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【摘 要】 从数学概念的定义出发，通过引导启发学生探索概念的形成过程，分析概念的内涵和外延。使学生获得有实用价值的数学知识和广泛意义上的数学思想、数学方法。
【关键词】 数学概念；内涵；外延；数学思想；数学方法
【中图分类号】G64.18 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）4-0-02
前言：数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。「1」它的产生一般说有两种情形：一种是直接从客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到：另外一种是在已有的数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而成的。「1」概念是思维的单位，反映一类事物的特征，是整个数学知识结构的基础，是判断、选择、推理的重要依据。所以概念教学在整个数学教学中占有重要的地位。实际中，中学数学是数学基础教育阶段，学生应从课程中获得两种收益：一种是有实用价值的数学知识；另外一种是获得广泛意义上数学思想和数学方法。「2」数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。数学方法是解决数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定的操作性。「2」因此与日常生活相联系的数学内容将成为数学课程的基础。在概念教学中，学生在教师的指导下，探索概念的形成，剖析概念的内涵，外延以及其在知识结构中的地位。从中领悟数学思想和数学方法。所以概念的探索启发式教学不在与教师把数学概念讲得如何透切，更不是把概念硬塞给学生，而是要根据学生已掌握的知识去启发、指导和鼓励学生主动去探索问题，以学生为主体，教师指导辅助学生探索。这样既培养了学生的学习兴趣，激发了学生主动探索的热情，又使学生形成良好的学习习惯和正确的学习态度，使学生在轻松愉快的气氛中获得一定的数学知识，数学的思想和数学方法，但是要在探索剖析概念过程中适当地照顾一下下层学生，让探索启发式教学能激发起他们对数学的兴趣，要预防两极分化。以下是在教学中的操作。
1、自然有趣地引出概念激发学生主动探索的热情
因为概念课枯燥无味，所以首先要想方设法去打破数学概念课沉闷的气氛，要营造一种轻松愉快的教学氛围。要求概念引出不但要有较强的针对性而且富有趣味性和语言的艺术性（声音抑扬顿挫把平淡的材料生动化，表达简明扼要，关键的地方要适当重复等等），把学生的注意力吸引到要探索的问题上，进入探索的角色，培养学生应用意识。下面按概念的定义分类引入。
1.1对“直接从对客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到”这一类概念。要根据学生的认识水平，精心设计问题，制造问题情景（是要把问题背景放在前面，即在呈现概念之前，首先应呈现与之相关的足够的材料，使数学概念以及数学思想方法从中自然地产生出来）。学生在问题情景中充当探索者的角色。如：讲一元二次方程时，先准备7个粉笔盒，把学生分成7组，然后把7个粉笔盒分给每个小组，让他们通过自己操作。
怎样将粉笔盒展放在平面上？接着问这个纸盒是用什么形状的纸做成的？大家通过操作可以发现，原来是由一张矩形纸板在个角上煎去四个小正方形而得到的。弄清这一点后，再赋予有关数据如：长60厘米，宽40厘米，剪去四个小正方形后剩余部分的面积是2300，怎样求出小正方形的边长。学生切实感到数学真的来源于实际问题。「3」顺水推舟地进入对一元二次方程概念探索。又如：小花家要建一座面积为18平方米的长方形大棚，如果长比宽多3米，要同学们帮助小花设计一下。这样的例子比较贴近学生的生活实际，加上有很好的情景，学生比较感兴趣，这样带动了学生学习的兴趣。有利于下面进一步引导学生去探索发现概念的形成过程。
1.2对“在已有概念的基础上，经过多层次的抽象而形成的概念”有两种自然而然的引出方法。
