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摘要：“概率论”是高校理工科学生的一门十分重要的课程，不仅是后续课程学习的基础，也在生活实践的各个方面具有广泛应用。结合“概率论”课程的教学实践，探讨对该课程在教学思想和教学方法方面的思考与体会。
关键词：概率论；教学；随机性；兴趣
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）21-0091-02
“概率论”不仅是各后续课程学习的必要基础，也在金融投资、保险精算、医学研究、生物统计以及工程技术等方面有着广泛的应用。不同于其他的数学课程，概率论主要研究的是随机现象和随机事件，这就导致概率论在思维方式和研究方法上与以往确定性数学有很大的不同。笔者在近几年的教学过程中发现，学生在学习概率论时常常反应难度较大。究其原因在于：一是概率论的学习需要从思维方式上做到从确定性思维到随机性思维的转变，而学生学习时思维局限于基础数学的领域，缺乏随机思想和随机观念，导致接受知识很困难；二是基本概念抽象复杂，不易理解，思想方法独特，理论性强，遇到实际问题思维难以展开；三是微积分的基础不好，对概率论的学习兴致不高。作为从事“概率论”教学的教师，都会面临“教师如何教”“学生如何学”的问题，为此本文针对该课程的教学思想和教学方法进行了探讨。
一、在教学中注重随机观念的树立与培养
概率论的研究对象是随机现象的统计规律性。由于随机现象的发生带有不确定性，不能用简单的因果关系进行描述，这对于习惯于运用确定性思维和工具进行研究的学生来说是一个难题。因此在教学中应注重随机观念的树立与培养，引导学生从传统的确定性思维方式进入随机性思维方式，是“概率论”教学顺利开展要解决的课题。
1.充分理解随机现象的含义，正确把握偶然与必然的关系
随机现象是在一定条件下可能发生，也可能不发生的现象。随机现象发生的条件与结果之间不再具有逻辑上的因果关系，这是与确定性现象的本质区别。但是，尽管在一次试验中，随机现象的发生具有偶然性，但在大量的试验中随机现象的发生又具有一定的规律性，寻找这一规律是研究随机现象的目的。在确定性思维的影响下，学生会以为通过对随机现象的研究，可以使原先无法预知的结果变得可预知。而随机现象的本质特点就在于结果的偶然性，无论研究与否，随机现象的这一本质特点都不会改变。也就是说，随机现象的随机性不会因为人们掌握其规律性而改变。因此教学中需要通过实例让学生充分理解随机现象各结果发生的偶然性以及大量重复试验中随机现象所呈现出来的统计规律性之间的辩证关系。
2.通过对比分析正确理解概率的定义，增强对随机概念的理解
随机事件的概率是对事件发生可能性的度量。在教学中引入概率的概念时，通常会涉及四种定义：统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义。概率的统计定义是从试验角度出发，将大量试验中事件频率的稳定值作为一次试验中事件可能性大小的度量。概率的统计定义对试验不做任何要求，也比较直观，但是在数学上很不严密。在实际中不可能对每一个事件都做大量的实验，求得频率，然后用频率估计概率。概率的古典定义是从分析角度出发，针对古典概率模型给出的计算概率的方法。古典定义要求试验满足有限性和等可能性，这使得古典定义在实际应用中有很大的局限性。概率的几何定义是从测度的角度给出定义，虽然去掉了有限性的限制，但仍要求试验满足等可能性，这在实际问题中仍有很大的局限性。例如，掷一枚均匀的硬币，这样的实验就不具有等可能性，古典定义和几何定义都不适用。概率的公理化定义是通过规定概率应具备的基本性质来定义概率，是严密的数学定义，对各种情况也都适用，但缺点是它没有给出计算事件概率的具体方法。概率的这些不同定义容易使学生产生困惑，到底概率是一个近似的数还是一个精确的数，是通过实验估计还是通过计算分析得到。实际上，概率是由事件的本身属性所决定，与试验无关。概率的不同定义只是在不同条件下了解这种属性的手段而已。在教学中应结合概念的历史发展背景，采取由具体到抽象，由特殊到一般的方式引入概念，并通过对比分析加强理解。
