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摘 要：数学教学的关键在于教会学生学习数学的方法，教会学生掌握知识的能力，有助于学生分析问题和解决问题能力的提升。本文结合教学实际，就类比学习法在数学教学中的应用进行了 探讨。
关键词：数学 教学 类比法
当前，中学数学教学十分重视培养学生的各种能力。要通过数学知识的学习，让学生在已有知识和经验的基础上，通过自己的独立观察和感知，来完成对新知识的汲取和对旧知识的巩固，教师在教学过程中就必须有所选择。因此，应用科学的方法进行分类，有助于教师正确认识和选择使用教学方法。目前，在教学实践中运用的教学方法不胜枚举，有人曾进行过统计，现今在教学中卓有成效的教学方法有700余种。本文就如何恰当地运用类比法解决数学教学问题，谈一些自己的看法。
类比法也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。它主要是指在解题过程中，根据互变规律，充分利用已经学到数列的性质，能类比、发现、演绎推理或联想起在另一个数列中的相应性质。类比法是人们所熟知几种逻辑推理中最富有创造性的。类比被誉为科学活动中的“伟大的引路人”，是它首先推动了假说的产生。尽管类比不能代替论证，但可以为理解新知识、概念和规律提供依托。因此，作为一种“从特殊推到特殊的科学方法”，类比法在数学教学中有着广泛的应用空间。
一、类比法应用的内容
1.新旧知识类比
数学作为一门综合学科，它不仅有一定的知识内容，而且这些内容之间存在着必然的内在联系。由于数学教学内容具有较强的系统性，前后知识衔接紧密，所以由旧知识类比导入新课在数学教学中较为常见。类比导入新课是培养学生推理的重要手段，由此导入新课必然会提高学生运用类比的思维方法去猜想和发现新问题及解决问题的能力，从而使能力的训练和素质的培养真正落到实处。通过将新旧知识进行类比，给学生以启示，使学生易于掌握新知识，同时也巩固了旧知识。
例如，在研究双曲线概念时，可以提出下列问题：椭圆是如何画出来的？椭圆的定义是什么？椭圆的几何性质、椭圆标准方程的形式与双曲线相似吗？能否像画椭圆一样画出双曲线？能否像定义椭圆那样给出双曲线的定义？这样通过新旧概念的类比联系进行教学，不仅能做到通俗易懂，降低学生理解双曲线概念的难度，而且强化了学生观察类比的能力。如此类比，相当于在新旧知识间架起了一座桥梁，让学生能够从已掌握的旧知识中顺利地接受和理解新知识。
2.生活经验与数学规律类比
著名数学教育家波利亚在《数学与猜想》中指出：“数学被人看做是一门论证科学，然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定的形式出现定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料。然而，数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样。在证明一个数学定理之前，你先得猜想这个定理的内容，在你完全作出详细的证明之前，你先得推测证明思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试。”抽象的数学概念往往来源于生活实际，类比日常生活中的概念可以帮助我们理解一些抽象的数学概念。教师用学生身边的事例进行类比，可启发学生的思维，调动学生学习的积极性，培养学生在生活中观察和分析事物的能力。
例如，在数学分析的学习中，有不少人对连续的概念的理解感到困难。在日常生活中我们也经常提到连续。我们在说路面连续时，它的含义是指路面的高度没有急剧变化或者说当我们前进距离不大时，路面的高度也变化不大，这样我们就能很自然地接受连续的定义了。
再如遇到以下题目：燕隼和红隼是同属于隼科的鸟类，它们的形体大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似。红隼的体形比燕隼略大。通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米。近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟。经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A（32.65厘米，25.2厘米），B（33.4厘米，26.9厘米）。你能否设计一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？（第四届北京高中数学知识应用竞赛题）
我们可以让学生展开想象的翅膀，可以提出以下一些问题：（1）隼形科的鸟在形体上有什么共同点？请学生总结归纳。（2）试利用数学知识中的相似性尝试解释。（3）通过这两只鸟体长和翅长所确定的点，与燕隼和红隼的平均体长和平均翅长所确定的点之间的距离大小来判断他们应归属于哪一类。通过一系列的问题的引导，让学生用类比法将此题突破。
3.不同数学分支间的类比