（一）是寻找思维的最近发展区，做为知识的增长点。通过揭示知识的内在的逻辑关系或制造悬念或布置陷井，引起学生的好奇心和对问题的质疑，以旧带新引发认识的冲突。使学生认识上有一种豁然开朗，柳暗花明又一春的感觉。如：讲异面直线所成的角这一节课。前面学过了，用夹角来刻画两条直线的精确关系；用距离来描述两条平行线的位置关系。那么空间两异面直線的位置又是如何确定的呢？有学生说用角，有学生说用距离，也有学生说角和距离一起来确定。同学们在积极的讨论。此时教师可用两条细直木棒代替直线，给学生做个直观形象的模型。先把两根木棒重合，然后平移开，接着旋转。通过观察学生不难发现，异面直线具有“平行”、“相交”二重性。因此用角和距离共同确定。在此可以引导学生如何给异面直线所成的角的定义。
（二）是由数学内在的需要引入，打破概念的神秘感。概念与现实社会得不到联系，会造成学生接受理解概念的困难。因此在概念引出时可通过充分体现概念特征的感性材料或演示实验或暴露原有概念的不足之处。让学生感到引入此概念的必要性和合理性。使学生在新概念和原有概念之间架起桥梁，对新概念不会有“从天而降”的感觉。如：复数概念的引入目的是为了解决在实数集中，负数不能开平方，平面坐标的点不能与实数对应的不足之处。
1.3还有一种是数学趣闻引入：数学概念表现为一种思维形式，它的产生离不开现实世界，离不开生活中的常识，所以可充分地运用生活实例。史学趣闻引入，使学生在津津有味地听带有问题的趣闻时自觉地置身与要探索的问题的情景中。如：在讲等比数列时，可用史料一尺之棰，日取其半，万世不歇。引起学生对等比数列的好奇心，迫切的想知道“只有一之长的棰一天取一半竟然会万世不衰”，这里边到蕴涵着什么道理。也可以问学生在64格棋盘上按倍增的方式放小麦，一共要放多少粒呢？我说没有一个人的家里储藏有这么多小麦。这张小小的棋盘上一共有多少粒小麦呢？假如你是会计，你能计算出来吗？如果能的话，那你又是怎样计算出来的呢？
2、指导学生探索概念的形成过程
引导学生探索概念的形成过程，让学生亲自体验探索发现概念带来的成功喜悦，培养学生发现和解决问题的能力。让学生发现概念引起的情感震撼，增强学习数学的自信心。进一步培养了学生对数学的兴趣，从中提高他们独立思考的能力和观察能力，增强学生的自学能力。并且学生的数学直觉思维也得到一定程度的训练。明白概念的来龙去脉，为深入理解概念，准确地把握概念的内涵和外延做好准备。 2.1对直接从客观事物的空间形式或数量关系得到的概念，在引出材料的基础上，再给出一些与概念有关的基本事实，实际背景，让学生获得一定程度的感性认识。然后指导启发学生运用直觉和已有经验进行大胆猜测。从问题出发，由具体到一般，由特殊到一般去分析问题。指导学生发现事物的共同属性，本质特征，再概括出概念。在暴露概念再发现过程中必要时可以适当注入自己的理解或感受，帮助学生跨过思维障碍，尽量让学生经历概念发现再创造的过程，享受成功的乐趣。如：
“圆周角定义”这一课「4」：
老师在黑板上画出⊙O。在⊙O。上任取两点A和B，，连接AB，再画一条弦AC
如图（1）所示
师：同学们，你们看到了什么？
生：看到圆、弧、角。
师：图中的角A叫圆周角。那么什么叫圆周角？
生甲：圆周角是圆和角的组合
生乙：圆内相交两弦组成的角。
师：这两位同学的回答是否正确？如果你认为不正确，可以通过画图举反例。
（有些学生画出了圆内两弦组成的角不是圆周角的反例，如右图〔2〉所示）
师：要使圆内相交两弦组成的角是圆周角，这两条弦要满
足什么条件？
生：交点在圆上。
师：如何给圆周角下定义？
生丙：圆上一点出发的两条弦所夹的角叫圆周角。⑵
师：很好，这个定义可以用这个同学的名字来命名。请同学们阅读书中的定义（顶点在圆上并且两边都和圆相交的角，叫圆周角）。
师：书上的定义与刚才那位同学的定义有何不同？
生：那位同学是用弦来定义的，而书中的定义是用角的两边定义的。角的边是射线，弦是线段。
2.2对在已有的数学概念的基础上经过多层次抽象概括而成的概念，要找新概念与旧概念潜在的距离。启发和引导学生去探索、观察给出的材料，发现旧概念和新概念的差异。可以运用类比、特殊化、一般化、互逆化等方法去摸索概念的形成过程。让学生组织和调动自己原有的认识结构去探索解决问题。如：根与系数的关系这一节课，可以让学生先解几条具体的方程，然后观察每个方程两个根的和，两个根的积与原方程的系数的关系。接着猜测根与系数的关系的一般形式，最后运用上节课讲过的求根公式来检验证明猜想的正确性。