3.结合恰当的教学设计，加强随机观念的培养
首先，在具体的教学中可以利用生活中有趣的随机问题创造随机环境，让学生亲自体验问题中的随机性，使学生把直觉和经验与概率论的思想和方法联系起来，如彩票问题、生日问题、抽签问题等。还可以构造与时事相关的概率模型让学生展开讨论。例如，一架飞机失踪了，推测它等可能地坠落在三个区域，令1-ai表示飞机坠落在第i个区域的概率（ai称为疏忽概率，取决于该地区的地理和环境条件）。若已知在其中一个区域搜索没有发现飞机，讨论飞机在其他区域坠落的概率。其次，开展有针对性的专题讲座，提炼、概括问题中蕴含的思想方法，深化学生对随机问题的理解和认识。例如可以通过计算生日问题与匹配问题中事件的概率展开对概率与直觉的讨论，以“小概率原理”为主题探讨概率意义下反证法的适用等。
二、教学中注重基本概念的理解
在概率论中，基本概念的理解非常重要，但又常常被学生所疏忽，往往是大部分内容学完之后还有大多数学生对“什么是随机变量”解释不清楚，对于随机变量的独立、相关等概念更加不明所以。实际上，在数学课程的教学过程中，这种情形非常常见。这主要是因为数学中的很多概念、规律很少以最初创立时的形式出现，它们经过浓缩提炼，被隐去了曲折、复杂的思维过程，呈现给人们的是经过加工整理的严密、抽象的结论，导致其诞生的那些思想方法已经转变为内在形式蕴含其中。因此，教学中需要注意以下几个方面：
1.展开概念，而不是简单的给定义
概念是浓缩的知识点，是经过分析、综合、比较抽象概括得出的结果，教师在讲解时应当完整体现这一生动的过程，而不是简单的叙述和罗列。例如，两个事件相互独立性的定义，最初直观的定义为如果事件A发生的概率与不受事件B发生与否的影响，则称事件A与事件B是独立的。表达为数学公式，即为。再结合概率的乘法公式，将独立性的定义进一步演变为：若事件A与事件B满足，称事件A与事件B是相互独立的。用后一定义的好处在于独立关系不受或的制约，且充分体现相互独立这一对称关系。但缺点是独立的直观意义不明显。通常对独立性做判断时，主要通过三種方式：一是根据实际意义判断，如甲乙两人同时向同一目标射击，甲击中与乙击中通常认为是相互独立的；二是题目中隐含独立性，如放回抽样式样中，前后两次抽样的结果是相互独立的；三是需要根据定义计算概率做出判断。这样通过展开、辨析、归纳就将两个事件独立性的概念分析清楚了。 2.引导发现，不要过早下结论
教师在教学中要引导学生积极参与概念的探索、发现、推导的过程，弄清每个结论的因果关系。学生的思考过程对于概念的理解和记忆意义重大。例如在引入贝叶斯公式时，若是直接给出繁琐的公式，学生不易接受且印象不深。如果先根据运用全概率公式解题的例子提出问题，引导学生自己完成贝叶斯公式的推导，则会使学生加深对公式的理解和记忆，事半功倍。
3.灵活贯通，避免呆板记公式
在实际教学中注重激活学生的推理能力，使学生能够将已有的认识和方法上下贯通，前后迁移，避免呆板的死记硬背。例如互斥与相互独立这一组概念在理解记忆时，除了从概念上分析，还可以引导学生从以下角度展开理解：互斥描述能否同时发生，相互独立描述有没有影响；互斥描述一次试验中出现的不同事件，相互独立描述两次或多次试验出现的不同事件；互斥事件和的概率等于概率的和，独立事件乘积的概率等于概率的乘积；两两互斥则彼此互斥，两两独立则未必相互独立等等。这样通过引导学生展开多向思维，扩大思路，可以对探究的问题得到新的认识和结果。
