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[摘 要]本文探讨扩散方程有界区域只含空间变量的源项识别反问题，用迭代正则化法化反问题为最优化问题，借助卡尔曼滤波同化最终时间的观测数据并恢复源项，数值实验表明，取合适的迭代数，迭代正则化算法效果较好。
[关键词]扩散方程；源项反问题；迭代正则化法；卡尔曼滤波
中图分类号：TU864 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2017）42-0359-03
An iterated regularization method in remote sensing data assimilation
ZHENG Jiangpeng1，2
（1. China-Russian Joint Graduate School， Heilongjiang University， Harbin， 150080， China；
2. Department of Mechanics and Mathematics， Novosibirsk State University， Novosibirsk， 630090， Russia；）
[Abstract]In this paper， we discuss the inverse problem of determining a spacewise dependent source in the diffusion equation， use iterated regularization method turn the inverse problem into the optimization problem， with Kalman filter assimilate the observation data in the end time and restore the source. Numerical experiments show that the iterated regularization algorithm works well when the appropriate number of iterations is taken.
[Key words]Diffusion equation； source inverse problem； iterated regularization； Kalman filter
0 引言
源項识别问题是最常见的扩散方程反问题，广泛应用于流体力学、环境科学等领域。扩散方程中的非齐次项在不同的实际问题中有不同的意义：在热传导问题中表示热源，污染控制问题中表示污染源。在近几十年的研究中很多人用不同的方法识别源项，如：Showalter[1]，Ames[2]用拟逆法求解逆时热传导的数值解，高翔等[3]用Fourier正则化方法稳定近似逆时热传导问题，Farcas和Lesnic[4]用边界元法识别热源，Johansson[5]用迭代算法识别只含一个变量的热源，杨帆等[6]用简化的Tihkonov正则化方法识别源项。本文引用迭代正则化算法对有界区域上扩散方程求解只含空间变量的源项，并用数值实验作比较。
1 问题的提出
考虑有界区域上扩散方程 （1.1）
其中：是在点的浓度，为源项函数，。
如果已知，可由初值条件和边界条件求出浓度分布，此为正问题。现考虑由时刻的数据 （1.2）
来恢复源项，此为反问题。
2 不适定性分析
借助分离变量法求解： （2.1）
其中：为空间的标准正交基，.
定义算子，
（2.2）
算子有奇异值，且，进而有 （2.3）
当时，，也就是说，该问题不适定。
3 迭代正则化法
迭代正则化法如下定义[7]：
（3.1）
或 （3.2）
当为通常的Tikhonov正则化。
取，那么：
（3.3）
由此得到迭代正则化近似解
（3.4）
4 数值实验
本节用几个数值例子来验证算法效果。在数值实验中取的前项和来做近似截断，为迭代正则化中的迭代数，取的等距剖分为。
首先由观测模型算子取真实状态数据的部分数据，模拟出观测数据，即： （4.1）
其中为观测噪声，其均值为零，协方差矩阵为且服从高斯分布，为误差水平。
再由卡尔曼滤波算法[8]计算出观测数据的同化数据。
预测 （4.2）
（4.3）
其中是状态的预测值，是状态的更新值，是作用在上的状态变换模型，是状态预测值误差协方差矩阵，是状态的更新值误差协方差矩阵，是状态的预测值误差协方差矩阵，是过程噪声协方差矩阵。
更新 （4.4）
（4.5）
（4.6）
其中是状态的最优卡尔曼增益矩阵，是状态的观测模型算子，它把真是状态空间映成观测空间，是观测噪声协方差矩阵，是状态的观测值。
例1.函数满足问题（1.1），其数据函数为，源项为，按照卡尔曼滤波算法得出真实数据的同化数据，用恢复源项。
数值结果见图1、2。注意到的剖分数与截断和对实验结果影响不大，对此我们选取。由图1的多次试验得出，当迭代数时，迭代正则化算法的近似解优于简化Tikhonov正则化算法近似解，但随着迭代数的增加，会出现吉布斯现象，迭代效果变差。
例2.本实验考虑如下分段函数： （4.7） 数值结果见图3、4。选取合适范围内的迭代数，效果很好，但迭代数过大时，由迭代正则化算法恢复的源项出现峰值。
只含空间变量的扩散方程源项识别反问题是一类典型的不适定问题。本文给出了迭代正则化算法，用观测数据的同化数据恢复源项，在合适的迭代数下，迭代正则化近似解效果较好。该方法还可推广到与空间、时间都有关的源项，也可用于无界区域条件下的求解。
参考文献
[1] Showalter R E. The final value problem for evolution equation[J]. J Math Anal Appl， 1974， 47（5）： 563-572.