2.3充分利用多媒体技术，把概念中的难点化成形象直观的图例。文字、符号、图象相结合，不但可以活跃课堂气氛，还使枯燥的理论生动化，简单的结论充实化，在教师的指导下，学生观察、分析、推理、归纳、概括出新的概念。如：在讲角的平分线的这一节课，不运用多媒体技术，学生很难理解这节课的内容。如果用几何画板把两个定理画成两个形象生动的动画，学生通过观察图形的变化和其对应的数据的变化，可以很快地总结出角平分线的两个定理。
3、对概念的内涵和外延的剖析
深入理解概念是在探索的过程的基礎上，指导、启发学生通过分析、综合、类比等思维活动，弄清楚概念的内涵和外延。概念的内涵，是指“反映在概念中的对象的本质属性的总和”「5」。也就是通常所说的“概念的含义”。它回答的是概念反映了什么事物。研究内涵一般从正反两个角度去探讨。概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的类「4」。也就是概念的适用范围。在研究概念的内涵时不仅要摸索清这个概念包含那些对象还要知道它的不包含的那些对象。通过反例或“临界状态”弄清概念外延的“边界”，即弄懂概念描述的对象，成立的条件，适用的范围。从中培养学生剖析问题的能力。
3.1要深入理解概念，在清楚概念来龙去脉的基础上，启发、指导学生认真阅读概念，逐字逐句推敲。切底弄清楚概念的内涵和外延。结合概念的再创造过程，通过改变与概念内涵有关但非概念内涵的因素，想一想概念是否还成立。在容易理解错的地方设计问题。通过错误来暴露学生理解概念的思维，还可以加强记忆力。对各种适用范围的研究，从而达到充分理解概念的目的。如对线段的垂直平分线和圆周角定义的剖析：学习概念的垂直平分线时，要注意到是一条直线（不是线段或射线），垂直（不是一般的相交或平行），线段（不是点或直线或射线），并且经过线段的中点（不是线段上随便的一点），（接圆周角的定义这一节课）
师：很好，圆周角定义的要点是什么？
生：1）角的顶点在圆上；2〉两边都与圆相交。
师：如果有一个条件不满足，是否为圆周角？
生：不是。
师：请大家画一个不是圆周角的角与圆的组合图形。
（有些学生很快画出了右边的两个图形（3）和（4）
师：有没有顶点在圆上，但不是圆周角的角？
生：有.
〔有些学生又画出了右边的两个图形（5）和（6）〕
这样学生就切底地理解什么样的角才是圆周角。
3.2关键词解析：即对比较抽象、学生难理解和掌握的概念或者是概念中高度概括、抽象的关键词。要给出现实生活中的例子或图例，把概念化为通俗易懂的形式，方便学生理解消化。如：用图例表示平行线截线段成比例。
3.3注意概念中的规定。培养学生养成一种严密的逻辑思维。数学概念中的规定总是某种需要的呼唤而不是无病呻吟或多此一举。如：a°=1（a≠0）与0！=1是保证了am÷an=am-n在m=n时也成立等。
4、新旧知识纵横对比不断完善原来的认识结构
记忆空间是由许多知识块作为元素组成的。它是指学生己经掌握的概念贮存在大脑中，为应用而准备的。为了自由快速灵活存取知识，就必须把新旧知识进行类比。把学过的概念通过分析、比较、综合、抽象、概括，归纳入前边所学的知识体系中，形成系统化、结构化、网络化的认知结构。这种知识结构具有二种功能：一是能够迅速吸收新的知识；二是能灵活运用知识。从整体上驾驽学过的知识，养成纵横分析问题的习惯。 4.1抽取概念的共同属性即把具有相同“外延”或一个概念的外延包含在另外一个概念的外延的概念融合在一起。这样容易形成清晰的记忆便于应用。也便于知识的迁移。如：三角形的外心、内心、重心、垂心四心合一。四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形具有前包后的关系即后边的是前边的特殊情况。解一元二次不等式，要分ax2+bx+c>0（a>0）和ax2+bx+c<0（a>0）两种情况；每一种情况又要分△>0，△=0和△<0三种情况，共有六种情况，一一记忆较困难。但是在弄明白一元二次方程，一元二次函数与一元二次不等式之间的内在联系的基础上，借助一元二次函数的图象，结合方程的根和函数与坐标轴交点的关系，不但把这六种情况下一元二次不等式的解集就很容易记住而且把三者统一起来。