三、巩固基础，激发兴趣，提高学习积极性
初等数学和微积分基础不好是一些学生对概率论学习兴致不高的主要原因。实际上，在概率论中涉及的计算技巧并不多，只是一些简单的排列组合，导数和積分的计算。因此，教学中做好基础知识的复习巩固和新旧知识内容的衔接非常重要。例如，在讲解古典概型的概率计算之前，先对排列组合的知识进行复习总结；在介绍离散随机变量的概率分布之前，先对可能涉及的级数求和公式进行回顾；在开始介绍连续随机变量的定义之前，对部分微积分的计算公式和性质做简单的复习整理等等。这样教师在进行概率知识的讲解和应用时，就水到渠成，学生做题也会得心应手。
兴趣是促使学生进行探索的原动力。教师在教学过程中通过激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情，从而提高学生学习的积极性，让被动的学习变为主动，那么必然会取得比较好的教学效果。对于概率论来说，要激发学生的学习兴趣，需要注意以下两方面：首先，知识点的引入非常重要，要精心设计。这样做的目的是要从一开始就抓住学生的注意力，使学生产生求知欲望。其次，例题的选取要恰当，突出趣味性与实用性。“概率论”课程与实践联系非常紧密，教师可以针对教学内容选取有趣且与生产、生活密切相关的例子，让学生感受到趣味性的同时，认识到所学知识的应用价值。
总体来说，影响一门课程教学效果的因素有很多，只有教师保持对教学工作的热情和责任心，努力提高自身的学术水平，认真钻研教学的方法和技巧，才能使自身的教学水平有所提高，取得好的教学效果。
参考文献：
[1]魏宗舒，等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，
2008.
[2]罗斯（Ross， S.M.）.概率论基础教程[M].北京：人民邮电出版社，
2010.
[3]运怀立.概率论的思想与方法[M].北京：中国人民大学出版社，
2008.
[4]孙荣恒.趣味随机问题[M].北京：科学出版社，2008.
（责任编辑：孙晴）
关键词：概率论；教学；随机性；兴趣
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）21-0091-02
“概率论”不仅是各后续课程学习的必要基础，也在金融投资、保险精算、医学研究、生物统计以及工程技术等方面有着广泛的应用。不同于其他的数学课程，概率论主要研究的是随机现象和随机事件，这就导致概率论在思维方式和研究方法上与以往确定性数学有很大的不同。笔者在近几年的教学过程中发现，学生在学习概率论时常常反应难度较大。究其原因在于：一是概率论的学习需要从思维方式上做到从确定性思维到随机性思维的转变，而学生学习时思维局限于基础数学的领域，缺乏随机思想和随机观念，导致接受知识很困难；二是基本概念抽象复杂，不易理解，思想方法独特，理论性强，遇到实际问题思维难以展开；三是微积分的基础不好，对概率论的学习兴致不高。作为从事“概率论”教学的教师，都会面临“教师如何教”“学生如何学”的问题，为此本文针对该课程的教学思想和教学方法进行了探讨。
一、在教学中注重随机观念的树立与培养
概率论的研究对象是随机现象的统计规律性。由于随机现象的发生带有不确定性，不能用简单的因果关系进行描述，这对于习惯于运用确定性思维和工具进行研究的学生来说是一个难题。因此在教学中应注重随机观念的树立与培养，引导学生从传统的确定性思维方式进入随机性思维方式，是“概率论”教学顺利开展要解决的课题。
1.充分理解随机现象的含义，正确把握偶然与必然的关系
