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应用导数确定数列的最大（小）项
例1 已知数列[{an}]的通项[an=75n-5n214]，[n∈N?]，求使数列[{an}]取最大值时[n]的值.
解析 构造函数[f（x）=75x-5x214（x>0）]，
则[f（x）=75-10x14].
当[00]；
当[x>7.5]时，[f（x）<0].
即函数[f（x）]在[（0，7.5）]上是增函数，在[（7.5，+∞）]上是减函数，
故当[x=7.5]时，函数取得最大值.
当[n∈N?]时，[f（n）=75n-5n214]，且[f（7）=f（8）]，
因此当[n=7， 或8]时，数列[{an}]取得最大值.
变式 已知数列[{an}]的通项[an=8n2-n3]，[n∈N?]，求数列[{an}]的最大值及[n]的值. （答案：[a5=75]）
应用导数研究数列的增减性
例2 已知函数[f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a]，a为常数.
（1）设实数[p，q，r]满足：[p，q，r]中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程[f（x）=0]的两实根，判断：①[p+q+r]，②[p2+q2+r2]，③[p3+q3+r3]是否为定值？若是定值，请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数[g（a）]，并求[g（a）]的最小值.
（2）对于（1）中的[g（a）]，设[H（a）=-16[g（a）-27]]，数列[{an}]满足[an+1=H（an）， n∈N*]，且[a1∈（0，1）]，试判断[an+1]与[an]的大小，并证明之.
解析 （1）由[Δ=（a-3）2-4（a2-3a）≥0]得，
[-1≤a≤3].
不妨设[a=p]，则q，r恰为方程的两根.
由韦达定理得，
[q+r=3-a，qr=a2-3a.]
[∴p+q+r=3.] ①
[p2+q2+r2=a2+（q+r）2-2qr=a2+（3-a）2-2（a2-3a）=9. ②]
而[p3+q3+r3=p3+（q3+r3）=a3+[（q+r）2-3qr]（q+r）]
[=3a3-9a2+27]. ③
则[g（a）=3a3-9a2+27]，
求导得，[g（a）=9a2-18a=9a（a-2）.]
当[a∈[2，3]]时，[g（a）≥0，][g（a）]递增；
当[a∈[0，2）]时，[g（a）<0，][g（a）]递减；
当[a∈[-1，0）]时，[g（a）≥0，][g（a）]递增.
[∴g（a）]在[[-1，3]]上的最小值为
[min{g（-1），g（2）}=min{15，15}=15.]
（2）由（1）得，[H（a）=-16[g（a）-27]=-12（a3-3a2）.]
如果[a∈（0，1）]，
则[H（a）=3a-32a2=3a（1-a2）>0.]
[∴H（a）]在[（0，1）]上为递增函数.
[∴H（a）∈（H（0），H（1））=（0，1）.]
[∵an+1=H（an）=-12（an3-3an2），]
[∴a1∈（0，1）?a2∈（0，1）?…?an∈（0，1）.]
又[∵an+1-an=-12an3+32an2-an]
[=-12an（an-2）（an-1）<0]，
[∴an+1 变式 已知数列[an]满足[a1=2，]前[n]项和为[Sn]，[an+1=pan+n-1，n为奇数，-an-2n， n为偶数.]
（1）若数列[bn]满足[bn=a2n+a2n+1，n≥1]，试求数列[bn]前[n]项和[Tn]；
（2）若数列[cn]满足[cn=a2n]，试判断[cn]是否为等比数列，并说明理由；
（3）当[p=12]时，若数列{[dn]}满足[dn=（S2n+1-10）c2n]，问是否存在[n∈N*]，使得[dn=1]，若存在，求出所有的[n]的值；若不存在，请说明理由.
（答案：（1）[Tn=-2n2-2n].
（2）当[p=12]时，数列[cn]成等比数列；当[p≠12]时，数列[cn]不为等比数列.
（3）存在唯一的[n=3]，使得[dn=1]成立.）
应用导数解决数列求和问题
例3 求[1+2x+3x2+…+nxn-1].
解析 （1）当[x=1]时，
[Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=1+2+3+…+n=12n（n+1）.]
（2）當[x≠1]时，
由于[（xk）=kxk-1， k=1，2，…，n]，
于是构造函数[f（x）=1+x+x2+…+xn]，
则[f（x）=1+2x+3x2+…+nxn-1].
又[1+x+x2+…+xn=1-xn+11-x]，
等式两边对[x]求导，我们可以得到，
[1+2x+3x2+…+nxn-1=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].
综上可得，当[x=1]时，[Sn=12n（n+1）]；
当[x≠1]时，[Sn=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].
变式 求[1+22x+32x2+…+n2xn-1].
（答案：[1+x-（n+1）2xn+（2n2+2n-1）xn+1-n2xn+2（1-x）3]）
应用导数证明数列不等式
例4 已知数列{[an]}的各项都是正数，且满足[a0=1，an+1=12an（4-an），][n∈N]，证明：[an 证明 构造函数[f（x）=12x（4-x），]
则[f（x）=12x（4-x）=-12（x-2）2+2≤2].
于是[an+1=12an（4-an）≤2，]但等号不能取（如果取等号，则[an+1=an=2]，与[a0=1]矛盾）.
因此[an+1<2].
又[f（x）=-x+2，]
当[x<2]时，[f（x）=-x+2>0]，
即[f（x）]在[（0，2）]上是增函数，
于是[an+1=f（x）>an=f（x-1）].
