论文部分内容阅读
摘 要：在长期的解题实践中，我们会对所积累的知识经验进行必要的加工，得出具有长久保存价值的相对固定的题型结构和解题模式，这就是我们要研究的“模式识别”. 但是模式识别的积极因素被大家过分地放大，反而它对于思维创新的消极作用却很少被人们关注，本文对此做了深入的研究.
关键词：解题；模式；模式化
众所周知，解答高考题是在特定环境下进行的，最大的特点是有严格的时间限制，解答高考题必须做到迅速下手和迅速推进. 现实中，不少考生往往拿到题目，没有“弄清问题”，就手舞足蹈地乱忙一阵子，一大会儿才安静地写几下. 对于从何处下手，向何方前进，从来都不去想，也没有习惯，解题没个章法. 我们在强调解题多一些模式的同时，却也不能走向极端，即把数学问题的解决都理解为一种程序的模式化. 我们常说“熟能生巧”，为使学生的技能变熟练，往往选择大量的习题予以强化，机械重复地训练，一些简单的运算技能形成固定的运算模式的同时，也让学生的思维产生惰性，遇到什么题目都要问问属于什么模型，该套用哪种解法模式. 这样不利于学生的创新思维培养，学生习惯于常规题型，不能很好地理解题意、寻求策略，不能独立思考、理解分析问题，一旦遇到新题便会出现思维受阻的情况，这一点在历年高考中得到印证.
■对高考答题中出现的思维受阻现象的剖析
1. 对条件的特殊信息熟视无睹，单凭经验解题
例1 （2013上海高考）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=9x+■+7，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为________.
解：易得当x>0时，f（x）=9x+■-7≥6a-7，当且仅当时x=■时取等号；当x=0时，f（x）=0. 因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，亦应f（x）≥a+1，即a≤-1. 因此-6a-7≥a+1，解得a≤-■.
评注：上述问题的中“x≥0”和“x>0”存在天壤之别，f（x）≥a+1至少要满足f（0）≥a+1，从而隐含了一个条件是a≤ -1. 函数f（x）图象包含了原点，故此直线y=a+1也应该在原点的下方，这也是值域高度的一部分. 但是由于习惯性思维，使得我们总是不假思索地按照常见问题类型的解题模式来求解，显然出现上述不拘小节的失误在所难免.
2. 对条件研究过火，总是想向数学模型上靠
例2 已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x） 分析：关于x的不等式f（x） 解：关于x的不等式f（x） 评注：上述解法能通过对于条件的深刻挖掘，判断出函数的定义域为（m，m+6）时，函数的值域达到[0，c），实属不易. 看来该考生对于研究定义域和值域关系的题目做得不少，研究得很透. 不过令人遗憾的是，对本题条件“关于x的不等式f（x） 3. 只会常规的，缺乏应对新问题的勇气
例3 已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；
（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数h（x）=f（f（x））-c的零点个数.
■
图1
分析：函数的零点的概念是再简单不过了，求函数h（x）=f（f（x））-c的零点个数也就是h（x）=0的解个数，求方程f（f（x））=c的解可以转化为求f（t）=c（t=f（x））解. 因为满足f（t）=c的实数t，同时满足t=f（x），因此我们可以分步研究两个方程的解，即f（t）=c与t=f（x），而所利用的函数确是同一个函数y=f（x），不难求解.
解：（1）由题得f ′（x）=3x2+2ax+b零点为1和-1，所以3x2+2ax+b=0的根为1和-1，由韦达定理求得a=0，b=-3.
（2）由题g′（x）=x3-3x+2=（x-1）2（x+2）其变号零点仅是-2，从而g（x）的极值点为-2.
（3）令h（x）=f（f（x））-c=0，求函数h（x）=f（f（x））-c的零点也就是要解方程f（f（x））=c. 若令t=f（x），则f（t）=c的根满足t=f（x），搞清楚该方程的根的个数便可以搞清楚f（f（x））=c的根的个数，也就是原函数的零点.
