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摘 要：传统债券估值模型计算结果表明，加快付息频率使溢价发行债券价值增加，折价发行债券价值减少，而平价发行价值不变。本文通过分析认为：传统债券估值模型的计算结果存在一些瑕疵，尤其是对折价发行债券价值的影响。
关键词：付息频率；债券价值；增量公式
一、传统债券估值模型演示及疑问
债券价值有现值和终值两种表现形式，分布在时间轴的起点和终点，通过特定的利率互相转化，并保持内在一致性。由于二者的内在一致性，终值和现值本身并无实质性区别，均可表示债券的价值。债券估值模型运用现金流理模型对债券未来产生的利息和到期偿还的本金通过投资人要求的必要报酬率（或市场利率）进行折现，即可得到债券的价值，数学公式表示如下：
其中：PV—债券现值
P—债券面值
R—票面利率
r—市场利率或必要报酬率
n—债券的付息期
（P/A，r，n）为年金现值系数，（P/F，r，n）为复利现值系数
从债券发行方式来看，由于发行时点市场利率与票面利率的差异，导致了三种不同的发行方式，分别是溢价发行、平价发行、折价发行。传统债券估值模型计算结果表明，加快付息频率使溢价发行债券价值增加，折价发行债券价值减少，而平价发行价值不变。我们通過案例进行演示，具体如下：
假设某公司发行一种债券，面值为100元，票面利率8%，10年期，按年支付利息，到期后归还本金。假设发行时市场利率分别为6%、8%和10%，则会出现三种不同的发行方式，分别是溢价发行、平价发行和折价发行。
溢价发行：市场利率为6%。此时市场利率小于票面利率，发行人会选择溢价发行，债券的发行价格大于票面金额。设溢价发行的发行价格为PV1，则具体计算过程如下：
PV1=100×8%（P/A，6%，10）+100（P/F，6%，10）=114.72
同理得出，平价发行市场利率为8%时，PV2=100元，折价发行市场利率为10%时，PV3=87.71。
假设上述公司在发行时考虑按半年付息，其他条件不变。按照传统估值模型，加快付息频率时，有效周期利率为R*=R/2，即为市场利率的二分之一，期数为10×2=20期。设溢价发行、平价发行、折价发行三种情形下的发行价格分别为PV1*、PV2*、PV3*，具体计算过程如下：
溢价发行：市场利率为6%，则折现利率为3%，折现期为20期。
PV1*=100×8%/2（P/A，3%，20）+100（P/F，3%，20）=114.88
平价发行：市场利率为8%，则折现利率为4%，折现期为20期，则PV2*=100
折价发行：市场利率为10%，则折现利率为5%，折现期为20期则，PV3*=87.54
从上述计算结果来看，在传统估值模型下，加快付息频率使溢价发行债券价值增加0.16元（PV1*-PV1），折价发行债券价值减少0.17（PV3-PV3*），而平价发行价值不变。
但笔者对此提出两点疑问，一是从货币时间价值理论来看，提前支付利息意味着投资人可以提前收到利息，然后将利息再次投资，这样就会获得提前收到利息的时间价值，计算结果表明加快付息频率对平价发行债券价值无任何影响，这与货币时间价值理论相违背。二是无论付息频率如何变化，本金均为最后一期支付，只要市场利率不发生变动，本金的现值也不应当发生变化，不会由于付息频率的变化而导致本金现值的变化，而上述计算中本金的现值均发生了变动，明显不符合逻辑。
根据上述分析我们发现，主要有两个问题需要解决：一是直接用年利率的一半作为新的折现率是否合适？二是本金折现的期数能否用20期？我们知道，债券估值模型的基本模型是∑= [I/（1+r）n ]，作为一个幂函数，分子和分母具有高度内在统一性，这个内在统一性主要体现为，当分子利息I减少一半时，分母中的年利率r由于幂次方的存在，不能简单的减少一半，而是需要通过一定的公式进行换算。若直接使用年利率的二分之一作为实际利率就破坏了公式的内在性和统一性。另外，当债券的付息频率加快时，并不导致本金的提前偿还或是偿还金额的变化，只是将部分利息提前，因此即可以用名义利率（10期），也可以用实际利率（20期）进行计算。本金现值的计算和利息现值的计算本质上是分离的。
二、债券价值增量公式
因此，在计算付息频率对债券价值的影响时，我们可以建立一个简单的模型。当一个一年期的债券按半年付息时，投资人可提前收到一半的利息，假设投资人收到一半的利息后，可以立即投资除期限不同外其他条件均与当前债券相同的半年期债券，投资人投资半年期债券获得的收益即可看作加快付息频率导致债券增加的收益，可以将其称为增量收益。
假设某公司发行一种债券，面值为P，票面利率R，市场利率为r，n年期，每年内分m期平均支付利息，最后一期末偿还本金。投资人一年可收到的利息总计为PR，1年内每期可收到的利息为PR/m，当投资人收到第一期利息PR/m后，假设可以继续按照当前情况寻找到投资机会，那么投资人一年内可收到的增量收益为：
第一期的增量收益为PR/m×r×（m-1）/m