4.2从把外延有且只有一部分是重合的系统化：把以前所学的各单元、局部、分散.零碎的知识通过分析、综合归入某种一定的顺序统一体中。充分利用数学的逻辑的严谨性，可用前边的知识加快对新学概念的理解，反过来用新学的概念进一步完善前边学过的知识。这种对概念的瞻前顾后的理解，不断用新学的知识改造。充实，完善旧的知识。从总体上认识局部、孤立概念之间的内部联系。建立起概念间形式和实质的联系，能把容易混淆的概念从本质上区别开来。如：高中学生学习了六个“距离”概念，要弄懂它们之间的区别和联系。两点之间的距离，点到直线之间的距离，两条平行线之间的距离，点到平面的距离，两平行平面之间的距离，两异面直线之间的距离，这六个“距离”的共同点是：“距离”都是指两点之间的线段之长；不同点是：相应的两个点的位置取法不同（點间的距离是它们之间的线段长度，点线指到直线的垂线段长，平行线指两线间的垂线段长，点面是指点到面的垂线段长，平行面指平行面间的垂线段长，异面直线指的也是他们之间的垂线段长不过它们的交点不在同一平面上。
4.3概念的地位和作用归类：把概念分成三类即源头性概念、过度性概念、结果性概念「6」，其中结果性概念又分主体概念和附属概念。如：与三角形有关的一组〈直线，射线、角，三角形，三角形的垂心〉；与三角函数有关的一组（任意角，弧度，正弦函数，正弦函数的周期〉。
4.4概念的歌诀化：把课本中的概念的表达形式重新描述成自己的语言或者把概念制成图表信息，形成自己的思维，从高层次把握使之易于记忆、联想和应用。如：一元一次不等式，可以把它们概括为“大大取大，小小取小，相向取中，相背为空”；而在三角诱导公式时，可把众多的公式化为一句话来概括即“奇变偶不变，符号看象限”。
参考文献
[1]田万海.《数学教育学》，浙江浙江教育出版社出版，2001，3
[2]朱成杰.《数学思想方法教学研究导论》，文汇出版社，2001，7
[3]张峰.“对概念导入和问题设计的思考”，《中学数学教学参考》，2000，11
[4]唐瑞芬.《数学教学理论选讲》，上海华东师范大学出版社，2001，1
[5]张永春.《数学课程论》，南宁广西教育出版社，1998，11
[6]张永春.《数学课程论》，南宁广西教育出版社，1998，11
【关键词】 数学概念；内涵；外延；数学思想；数学方法
【中图分类号】G64.18 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）4-0-02
前言：数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。「1」它的产生一般说有两种情形：一种是直接从客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到：另外一种是在已有的数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而成的。「1」概念是思维的单位，反映一类事物的特征，是整个数学知识结构的基础，是判断、选择、推理的重要依据。所以概念教学在整个数学教学中占有重要的地位。实际中，中学数学是数学基础教育阶段，学生应从课程中获得两种收益：一种是有实用价值的数学知识；另外一种是获得广泛意义上数学思想和数学方法。「2」数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。数学方法是解决数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定的操作性。「2」因此与日常生活相联系的数学内容将成为数学课程的基础。在概念教学中，学生在教师的指导下，探索概念的形成，剖析概念的内涵，外延以及其在知识结构中的地位。从中领悟数学思想和数学方法。所以概念的探索启发式教学不在与教师把数学概念讲得如何透切，更不是把概念硬塞给学生，而是要根据学生已掌握的知识去启发、指导和鼓励学生主动去探索问题，以学生为主体，教师指导辅助学生探索。这样既培养了学生的学习兴趣，激发了学生主动探索的热情，又使学生形成良好的学习习惯和正确的学习态度，使学生在轻松愉快的气氛中获得一定的数学知识，数学的思想和数学方法，但是要在探索剖析概念过程中适当地照顾一下下层学生，让探索启发式教学能激发起他们对数学的兴趣，要预防两极分化。以下是在教学中的操作。