由f ′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）知f（x）=x3-3x的示意图，且极大值极小值分别为2，-2. 当c=2时，x3-3x=2，即x3+1-3x-3=0，则（x+1）（x2-x-2）=0，解得x=-1，x=2；当c=-2时，x3-1-3x+3=0，解得x=1，x=-2. 也就是说，对于f（t）-c=0来讲，当c=2时，t=-1，t=2；当c=-2时，t=1，t=-2.
因为当t=-1时，根据上面的图象，可见方程-1=f（x）应该有3个根；当t=2时，根据上面的图象，可见方程2=f（x）应该有2个根，所以c=2时，h（x）=f（f（x））-c应该有5个零点.
因为当t=1时，根据上面的图象，可见方程1=f（x）应该有3个根；当t=-2时，根据上面的图象，可见方程-2=f（x）应该有2个根，所以c=-2时，h（x）=f（f（x））-c应该有5个零点.
而当-2 综上当c=±2时各有个零点，当-2 评注：常见的求函数零点的问题，其解析式一般都是给定的，而本题的函数h（x）=f（f（x））-c的解析式虽然也可以求出来，但是次数达到6次，属于高次函数，很难求出零点的位置. 这使得不少考生放弃该问的求解.
2. 对高三数学复习的一点启示
数学家波利亚的《怎样解题》表明确地告诉大家，解数学问题要经历“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”四个步骤，这就是一种模式，一种解题模式. 我们在平时的教学中，应该着重训练学生如何思考问题，如何按部就班地组织思维，要形成一种对于问题的思考模式，而且教师要首先发挥示范作用. 随着新课改理念的深入，当前我们的课堂教学都贯彻了“先学后教”的原则，将问题前置，一定程度地培养了学生的独立思考习惯，减少了课堂思考问题的时间，课堂基本上是教师和学生交流展示的时间，课堂容量增加了. 但是如何想出来的，为什么这样想？审题与剖析的过程也被不少课堂所省略. 因此，平时教学中，大部分学生很难形成一种解题的思维模式，这是当前解题教学中存在的亟待改进的问题.
从另一个角度讲，当前高三数学复习基本上就是解题，解题.这给学生一种误解，要想提高数学成绩唯有解题，大量的练习，题海训练，也许针对平时的考试也能、必定能而且很好地应付，因为有的题型，不知做过多少遍，眯眼就能写出它的解题思路，都形成一整套的方法策略了，当然能取得不错的成绩. 但是面对高考，面对经过反复打磨的高考试题，除了提高了一定的解题速度，对于试题稍微新颖一点的题目，考生会突然发现所有的努力都归零，这就是题海战术带来的消极的一面，把解题模式化了.
总之，我们高三数学复习既要重视对学生的解题的思维模式的培养，又要把学生从辨模型、套方法的题海中解救出来，培养学生的独立应对新问题的能力和习惯.
关键词：解题；模式；模式化
众所周知，解答高考题是在特定环境下进行的，最大的特点是有严格的时间限制，解答高考题必须做到迅速下手和迅速推进. 现实中，不少考生往往拿到题目，没有“弄清问题”，就手舞足蹈地乱忙一阵子，一大会儿才安静地写几下. 对于从何处下手，向何方前进，从来都不去想，也没有习惯，解题没个章法. 我们在强调解题多一些模式的同时，却也不能走向极端，即把数学问题的解决都理解为一种程序的模式化. 我们常说“熟能生巧”，为使学生的技能变熟练，往往选择大量的习题予以强化，机械重复地训练，一些简单的运算技能形成固定的运算模式的同时，也让学生的思维产生惰性，遇到什么题目都要问问属于什么模型，该套用哪种解法模式. 这样不利于学生的创新思维培养，学生习惯于常规题型，不能很好地理解题意、寻求策略，不能独立思考、理解分析问题，一旦遇到新题便会出现思维受阻的情况，这一点在历年高考中得到印证.
■对高考答题中出现的思维受阻现象的剖析
1. 对条件的特殊信息熟视无睹，单凭经验解题
例1 （2013上海高考）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=9x+■+7，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为________.
解：易得当x>0时，f（x）=9x+■-7≥6a-7，当且仅当时x=■时取等号；当x=0时，f（x）=0. 因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，亦应f（x）≥a+1，即a≤-1. 因此-6a-7≥a+1，解得a≤-■.