在数学教学过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，而且在不同分支、不同领域中会感到有某种类似的成分。类比法就是根据两个（两类）对象的某些相同属性，作出它们的另一些属性也相同的一种推理形式。在数学的不同分支中，有许多概念是相似的，在教学中，可以从我们熟知的分支中的概念引入我们不熟悉的分支的概念。
例如，立体几何与平面几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系。实际上，通过类比不难发现：（1）从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；（2）从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间两个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；（3）从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹。正因为平面几何与立体几何有这么多千丝万缕的联系，所以，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新题型的生长空间也相当宽广。教师促使学生领略到“类比”这一重要的认识问题的方法，同时也加强了各分支间的横向联系，激发了学生学习的兴趣。
二、类比法应用的范围
1.应用类比方法引进新概念
数学概念不但是数学思维的基础，也是数学思维的结果，课本上的概念有的非常简练，有的很抽象，从而造成了学生学习成绩、学习能力的差异。在引入新概念的教学中，首先是要学生“感知”教材，利用类比法使抽象、陌生的概念变为具体、熟悉的知识，降低知识理解的难度。因此，在教学过程中对于一些极为陌生、抽象的数学概念，让学生进行讨论，用熟悉的、形象化的事物去类比，充分调动学生的积极性。新概念的建立，完全可以由学生自己完成，将对新概念下定义的主动权也完全可以交给学生，这样能更好地激发学生学习数学的积极性，提高学生学习数学的兴趣。 例如，在讲“同类二次根式”时，可类比同类项——被开方数化简后所含字母相同，并且相同字母的指数也相同。不同的是同类二次根式的被开方数中的数字因数也要相同。再如，空间的四面体与平面上的三角形有一致之处，三角形是由平面上最少数目的直线围成的有限图形，四面体是由空间中最少数目的平面围成的有限几何体，故四面体在空间中的地位与三角形在平面中的地位是一致的，或者在某些方面是相似的，它们具有类比关系。教师在教学中可以根据三角形的有关概念、性质类比引入四面体相应的概念、性质。
用类比法引入新概念，能使学生易于理解和掌握。学生一旦发现新概念特征和过去已知的概念相似，就会积极主动地推测新概念特征，也可更好地理解新概念的内涵与外延。故学生容易从新旧事物的对比中接受新概念，产生“一语道破天机”的作用，帮助学生加速了认识过程。
2.应用类比方法理解概念
学生数学成绩的好坏，取决于对数学基本知识能否灵活应用，而对数学概念的正确理解是学好数学的基础，是解决问题的关键。在教学中，应用类比方法帮助我们理解概念的例子比比皆是。
例如，在学习等比数列概念时，教师可明确告诉学生等比数列与等差数列有着紧密的联系，学生们完全可以根据已学过的等差数列来研究等比数列。接着教师提出下列问题：（1）什么样的数列是等比数列？（2）你能由此类比猜想什么是等比数列吗？（3）请举出1～2个例子，试说出等比数列的定义。
这样的概念引入，学生的参与程度很强，在几乎没有任何提示的情况下，让学生自己动脑、动手去研究，这种方法不仅在于训练和培养学生的类比思想，也可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力，降低学生接受这一概念的难度。
总之，在我们平时的学习与生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。美国数学心理学家保尔科特勒斯克指出：“兴趣可以看做是学习的原因，又是学习的结果，正像兴趣是过去学习的产物一样，兴趣也是促进今后学习的手段。”教学中，类比法是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要途径。类比法在教学方面确实具有严格的逻辑推理难以取代的功效。但在使用类比方法时，要注意各种不同事物之间的差异和区别，在引进新概念、新规律时，应当进一步把它们的本质讲清楚。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行推理的能力，使他们的思维更具创造力。只有这样，才能使学生更好地理解所学习的内容，启发学生的思维和加深对学习内容的理解，在教学中达到举一反三的效果。
参考文献：
[1]黄甫全.现代教学理论[M].北京：教育出版社，1998.
[2]邓泽民.职业学校学生职业能力形成与教学模式研究[M].北京：高等教育出版社，2002.
[3]吴振奎.中学数学证明方法[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.