1、自然有趣地引出概念激发学生主动探索的热情
因为概念课枯燥无味，所以首先要想方设法去打破数学概念课沉闷的气氛，要营造一种轻松愉快的教学氛围。要求概念引出不但要有较强的针对性而且富有趣味性和语言的艺术性（声音抑扬顿挫把平淡的材料生动化，表达简明扼要，关键的地方要适当重复等等），把学生的注意力吸引到要探索的问题上，进入探索的角色，培养学生应用意识。下面按概念的定义分类引入。
1.1对“直接从对客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到”这一类概念。要根据学生的认识水平，精心设计问题，制造问题情景（是要把问题背景放在前面，即在呈现概念之前，首先应呈现与之相关的足够的材料，使数学概念以及数学思想方法从中自然地产生出来）。学生在问题情景中充当探索者的角色。如：讲一元二次方程时，先准备7个粉笔盒，把学生分成7组，然后把7个粉笔盒分给每个小组，让他们通过自己操作。
怎样将粉笔盒展放在平面上？接着问这个纸盒是用什么形状的纸做成的？大家通过操作可以发现，原来是由一张矩形纸板在个角上煎去四个小正方形而得到的。弄清这一点后，再赋予有关数据如：长60厘米，宽40厘米，剪去四个小正方形后剩余部分的面积是2300，怎样求出小正方形的边长。学生切实感到数学真的来源于实际问题。「3」顺水推舟地进入对一元二次方程概念探索。又如：小花家要建一座面积为18平方米的长方形大棚，如果长比宽多3米，要同学们帮助小花设计一下。这样的例子比较贴近学生的生活实际，加上有很好的情景，学生比较感兴趣，这样带动了学生学习的兴趣。有利于下面进一步引导学生去探索发现概念的形成过程。
1.2对“在已有概念的基础上，经过多层次的抽象而形成的概念”有两种自然而然的引出方法。
（一）是寻找思维的最近发展区，做为知识的增长点。通过揭示知识的内在的逻辑关系或制造悬念或布置陷井，引起学生的好奇心和对问题的质疑，以旧带新引发认识的冲突。使学生认识上有一种豁然开朗，柳暗花明又一春的感觉。如：讲异面直线所成的角这一节课。前面学过了，用夹角来刻画两条直线的精确关系；用距离来描述两条平行线的位置关系。那么空间两异面直線的位置又是如何确定的呢？有学生说用角，有学生说用距离，也有学生说角和距离一起来确定。同学们在积极的讨论。此时教师可用两条细直木棒代替直线，给学生做个直观形象的模型。先把两根木棒重合，然后平移开，接着旋转。通过观察学生不难发现，异面直线具有“平行”、“相交”二重性。因此用角和距离共同确定。在此可以引导学生如何给异面直线所成的角的定义。
（二）是由数学内在的需要引入，打破概念的神秘感。概念与现实社会得不到联系，会造成学生接受理解概念的困难。因此在概念引出时可通过充分体现概念特征的感性材料或演示实验或暴露原有概念的不足之处。让学生感到引入此概念的必要性和合理性。使学生在新概念和原有概念之间架起桥梁，对新概念不会有“从天而降”的感觉。如：复数概念的引入目的是为了解决在实数集中，负数不能开平方，平面坐标的点不能与实数对应的不足之处。
1.3还有一种是数学趣闻引入：数学概念表现为一种思维形式，它的产生离不开现实世界，离不开生活中的常识，所以可充分地运用生活实例。史学趣闻引入，使学生在津津有味地听带有问题的趣闻时自觉地置身与要探索的问题的情景中。如：在讲等比数列时，可用史料一尺之棰，日取其半，万世不歇。引起学生对等比数列的好奇心，迫切的想知道“只有一之长的棰一天取一半竟然会万世不衰”，这里边到蕴涵着什么道理。也可以问学生在64格棋盘上按倍增的方式放小麦，一共要放多少粒呢？我说没有一个人的家里储藏有这么多小麦。这张小小的棋盘上一共有多少粒小麦呢？假如你是会计，你能计算出来吗？如果能的话，那你又是怎样计算出来的呢？
2、指导学生探索概念的形成过程