综上所述，[an 变式 已知数列{[an]}满足[2an+1=-a3n+3an，n∈N?]，且[a1∈（0，1）]，求证：[0 （答案：构造函数[f（x）=-12x3+32x]，可以求得，[f（x）=][-32（x-1）（x+1）]，于是[f（x）]在[（0，1）]上是增函数，然后再用数学归纳法证明.）
例1 已知数列[{an}]的通项[an=75n-5n214]，[n∈N?]，求使数列[{an}]取最大值时[n]的值.
解析 构造函数[f（x）=75x-5x214（x>0）]，
则[f（x）=75-10x14].
当[0
当[x>7.5]时，[f（x）<0].
即函数[f（x）]在[（0，7.5）]上是增函数，在[（7.5，+∞）]上是减函数，
故当[x=7.5]时，函数取得最大值.
当[n∈N?]时，[f（n）=75n-5n214]，且[f（7）=f（8）]，
因此当[n=7， 或8]时，数列[{an}]取得最大值.
变式 已知数列[{an}]的通项[an=8n2-n3]，[n∈N?]，求数列[{an}]的最大值及[n]的值. （答案：[a5=75]）
应用导数研究数列的增减性
例2 已知函数[f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a]，a为常数.
（1）设实数[p，q，r]满足：[p，q，r]中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程[f（x）=0]的两实根，判断：①[p+q+r]，②[p2+q2+r2]，③[p3+q3+r3]是否为定值？若是定值，请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数[g（a）]，并求[g（a）]的最小值.
（2）对于（1）中的[g（a）]，设[H（a）=-16[g（a）-27]]，数列[{an}]满足[an+1=H（an）， n∈N*]，且[a1∈（0，1）]，试判断[an+1]与[an]的大小，并证明之.
解析 （1）由[Δ=（a-3）2-4（a2-3a）≥0]得，
[-1≤a≤3].
不妨设[a=p]，则q，r恰为方程的两根.
由韦达定理得，
[q+r=3-a，qr=a2-3a.]
[∴p+q+r=3.] ①
[p2+q2+r2=a2+（q+r）2-2qr=a2+（3-a）2-2（a2-3a）=9. ②]
而[p3+q3+r3=p3+（q3+r3）=a3+[（q+r）2-3qr]（q+r）]
[=3a3-9a2+27]. ③
则[g（a）=3a3-9a2+27]，
求导得，[g（a）=9a2-18a=9a（a-2）.]
当[a∈[2，3]]时，[g（a）≥0，][g（a）]递增；
当[a∈[0，2）]时，[g（a）<0，][g（a）]递减；
当[a∈[-1，0）]时，[g（a）≥0，][g（a）]递增.
[∴g（a）]在[[-1，3]]上的最小值为
[min{g（-1），g（2）}=min{15，15}=15.]
（2）由（1）得，[H（a）=-16[g（a）-27]=-12（a3-3a2）.]
如果[a∈（0，1）]，
则[H（a）=3a-32a2=3a（1-a2）>0.]
[∴H（a）]在[（0，1）]上为递增函数.
[∴H（a）∈（H（0），H（1））=（0，1）.]
[∵an+1=H（an）=-12（an3-3an2），]
[∴a1∈（0，1）?a2∈（0，1）?…?an∈（0，1）.]
又[∵an+1-an=-12an3+32an2-an]
[=-12an（an-2）（an-1）<0]，
[∴an+1
（1）若数列[bn]满足[bn=a2n+a2n+1，n≥1]，试求数列[bn]前[n]项和[Tn]；
（2）若数列[cn]满足[cn=a2n]，试判断[cn]是否为等比数列，并说明理由；
（3）当[p=12]时，若数列{[dn]}满足[dn=（S2n+1-10）c2n]，问是否存在[n∈N*]，使得[dn=1]，若存在，求出所有的[n]的值；若不存在，请说明理由.
（答案：（1）[Tn=-2n2-2n].
（2）当[p=12]时，数列[cn]成等比数列；当[p≠12]时，数列[cn]不为等比数列.
（3）存在唯一的[n=3]，使得[dn=1]成立.）
应用导数解决数列求和问题
例3 求[1+2x+3x2+…+nxn-1].
解析 （1）当[x=1]时，
[Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=1+2+3+…+n=12n（n+1）.]
（2）當[x≠1]时，
由于[（xk）=kxk-1， k=1，2，…，n]，
于是构造函数[f（x）=1+x+x2+…+xn]，
则[f（x）=1+2x+3x2+…+nxn-1].
又[1+x+x2+…+xn=1-xn+11-x]，
等式两边对[x]求导，我们可以得到，
[1+2x+3x2+…+nxn-1=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].
综上可得，当[x=1]时，[Sn=12n（n+1）]；
当[x≠1]时，[Sn=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].
变式 求[1+22x+32x2+…+n2xn-1].
（答案：[1+x-（n+1）2xn+（2n2+2n-1）xn+1-n2xn+2（1-x）3]）
应用导数证明数列不等式
例4 已知数列{[an]}的各项都是正数，且满足[a0=1，an+1=12an（4-an），][n∈N]，证明：[an
则[f（x）=12x（4-x）=-12（x-2）2+2≤2].
于是[an+1=12an（4-an）≤2，]但等号不能取（如果取等号，则[an+1=an=2]，与[a0=1]矛盾）.
因此[an+1<2].
又[f（x）=-x+2，]
当[x<2]时，[f（x）=-x+2>0]，
即[f（x）]在[（0，2）]上是增函数，
于是[an+1=f（x）>an=f（x-1）].
综上所述，[an