随机现象是在一定条件下可能发生，也可能不发生的现象。随机现象发生的条件与结果之间不再具有逻辑上的因果关系，这是与确定性现象的本质区别。但是，尽管在一次试验中，随机现象的发生具有偶然性，但在大量的试验中随机现象的发生又具有一定的规律性，寻找这一规律是研究随机现象的目的。在确定性思维的影响下，学生会以为通过对随机现象的研究，可以使原先无法预知的结果变得可预知。而随机现象的本质特点就在于结果的偶然性，无论研究与否，随机现象的这一本质特点都不会改变。也就是说，随机现象的随机性不会因为人们掌握其规律性而改变。因此教学中需要通过实例让学生充分理解随机现象各结果发生的偶然性以及大量重复试验中随机现象所呈现出来的统计规律性之间的辩证关系。
2.通过对比分析正确理解概率的定义，增强对随机概念的理解
随机事件的概率是对事件发生可能性的度量。在教学中引入概率的概念时，通常会涉及四种定义：统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义。概率的统计定义是从试验角度出发，将大量试验中事件频率的稳定值作为一次试验中事件可能性大小的度量。概率的统计定义对试验不做任何要求，也比较直观，但是在数学上很不严密。在实际中不可能对每一个事件都做大量的实验，求得频率，然后用频率估计概率。概率的古典定义是从分析角度出发，针对古典概率模型给出的计算概率的方法。古典定义要求试验满足有限性和等可能性，这使得古典定义在实际应用中有很大的局限性。概率的几何定义是从测度的角度给出定义，虽然去掉了有限性的限制，但仍要求试验满足等可能性，这在实际问题中仍有很大的局限性。例如，掷一枚均匀的硬币，这样的实验就不具有等可能性，古典定义和几何定义都不适用。概率的公理化定义是通过规定概率应具备的基本性质来定义概率，是严密的数学定义，对各种情况也都适用，但缺点是它没有给出计算事件概率的具体方法。概率的这些不同定义容易使学生产生困惑，到底概率是一个近似的数还是一个精确的数，是通过实验估计还是通过计算分析得到。实际上，概率是由事件的本身属性所决定，与试验无关。概率的不同定义只是在不同条件下了解这种属性的手段而已。在教学中应结合概念的历史发展背景，采取由具体到抽象，由特殊到一般的方式引入概念，并通过对比分析加强理解。
3.结合恰当的教学设计，加强随机观念的培养
首先，在具体的教学中可以利用生活中有趣的随机问题创造随机环境，让学生亲自体验问题中的随机性，使学生把直觉和经验与概率论的思想和方法联系起来，如彩票问题、生日问题、抽签问题等。还可以构造与时事相关的概率模型让学生展开讨论。例如，一架飞机失踪了，推测它等可能地坠落在三个区域，令1-ai表示飞机坠落在第i个区域的概率（ai称为疏忽概率，取决于该地区的地理和环境条件）。若已知在其中一个区域搜索没有发现飞机，讨论飞机在其他区域坠落的概率。其次，开展有针对性的专题讲座，提炼、概括问题中蕴含的思想方法，深化学生对随机问题的理解和认识。例如可以通过计算生日问题与匹配问题中事件的概率展开对概率与直觉的讨论，以“小概率原理”为主题探讨概率意义下反证法的适用等。
二、教学中注重基本概念的理解
在概率论中，基本概念的理解非常重要，但又常常被学生所疏忽，往往是大部分内容学完之后还有大多数学生对“什么是随机变量”解释不清楚，对于随机变量的独立、相关等概念更加不明所以。实际上，在数学课程的教学过程中，这种情形非常常见。这主要是因为数学中的很多概念、规律很少以最初创立时的形式出现，它们经过浓缩提炼，被隐去了曲折、复杂的思维过程，呈现给人们的是经过加工整理的严密、抽象的结论，导致其诞生的那些思想方法已经转变为内在形式蕴含其中。因此，教学中需要注意以下几个方面：
1.展开概念，而不是简单的给定义