引导学生探索概念的形成过程，让学生亲自体验探索发现概念带来的成功喜悦，培养学生发现和解决问题的能力。让学生发现概念引起的情感震撼，增强学习数学的自信心。进一步培养了学生对数学的兴趣，从中提高他们独立思考的能力和观察能力，增强学生的自学能力。并且学生的数学直觉思维也得到一定程度的训练。明白概念的来龙去脉，为深入理解概念，准确地把握概念的内涵和外延做好准备。 2.1对直接从客观事物的空间形式或数量关系得到的概念，在引出材料的基础上，再给出一些与概念有关的基本事实，实际背景，让学生获得一定程度的感性认识。然后指导启发学生运用直觉和已有经验进行大胆猜测。从问题出发，由具体到一般，由特殊到一般去分析问题。指导学生发现事物的共同属性，本质特征，再概括出概念。在暴露概念再发现过程中必要时可以适当注入自己的理解或感受，帮助学生跨过思维障碍，尽量让学生经历概念发现再创造的过程，享受成功的乐趣。如：
“圆周角定义”这一课「4」：
老师在黑板上画出⊙O。在⊙O。上任取两点A和B，，连接AB，再画一条弦AC
如图（1）所示
师：同学们，你们看到了什么？
生：看到圆、弧、角。
师：图中的角A叫圆周角。那么什么叫圆周角？
生甲：圆周角是圆和角的组合
生乙：圆内相交两弦组成的角。
师：这两位同学的回答是否正确？如果你认为不正确，可以通过画图举反例。
（有些学生画出了圆内两弦组成的角不是圆周角的反例，如右图〔2〉所示）
师：要使圆内相交两弦组成的角是圆周角，这两条弦要满
足什么条件？
生：交点在圆上。
师：如何给圆周角下定义？
生丙：圆上一点出发的两条弦所夹的角叫圆周角。⑵
师：很好，这个定义可以用这个同学的名字来命名。请同学们阅读书中的定义（顶点在圆上并且两边都和圆相交的角，叫圆周角）。
师：书上的定义与刚才那位同学的定义有何不同？
生：那位同学是用弦来定义的，而书中的定义是用角的两边定义的。角的边是射线，弦是线段。
2.2对在已有的数学概念的基础上经过多层次抽象概括而成的概念，要找新概念与旧概念潜在的距离。启发和引导学生去探索、观察给出的材料，发现旧概念和新概念的差异。可以运用类比、特殊化、一般化、互逆化等方法去摸索概念的形成过程。让学生组织和调动自己原有的认识结构去探索解决问题。如：根与系数的关系这一节课，可以让学生先解几条具体的方程，然后观察每个方程两个根的和，两个根的积与原方程的系数的关系。接着猜测根与系数的关系的一般形式，最后运用上节课讲过的求根公式来检验证明猜想的正确性。
2.3充分利用多媒体技术，把概念中的难点化成形象直观的图例。文字、符号、图象相结合，不但可以活跃课堂气氛，还使枯燥的理论生动化，简单的结论充实化，在教师的指导下，学生观察、分析、推理、归纳、概括出新的概念。如：在讲角的平分线的这一节课，不运用多媒体技术，学生很难理解这节课的内容。如果用几何画板把两个定理画成两个形象生动的动画，学生通过观察图形的变化和其对应的数据的变化，可以很快地总结出角平分线的两个定理。
3、对概念的内涵和外延的剖析
深入理解概念是在探索的过程的基礎上，指导、启发学生通过分析、综合、类比等思维活动，弄清楚概念的内涵和外延。概念的内涵，是指“反映在概念中的对象的本质属性的总和”「5」。也就是通常所说的“概念的含义”。它回答的是概念反映了什么事物。研究内涵一般从正反两个角度去探讨。概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的类「4」。也就是概念的适用范围。在研究概念的内涵时不仅要摸索清这个概念包含那些对象还要知道它的不包含的那些对象。通过反例或“临界状态”弄清概念外延的“边界”，即弄懂概念描述的对象，成立的条件，适用的范围。从中培养学生剖析问题的能力。
3.1要深入理解概念，在清楚概念来龙去脉的基础上，启发、指导学生认真阅读概念，逐字逐句推敲。切底弄清楚概念的内涵和外延。结合概念的再创造过程，通过改变与概念内涵有关但非概念内涵的因素，想一想概念是否还成立。在容易理解错的地方设计问题。通过错误来暴露学生理解概念的思维，还可以加强记忆力。对各种适用范围的研究，从而达到充分理解概念的目的。如对线段的垂直平分线和圆周角定义的剖析：学习概念的垂直平分线时，要注意到是一条直线（不是线段或射线），垂直（不是一般的相交或平行），线段（不是点或直线或射线），并且经过线段的中点（不是线段上随便的一点），（接圆周角的定义这一节课）
师：很好，圆周角定义的要点是什么？
生：1）角的顶点在圆上；2〉两边都与圆相交。
师：如果有一个条件不满足，是否为圆周角？
生：不是。
师：请大家画一个不是圆周角的角与圆的组合图形。
（有些学生很快画出了右边的两个图形（3）和（4）
师：有没有顶点在圆上，但不是圆周角的角？
生：有.