[2] Ames K A， Gordon W C， Epperson J F. A comparison of regularizations for an ill-posed problem[J]. Math Comput， 1998， 67（12）： 1451-1471.
[3] Gao X， Xiong X T， Nie Y， et al. Fourier regularization method for solving a backward heat conduction problem[J]. Journal of Lanzhou University， 2006， 42（4）：119-120.
[4] Farcas A， Lesnic D. The boundary-element method for the determination of a heat source dependent on one variable[J]. Journal of Engineering Mathematics， 2006， 54（4）：375-388.
[5] Johansson T， Lesnic D. Determination of a spacewise dependent heat source[J]. Journal of Computational & Applied Mathematics， 2007， 209（1）：66-80.
[6] Yang F，Wan S M，Dun-Gang L I，et al.Inverse problem of identifying heat source in parabolic equation containing convection term in bounded domain[J].Journal of Lanzhou University of Technology，2010，36（5）.
[7] Fu C，Li H，Xiong X.Iterated Tikhonov regularization for ill-posed problems[J].Mathematica Numberica Sinica.2006，28（3）：237-246.
[8] 馬建文，数据同化算法研发与实验[M]. 北京：科学出版社，2013.
收稿日期：2017-07-19
基金项目
黑龙江大学创新科研项目（YJSCX2017-184HLJU）。
作者简介
郑江澎（1992-），男，硕士研究生，主要研究方向：数学物理反问题。
[关键词]扩散方程；源项反问题；迭代正则化法；卡尔曼滤波
中图分类号：TU864 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2017）42-0359-03
An iterated regularization method in remote sensing data assimilation
ZHENG Jiangpeng1，2
（1. China-Russian Joint Graduate School， Heilongjiang University， Harbin， 150080， China；
2. Department of Mechanics and Mathematics， Novosibirsk State University， Novosibirsk， 630090， Russia；）
[Abstract]In this paper， we discuss the inverse problem of determining a spacewise dependent source in the diffusion equation， use iterated regularization method turn the inverse problem into the optimization problem， with Kalman filter assimilate the observation data in the end time and restore the source. Numerical experiments show that the iterated regularization algorithm works well when the appropriate number of iterations is taken.
[Key words]Diffusion equation； source inverse problem； iterated regularization； Kalman filter
0 引言
源項识别问题是最常见的扩散方程反问题，广泛应用于流体力学、环境科学等领域。扩散方程中的非齐次项在不同的实际问题中有不同的意义：在热传导问题中表示热源，污染控制问题中表示污染源。在近几十年的研究中很多人用不同的方法识别源项，如：Showalter[1]，Ames[2]用拟逆法求解逆时热传导的数值解，高翔等[3]用Fourier正则化方法稳定近似逆时热传导问题，Farcas和Lesnic[4]用边界元法识别热源，Johansson[5]用迭代算法识别只含一个变量的热源，杨帆等[6]用简化的Tihkonov正则化方法识别源项。本文引用迭代正则化算法对有界区域上扩散方程求解只含空间变量的源项，并用数值实验作比较。
1 问题的提出
考虑有界区域上扩散方程 （1.1）
其中：是在点的浓度，为源项函数，。
如果已知，可由初值条件和边界条件求出浓度分布，此为正问题。现考虑由时刻的数据 （1.2）
来恢复源项，此为反问题。
2 不适定性分析
借助分离变量法求解： （2.1）
其中：为空间的标准正交基，.