[4]邹忠敏.教改初见成效，努力再攀高峰[J].安徽教育学刊，1998（6）.
关键词：数学 教学 类比法
当前，中学数学教学十分重视培养学生的各种能力。要通过数学知识的学习，让学生在已有知识和经验的基础上，通过自己的独立观察和感知，来完成对新知识的汲取和对旧知识的巩固，教师在教学过程中就必须有所选择。因此，应用科学的方法进行分类，有助于教师正确认识和选择使用教学方法。目前，在教学实践中运用的教学方法不胜枚举，有人曾进行过统计，现今在教学中卓有成效的教学方法有700余种。本文就如何恰当地运用类比法解决数学教学问题，谈一些自己的看法。
类比法也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。它主要是指在解题过程中，根据互变规律，充分利用已经学到数列的性质，能类比、发现、演绎推理或联想起在另一个数列中的相应性质。类比法是人们所熟知几种逻辑推理中最富有创造性的。类比被誉为科学活动中的“伟大的引路人”，是它首先推动了假说的产生。尽管类比不能代替论证，但可以为理解新知识、概念和规律提供依托。因此，作为一种“从特殊推到特殊的科学方法”，类比法在数学教学中有着广泛的应用空间。
一、类比法应用的内容
1.新旧知识类比
数学作为一门综合学科，它不仅有一定的知识内容，而且这些内容之间存在着必然的内在联系。由于数学教学内容具有较强的系统性，前后知识衔接紧密，所以由旧知识类比导入新课在数学教学中较为常见。类比导入新课是培养学生推理的重要手段，由此导入新课必然会提高学生运用类比的思维方法去猜想和发现新问题及解决问题的能力，从而使能力的训练和素质的培养真正落到实处。通过将新旧知识进行类比，给学生以启示，使学生易于掌握新知识，同时也巩固了旧知识。
例如，在研究双曲线概念时，可以提出下列问题：椭圆是如何画出来的？椭圆的定义是什么？椭圆的几何性质、椭圆标准方程的形式与双曲线相似吗？能否像画椭圆一样画出双曲线？能否像定义椭圆那样给出双曲线的定义？这样通过新旧概念的类比联系进行教学，不仅能做到通俗易懂，降低学生理解双曲线概念的难度，而且强化了学生观察类比的能力。如此类比，相当于在新旧知识间架起了一座桥梁，让学生能够从已掌握的旧知识中顺利地接受和理解新知识。
2.生活经验与数学规律类比
著名数学教育家波利亚在《数学与猜想》中指出：“数学被人看做是一门论证科学，然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定的形式出现定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料。然而，数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样。在证明一个数学定理之前，你先得猜想这个定理的内容，在你完全作出详细的证明之前，你先得推测证明思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试。”抽象的数学概念往往来源于生活实际，类比日常生活中的概念可以帮助我们理解一些抽象的数学概念。教师用学生身边的事例进行类比，可启发学生的思维，调动学生学习的积极性，培养学生在生活中观察和分析事物的能力。
例如，在数学分析的学习中，有不少人对连续的概念的理解感到困难。在日常生活中我们也经常提到连续。我们在说路面连续时，它的含义是指路面的高度没有急剧变化或者说当我们前进距离不大时，路面的高度也变化不大，这样我们就能很自然地接受连续的定义了。
再如遇到以下题目：燕隼和红隼是同属于隼科的鸟类，它们的形体大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似。红隼的体形比燕隼略大。通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米。近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟。经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A（32.65厘米，25.2厘米），B（33.4厘米，26.9厘米）。你能否设计一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？（第四届北京高中数学知识应用竞赛题）
我们可以让学生展开想象的翅膀，可以提出以下一些问题：（1）隼形科的鸟在形体上有什么共同点？请学生总结归纳。（2）试利用数学知识中的相似性尝试解释。（3）通过这两只鸟体长和翅长所确定的点，与燕隼和红隼的平均体长和平均翅长所确定的点之间的距离大小来判断他们应归属于哪一类。通过一系列的问题的引导，让学生用类比法将此题突破。
3.不同数学分支间的类比
在数学教学过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，而且在不同分支、不同领域中会感到有某种类似的成分。类比法就是根据两个（两类）对象的某些相同属性，作出它们的另一些属性也相同的一种推理形式。在数学的不同分支中，有许多概念是相似的，在教学中，可以从我们熟知的分支中的概念引入我们不熟悉的分支的概念。