评注：上述问题的中“x≥0”和“x>0”存在天壤之别，f（x）≥a+1至少要满足f（0）≥a+1，从而隐含了一个条件是a≤ -1. 函数f（x）图象包含了原点，故此直线y=a+1也应该在原点的下方，这也是值域高度的一部分. 但是由于习惯性思维，使得我们总是不假思索地按照常见问题类型的解题模式来求解，显然出现上述不拘小节的失误在所难免.
2. 对条件研究过火，总是想向数学模型上靠
例2 已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）
例3 已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；
（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数h（x）=f（f（x））-c的零点个数.
■
图1
分析：函数的零点的概念是再简单不过了，求函数h（x）=f（f（x））-c的零点个数也就是h（x）=0的解个数，求方程f（f（x））=c的解可以转化为求f（t）=c（t=f（x））解. 因为满足f（t）=c的实数t，同时满足t=f（x），因此我们可以分步研究两个方程的解，即f（t）=c与t=f（x），而所利用的函数确是同一个函数y=f（x），不难求解.
解：（1）由题得f ′（x）=3x2+2ax+b零点为1和-1，所以3x2+2ax+b=0的根为1和-1，由韦达定理求得a=0，b=-3.
（2）由题g′（x）=x3-3x+2=（x-1）2（x+2）其变号零点仅是-2，从而g（x）的极值点为-2.
（3）令h（x）=f（f（x））-c=0，求函数h（x）=f（f（x））-c的零点也就是要解方程f（f（x））=c. 若令t=f（x），则f（t）=c的根满足t=f（x），搞清楚该方程的根的个数便可以搞清楚f（f（x））=c的根的个数，也就是原函数的零点.
由f ′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）知f（x）=x3-3x的示意图，且极大值极小值分别为2，-2. 当c=2时，x3-3x=2，即x3+1-3x-3=0，则（x+1）（x2-x-2）=0，解得x=-1，x=2；当c=-2时，x3-1-3x+3=0，解得x=1，x=-2. 也就是说，对于f（t）-c=0来讲，当c=2时，t=-1，t=2；当c=-2时，t=1，t=-2.
因为当t=-1时，根据上面的图象，可见方程-1=f（x）应该有3个根；当t=2时，根据上面的图象，可见方程2=f（x）应该有2个根，所以c=2时，h（x）=f（f（x））-c应该有5个零点.
因为当t=1时，根据上面的图象，可见方程1=f（x）应该有3个根；当t=-2时，根据上面的图象，可见方程-2=f（x）应该有2个根，所以c=-2时，h（x）=f（f（x））-c应该有5个零点.
而当-2
2. 对高三数学复习的一点启示
数学家波利亚的《怎样解题》表明确地告诉大家，解数学问题要经历“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”四个步骤，这就是一种模式，一种解题模式. 我们在平时的教学中，应该着重训练学生如何思考问题，如何按部就班地组织思维，要形成一种对于问题的思考模式，而且教师要首先发挥示范作用. 随着新课改理念的深入，当前我们的课堂教学都贯彻了“先学后教”的原则，将问题前置，一定程度地培养了学生的独立思考习惯，减少了课堂思考问题的时间，课堂基本上是教师和学生交流展示的时间，课堂容量增加了. 但是如何想出来的，为什么这样想？审题与剖析的过程也被不少课堂所省略. 因此，平时教学中，大部分学生很难形成一种解题的思维模式，这是当前解题教学中存在的亟待改进的问题.
从另一个角度讲，当前高三数学复习基本上就是解题，解题.这给学生一种误解，要想提高数学成绩唯有解题，大量的练习，题海训练，也许针对平时的考试也能、必定能而且很好地应付，因为有的题型，不知做过多少遍，眯眼就能写出它的解题思路，都形成一整套的方法策略了，当然能取得不错的成绩. 但是面对高考，面对经过反复打磨的高考试题，除了提高了一定的解题速度，对于试题稍微新颖一点的题目，考生会突然发现所有的努力都归零，这就是题海战术带来的消极的一面，把解题模式化了.
总之，我们高三数学复习既要重视对学生的解题的思维模式的培养，又要把学生从辨模型、套方法的题海中解救出来，培养学生的独立应对新问题的能力和习惯.