定义算子，
（2.2）
算子有奇异值，且，进而有 （2.3）
当时，，也就是说，该问题不适定。
3 迭代正则化法
迭代正则化法如下定义[7]：
（3.1）
或 （3.2）
当为通常的Tikhonov正则化。
取，那么：
（3.3）
由此得到迭代正则化近似解
（3.4）
4 数值实验
本节用几个数值例子来验证算法效果。在数值实验中取的前项和来做近似截断，为迭代正则化中的迭代数，取的等距剖分为。
首先由观测模型算子取真实状态数据的部分数据，模拟出观测数据，即： （4.1）
其中为观测噪声，其均值为零，协方差矩阵为且服从高斯分布，为误差水平。
再由卡尔曼滤波算法[8]计算出观测数据的同化数据。
预测 （4.2）
（4.3）
其中是状态的预测值，是状态的更新值，是作用在上的状态变换模型，是状态预测值误差协方差矩阵，是状态的更新值误差协方差矩阵，是状态的预测值误差协方差矩阵，是过程噪声协方差矩阵。
更新 （4.4）
（4.5）
（4.6）
其中是状态的最优卡尔曼增益矩阵，是状态的观测模型算子，它把真是状态空间映成观测空间，是观测噪声协方差矩阵，是状态的观测值。
例1.函数满足问题（1.1），其数据函数为，源项为，按照卡尔曼滤波算法得出真实数据的同化数据，用恢复源项。
数值结果见图1、2。注意到的剖分数与截断和对实验结果影响不大，对此我们选取。由图1的多次试验得出，当迭代数时，迭代正则化算法的近似解优于简化Tikhonov正则化算法近似解，但随着迭代数的增加，会出现吉布斯现象，迭代效果变差。
例2.本实验考虑如下分段函数： （4.7） 数值结果见图3、4。选取合适范围内的迭代数，效果很好，但迭代数过大时，由迭代正则化算法恢复的源项出现峰值。
只含空间变量的扩散方程源项识别反问题是一类典型的不适定问题。本文给出了迭代正则化算法，用观测数据的同化数据恢复源项，在合适的迭代数下，迭代正则化近似解效果较好。该方法还可推广到与空间、时间都有关的源项，也可用于无界区域条件下的求解。
参考文献
[1] Showalter R E. The final value problem for evolution equation[J]. J Math Anal Appl， 1974， 47（5）： 563-572.
[2] Ames K A， Gordon W C， Epperson J F. A comparison of regularizations for an ill-posed problem[J]. Math Comput， 1998， 67（12）： 1451-1471.
[3] Gao X， Xiong X T， Nie Y， et al. Fourier regularization method for solving a backward heat conduction problem[J]. Journal of Lanzhou University， 2006， 42（4）：119-120.
[4] Farcas A， Lesnic D. The boundary-element method for the determination of a heat source dependent on one variable[J]. Journal of Engineering Mathematics， 2006， 54（4）：375-388.
[5] Johansson T， Lesnic D. Determination of a spacewise dependent heat source[J]. Journal of Computational & Applied Mathematics， 2007， 209（1）：66-80.
[6] Yang F，Wan S M，Dun-Gang L I，et al.Inverse problem of identifying heat source in parabolic equation containing convection term in bounded domain[J].Journal of Lanzhou University of Technology，2010，36（5）.
[7] Fu C，Li H，Xiong X.Iterated Tikhonov regularization for ill-posed problems[J].Mathematica Numberica Sinica.2006，28（3）：237-246.
[8] 馬建文，数据同化算法研发与实验[M]. 北京：科学出版社，2013.
收稿日期：2017-07-19
基金项目
黑龙江大学创新科研项目（YJSCX2017-184HLJU）。
作者简介
郑江澎（1992-），男，硕士研究生，主要研究方向：数学物理反问题。