例如，立体几何与平面几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系。实际上，通过类比不难发现：（1）从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；（2）从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间两个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；（3）从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹。正因为平面几何与立体几何有这么多千丝万缕的联系，所以，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新题型的生长空间也相当宽广。教师促使学生领略到“类比”这一重要的认识问题的方法，同时也加强了各分支间的横向联系，激发了学生学习的兴趣。
二、类比法应用的范围
1.应用类比方法引进新概念
数学概念不但是数学思维的基础，也是数学思维的结果，课本上的概念有的非常简练，有的很抽象，从而造成了学生学习成绩、学习能力的差异。在引入新概念的教学中，首先是要学生“感知”教材，利用类比法使抽象、陌生的概念变为具体、熟悉的知识，降低知识理解的难度。因此，在教学过程中对于一些极为陌生、抽象的数学概念，让学生进行讨论，用熟悉的、形象化的事物去类比，充分调动学生的积极性。新概念的建立，完全可以由学生自己完成，将对新概念下定义的主动权也完全可以交给学生，这样能更好地激发学生学习数学的积极性，提高学生学习数学的兴趣。 例如，在讲“同类二次根式”时，可类比同类项——被开方数化简后所含字母相同，并且相同字母的指数也相同。不同的是同类二次根式的被开方数中的数字因数也要相同。再如，空间的四面体与平面上的三角形有一致之处，三角形是由平面上最少数目的直线围成的有限图形，四面体是由空间中最少数目的平面围成的有限几何体，故四面体在空间中的地位与三角形在平面中的地位是一致的，或者在某些方面是相似的，它们具有类比关系。教师在教学中可以根据三角形的有关概念、性质类比引入四面体相应的概念、性质。
用类比法引入新概念，能使学生易于理解和掌握。学生一旦发现新概念特征和过去已知的概念相似，就会积极主动地推测新概念特征，也可更好地理解新概念的内涵与外延。故学生容易从新旧事物的对比中接受新概念，产生“一语道破天机”的作用，帮助学生加速了认识过程。
2.应用类比方法理解概念
学生数学成绩的好坏，取决于对数学基本知识能否灵活应用，而对数学概念的正确理解是学好数学的基础，是解决问题的关键。在教学中，应用类比方法帮助我们理解概念的例子比比皆是。
例如，在学习等比数列概念时，教师可明确告诉学生等比数列与等差数列有着紧密的联系，学生们完全可以根据已学过的等差数列来研究等比数列。接着教师提出下列问题：（1）什么样的数列是等比数列？（2）你能由此类比猜想什么是等比数列吗？（3）请举出1～2个例子，试说出等比数列的定义。
这样的概念引入，学生的参与程度很强，在几乎没有任何提示的情况下，让学生自己动脑、动手去研究，这种方法不仅在于训练和培养学生的类比思想，也可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力，降低学生接受这一概念的难度。
总之，在我们平时的学习与生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。美国数学心理学家保尔科特勒斯克指出：“兴趣可以看做是学习的原因，又是学习的结果，正像兴趣是过去学习的产物一样，兴趣也是促进今后学习的手段。”教学中，类比法是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要途径。类比法在教学方面确实具有严格的逻辑推理难以取代的功效。但在使用类比方法时，要注意各种不同事物之间的差异和区别，在引进新概念、新规律时，应当进一步把它们的本质讲清楚。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行推理的能力，使他们的思维更具创造力。只有这样，才能使学生更好地理解所学习的内容，启发学生的思维和加深对学习内容的理解，在教学中达到举一反三的效果。
参考文献：
[1]黄甫全.现代教学理论[M].北京：教育出版社，1998.
[2]邓泽民.职业学校学生职业能力形成与教学模式研究[M].北京：高等教育出版社，2002.
[3]吴振奎.中学数学证明方法[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.
[4]邹忠敏.教改初见成效，努力再攀高峰[J].安徽教育学刊，1998（6）.