维的灵活性。在教学过程中，学生在教师习惯性程序的影响下容易形成固定的思维模式,即定势。思维定势对解决相同类型的问题有积极的作用，而对解决变形的问题则会起到消极作用。思维定势是客观的存在，学生的认识过程是在现有的定势上發生的。举反例就是一种解决问题有效的数学思维方法。利用反例，克服思维定势，抑制产生负迁移，有助于培养思维的灵活性。
例：一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的充要条件是△≥0。
分析：在实数范围内这是对的，但在复数范围内这是错误的。由此，可举反例：
①ix2+i=0?圯x=+i或-i，其判别式△=02-4i2＞0。
②ix2-i=0?圯x=±1，其判别式△＜02+4i2<0。
所以对复系数一元二次方程，△≥0既不是方程有实根的充分条件，也不是方程有实根的必要条件。由此可见,囿于定势会产生墨守成规、机械记忆等负面效应，此时举反例恰恰是解决这一弊端的有力方法。
三、历史上伟大的反例构造
在数学的发展史中，数学家一直猜想：“连续函数在其定义区间中，不可导点是有限的。”许多年来数学家们一直认为这是个正确的结论，但是一直未能给出相应的证明！直到后来我们伟大的数学家Weierstrass在1872年构造出了一个处处连续又处处不可导的函数，为上述猜想做了一个否定的终结：
f(x)=ancos(bnx) 01
反例的构造是一种非常重要的数学技能，由于数学本身的抽象性，使得反例的构造不是一件轻而易举的事情，所以我们在教学过程中应重在展示反例构造的思维过程，经常进行训练！当然这不是一件简单容易的事情，需要长期不断地努力和探索！
四、结束语
本文阐述了数学中反例及其应用，同时也收集了一些与教材相关的重要反例，它使我们体会到用反例来解决一些数学问题带给人的愉悦感，也让我们意识到反例在教学中具有不可忽视的作用。适当的应用反例可提高教学质量，同时也能促进学生思维能力的发展。
【参考文献】
[1]方初宝：数学分析选讲[M]，南宁：广西人民出版社，1986-86-152
[2]席振伟：数学思维方式[M]，南京，江苏教育出版社，1995
[3]罗增儒：数学解题学引证[M]，西安，陕西师范大学出版社，1997
[4]沈山剑：教育实践研究2002（1）-46-47
（作者单位：四川省广安市五福初级中学）
【关键词】反例；构造；思维逻辑；推导
在数学发展史中，有很多著名的命题从正面百思不得其解，而举反例使问题得到了解决，反例与证明具有同等重要的地位。当我们要证明某一命题成立时，必须经过严密的逻辑推导，而否定这个命题，通过列举出与这个命题结论相矛盾的例子，即举反例就可以了。举反例往往会收到事半功倍的效果。
一、数学反例及其应用
所谓数学中的反例,是指符合某个命题条件，而又不符合该命题结论的例子。简单的说，反例是一种指出某命题不成立的例子。数学讲究逻辑，证明要言必有据。但是世上所谓“证明”，其目的是为了说服别人相信某个真理，而说服人的方法有许多种，其中就有举反例。若举不出反例，则该事不能不真，相反，若举出了反例，则该事必为假。
例：在一个三角形中，内切圆的半径为r，外切圆的半径为R，最长的高为H，则r +R≤H。
分析：要证明此问题，从正面不容易下手，但是我们可以画出图像加以分析然后构造反例。举特殊化的例子：若这个三角形为等边三角形，则r=H／3,R=2H／3,于是上述结论正确。
二、反例在数学教学中的功能
1.反例是使学生加深理解概念的重要工具
数学概念是中学数学教学的重要内容，是思维的细胞。学好数学概念是学好中学数学知识，提高数学思维能力的基础。所以，加强数学概念的学习是中学数学教学的重要任务。事实上，现实中的中学教学的概念教学不尽人意。学生往往对数学概念缺少深刻的理解。就数学教学而言，素质教育提倡的是为理解而教。教学上需要用不同的策略处理，用不同的理论指导。就数学学习的内容而言，常规训练是否对概念形成有作用，是否有利于理解领会，还需要从内容方面剖析概念形成的过程，要构造自己理解的概念，从而达到学习目的。
在初二学习函数定义时：在某一变化过程中,存在两个变量x，y。当变量x在某一允许变化范围内任取一个值。通过某种对应法则，使得都有唯一的y值与之对应，则称y是x 的函数，记作y=f(x)。其中x叫做自变量，y叫因变量。
表面上，同学们都认为这个定义不需要解释也能明白、理解。仔细分析下来，很多学生对上述定义中“任取”和“唯一”这两个词语理解不透。于是教师就在此处引用几个反例来说明所谓“任取”和“唯一”所指的具体含义。
2.反例是否定命题的重要方法
由于反例在否定一个命题时具有特殊的重要意义。因此在教学中充分利用反例的这一特点适当地运用反例，可以收到事半功倍的效果。
例如：要说明“两个无理数的积仍是无理数”的结论成立，只要举出一个相反的例子驳斥它就可以了。如:因为2×=6，而6不是无理数，故这个结论不成立。
3.反例是数学思维能力培养的重要手段
利用反例,可使学生克服思维定势，有利于培养思维的灵活性。在教学过程中，学生在教师习惯性程序的影响下容易形成固定的思维模式,即定势。思维定势对解决相同类型的问题有积极的作用，而对解决变形的问题则会起到消极作用。思维定势是客观的存在，学生的认识过程是在现有的定势上發生的。举反例就是一种解决问题有效的数学思维方法。利用反例，克服思维定势，抑制产生负迁移，有助于培养思维的灵活性。
例：一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的充要条件是△≥0。
分析：在实数范围内这是对的，但在复数范围内这是错误的。由此，可举反例：
①ix2+i=0?圯x=+i或-i，其判别式△=02-4i2＞0。
②ix2-i=0?圯x=±1，其判别式△＜02+4i2<0。
所以对复系数一元二次方程，△≥0既不是方程有实根的充分条件，也不是方程有实根的必要条件。由此可见,囿于定势会产生墨守成规、机械记忆等负面效应，此时举反例恰恰是解决这一弊端的有力方法。
三、历史上伟大的反例构造
在数学的发展史中，数学家一直猜想：“连续函数在其定义区间中，不可导点是有限的。”许多年来数学家们一直认为这是个正确的结论，但是一直未能给出相应的证明！直到后来我们伟大的数学家Weierstrass在1872年构造出了一个处处连续又处处不可导的函数，为上述猜想做了一个否定的终结：
f(x)=ancos(bnx) 0
反例的构造是一种非常重要的数学技能，由于数学本身的抽象性，使得反例的构造不是一件轻而易举的事情，所以我们在教学过程中应重在展示反例构造的思维过程，经常进行训练！当然这不是一件简单容易的事情，需要长期不断地努力和探索！
四、结束语
本文阐述了数学中反例及其应用，同时也收集了一些与教材相关的重要反例，它使我们体会到用反例来解决一些数学问题带给人的愉悦感，也让我们意识到反例在教学中具有不可忽视的作用。适当的应用反例可提高教学质量，同时也能促进学生思维能力的发展。
【参考文献】
[1]方初宝：数学分析选讲[M]，南宁：广西人民出版社，1986-86-152
[2]席振伟：数学思维方式[M]，南京，江苏教育出版社，1995
[3]罗增儒：数学解题学引证[M]，西安，陕西师范大学出版社，1997
[4]沈山剑：教育实践研究2002（1）-46-47
（作者单位：四川省广安市五福初级中学）