概念是浓缩的知识点，是经过分析、综合、比较抽象概括得出的结果，教师在讲解时应当完整体现这一生动的过程，而不是简单的叙述和罗列。例如，两个事件相互独立性的定义，最初直观的定义为如果事件A发生的概率与不受事件B发生与否的影响，则称事件A与事件B是独立的。表达为数学公式，即为。再结合概率的乘法公式，将独立性的定义进一步演变为：若事件A与事件B满足，称事件A与事件B是相互独立的。用后一定义的好处在于独立关系不受或的制约，且充分体现相互独立这一对称关系。但缺点是独立的直观意义不明显。通常对独立性做判断时，主要通过三種方式：一是根据实际意义判断，如甲乙两人同时向同一目标射击，甲击中与乙击中通常认为是相互独立的；二是题目中隐含独立性，如放回抽样式样中，前后两次抽样的结果是相互独立的；三是需要根据定义计算概率做出判断。这样通过展开、辨析、归纳就将两个事件独立性的概念分析清楚了。 2.引导发现，不要过早下结论
教师在教学中要引导学生积极参与概念的探索、发现、推导的过程，弄清每个结论的因果关系。学生的思考过程对于概念的理解和记忆意义重大。例如在引入贝叶斯公式时，若是直接给出繁琐的公式，学生不易接受且印象不深。如果先根据运用全概率公式解题的例子提出问题，引导学生自己完成贝叶斯公式的推导，则会使学生加深对公式的理解和记忆，事半功倍。
3.灵活贯通，避免呆板记公式
在实际教学中注重激活学生的推理能力，使学生能够将已有的认识和方法上下贯通，前后迁移，避免呆板的死记硬背。例如互斥与相互独立这一组概念在理解记忆时，除了从概念上分析，还可以引导学生从以下角度展开理解：互斥描述能否同时发生，相互独立描述有没有影响；互斥描述一次试验中出现的不同事件，相互独立描述两次或多次试验出现的不同事件；互斥事件和的概率等于概率的和，独立事件乘积的概率等于概率的乘积；两两互斥则彼此互斥，两两独立则未必相互独立等等。这样通过引导学生展开多向思维，扩大思路，可以对探究的问题得到新的认识和结果。
三、巩固基础，激发兴趣，提高学习积极性
初等数学和微积分基础不好是一些学生对概率论学习兴致不高的主要原因。实际上，在概率论中涉及的计算技巧并不多，只是一些简单的排列组合，导数和積分的计算。因此，教学中做好基础知识的复习巩固和新旧知识内容的衔接非常重要。例如，在讲解古典概型的概率计算之前，先对排列组合的知识进行复习总结；在介绍离散随机变量的概率分布之前，先对可能涉及的级数求和公式进行回顾；在开始介绍连续随机变量的定义之前，对部分微积分的计算公式和性质做简单的复习整理等等。这样教师在进行概率知识的讲解和应用时，就水到渠成，学生做题也会得心应手。
兴趣是促使学生进行探索的原动力。教师在教学过程中通过激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情，从而提高学生学习的积极性，让被动的学习变为主动，那么必然会取得比较好的教学效果。对于概率论来说，要激发学生的学习兴趣，需要注意以下两方面：首先，知识点的引入非常重要，要精心设计。这样做的目的是要从一开始就抓住学生的注意力，使学生产生求知欲望。其次，例题的选取要恰当，突出趣味性与实用性。“概率论”课程与实践联系非常紧密，教师可以针对教学内容选取有趣且与生产、生活密切相关的例子，让学生感受到趣味性的同时，认识到所学知识的应用价值。
总体来说，影响一门课程教学效果的因素有很多，只有教师保持对教学工作的热情和责任心，努力提高自身的学术水平，认真钻研教学的方法和技巧，才能使自身的教学水平有所提高，取得好的教学效果。
参考文献：
[1]魏宗舒，等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，
2008.
[2]罗斯（Ross， S.M.）.概率论基础教程[M].北京：人民邮电出版社，
2010.
[3]运怀立.概率论的思想与方法[M].北京：中国人民大学出版社，
2008.
[4]孙荣恒.趣味随机问题[M].北京：科学出版社，2008.
（责任编辑：孙晴）