〔有些学生又画出了右边的两个图形（5）和（6）〕
这样学生就切底地理解什么样的角才是圆周角。
3.2关键词解析：即对比较抽象、学生难理解和掌握的概念或者是概念中高度概括、抽象的关键词。要给出现实生活中的例子或图例，把概念化为通俗易懂的形式，方便学生理解消化。如：用图例表示平行线截线段成比例。
3.3注意概念中的规定。培养学生养成一种严密的逻辑思维。数学概念中的规定总是某种需要的呼唤而不是无病呻吟或多此一举。如：a°=1（a≠0）与0！=1是保证了am÷an=am-n在m=n时也成立等。
4、新旧知识纵横对比不断完善原来的认识结构
记忆空间是由许多知识块作为元素组成的。它是指学生己经掌握的概念贮存在大脑中，为应用而准备的。为了自由快速灵活存取知识，就必须把新旧知识进行类比。把学过的概念通过分析、比较、综合、抽象、概括，归纳入前边所学的知识体系中，形成系统化、结构化、网络化的认知结构。这种知识结构具有二种功能：一是能够迅速吸收新的知识；二是能灵活运用知识。从整体上驾驽学过的知识，养成纵横分析问题的习惯。 4.1抽取概念的共同属性即把具有相同“外延”或一个概念的外延包含在另外一个概念的外延的概念融合在一起。这样容易形成清晰的记忆便于应用。也便于知识的迁移。如：三角形的外心、内心、重心、垂心四心合一。四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形具有前包后的关系即后边的是前边的特殊情况。解一元二次不等式，要分ax2+bx+c>0（a>0）和ax2+bx+c<0（a>0）两种情况；每一种情况又要分△>0，△=0和△<0三种情况，共有六种情况，一一记忆较困难。但是在弄明白一元二次方程，一元二次函数与一元二次不等式之间的内在联系的基础上，借助一元二次函数的图象，结合方程的根和函数与坐标轴交点的关系，不但把这六种情况下一元二次不等式的解集就很容易记住而且把三者统一起来。
4.2从把外延有且只有一部分是重合的系统化：把以前所学的各单元、局部、分散.零碎的知识通过分析、综合归入某种一定的顺序统一体中。充分利用数学的逻辑的严谨性，可用前边的知识加快对新学概念的理解，反过来用新学的概念进一步完善前边学过的知识。这种对概念的瞻前顾后的理解，不断用新学的知识改造。充实，完善旧的知识。从总体上认识局部、孤立概念之间的内部联系。建立起概念间形式和实质的联系，能把容易混淆的概念从本质上区别开来。如：高中学生学习了六个“距离”概念，要弄懂它们之间的区别和联系。两点之间的距离，点到直线之间的距离，两条平行线之间的距离，点到平面的距离，两平行平面之间的距离，两异面直线之间的距离，这六个“距离”的共同点是：“距离”都是指两点之间的线段之长；不同点是：相应的两个点的位置取法不同（點间的距离是它们之间的线段长度，点线指到直线的垂线段长，平行线指两线间的垂线段长，点面是指点到面的垂线段长，平行面指平行面间的垂线段长，异面直线指的也是他们之间的垂线段长不过它们的交点不在同一平面上。
4.3概念的地位和作用归类：把概念分成三类即源头性概念、过度性概念、结果性概念「6」，其中结果性概念又分主体概念和附属概念。如：与三角形有关的一组〈直线，射线、角，三角形，三角形的垂心〉；与三角函数有关的一组（任意角，弧度，正弦函数，正弦函数的周期〉。
4.4概念的歌诀化：把课本中的概念的表达形式重新描述成自己的语言或者把概念制成图表信息，形成自己的思维，从高层次把握使之易于记忆、联想和应用。如：一元一次不等式，可以把它们概括为“大大取大，小小取小，相向取中，相背为空”；而在三角诱导公式时，可把众多的公式化为一句话来概括即“奇变偶不变，符号看象限”。
参考文献
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