第二期的增量收益为PR/m×r×（m-2）/m
第三期的增量收益为PR/m×r×（m-3）/m
第m-1期的增量收益为PR/m×r×1/m
对上述每期的增量收益加总整理后可得出以下公式：
将每一年的增量收益按年金折现，即可得到债券价值增量公式（ΔPV）
ΔPV即为加快付息频率债券所增加的价值，笔者将上述公式命名为债券价值增量公式，专用于解决加快付息频率时，债券价值增加问题。 通过运用债券价值增量公式，对上述案例中溢价、平价、折价三种不同发行方式下加快付息频率债券价值进行计算，结果如下：
溢价发行：市场利率为6%，设平价发行的发行价格为PV1**，则PV1**=100×8%（P/A，6%，10）+100（P/F，6%，10）+100×8%×6%×（2-1）/（2×2）×（P/A，6%，10）=115.6元
同理，平价发行：市场利率为8%，PV2**=100×8%（P/A，8%，10）+100（P/F，8%，10）+100×8%×8%×（2-1）/（2×2）×（P/A，8%，10）=101.07元
折价发行：市场利率为10%，PV3**=100×8%（P/A，10%，10）+100（P/F，10%，10）+100×8%×10%×（2-1）/（2×2）×（P/A，10%，10）=88.94元
債券价值增量公式计算的结果可以得出：第一，不论以何种方式发行债券，加快付息频率都会使利息部分的现值增加，从而增加债券整体价值，而本金部分保持不变。与前述推断的两个条件相符。第二，债券价值增加的大小有所差异，溢价发行的债券增值最多，其次是平价发行，最后是折价发行。导致此现象的原因是溢价发行的债券票面利率高于市场利率，投资人每期分得的利息也最高，提前收到的利息产生的时间价值最大。而折价发行的债券则正好相反。
三、结束语
付息频率对债券价值影响，尤其是对折价发行债券的价值影响问题，一直以来存在争议，也成为了财务初学者的难题之一，虽提出质疑，但均没有从根本上解决问题。本文通过对传统债券估值模型中付息频率变化对债券价值影响进行演示，结合时间价值理论进行分析，推导出债券价值增量公式，并结合案例对债券价值增量公式进行了分析和说明。本文的核心——债券价值增量公式，最大的特点是计算简便，极大的简化了加快付息频率时债券价值计算问题。
参考文献：
[1 ]中国注册会计师协会.财务成本管理 [M ].中国财政经济出版社，2017.
作者简介：李宁（1986-），性别：男，籍贯：陕西，毕业院校：西安石油大学，工作单位：西安曲江临潼旅游投资（集团）有限公司，岗位职务：外派财务部长，职称：中级会计师，科研成果：2015年10月，《财会月刊》，题目为“管理用财务报表实例研究——以陕鼓动力为例”。具有丰富的会计理论知识和财务实践经验。
关键词：付息频率；债券价值；增量公式
一、传统债券估值模型演示及疑问
债券价值有现值和终值两种表现形式，分布在时间轴的起点和终点，通过特定的利率互相转化，并保持内在一致性。由于二者的内在一致性，终值和现值本身并无实质性区别，均可表示债券的价值。债券估值模型运用现金流理模型对债券未来产生的利息和到期偿还的本金通过投资人要求的必要报酬率（或市场利率）进行折现，即可得到债券的价值，数学公式表示如下：
其中：PV—债券现值
P—债券面值
R—票面利率
r—市场利率或必要报酬率
n—债券的付息期
（P/A，r，n）为年金现值系数，（P/F，r，n）为复利现值系数
从债券发行方式来看，由于发行时点市场利率与票面利率的差异，导致了三种不同的发行方式，分别是溢价发行、平价发行、折价发行。传统债券估值模型计算结果表明，加快付息频率使溢价发行债券价值增加，折价发行债券价值减少，而平价发行价值不变。我们通過案例进行演示，具体如下：
假设某公司发行一种债券，面值为100元，票面利率8%，10年期，按年支付利息，到期后归还本金。假设发行时市场利率分别为6%、8%和10%，则会出现三种不同的发行方式，分别是溢价发行、平价发行和折价发行。
溢价发行：市场利率为6%。此时市场利率小于票面利率，发行人会选择溢价发行，债券的发行价格大于票面金额。设溢价发行的发行价格为PV1，则具体计算过程如下：
PV1=100×8%（P/A，6%，10）+100（P/F，6%，10）=114.72
同理得出，平价发行市场利率为8%时，PV2=100元，折价发行市场利率为10%时，PV3=87.71。
假设上述公司在发行时考虑按半年付息，其他条件不变。按照传统估值模型，加快付息频率时，有效周期利率为R*=R/2，即为市场利率的二分之一，期数为10×2=20期。设溢价发行、平价发行、折价发行三种情形下的发行价格分别为PV1*、PV2*、PV3*，具体计算过程如下：
溢价发行：市场利率为6%，则折现利率为3%，折现期为20期。
PV1*=100×8%/2（P/A，3%，20）+100（P/F，3%，20）=114.88
平价发行：市场利率为8%，则折现利率为4%，折现期为20期，则PV2*=100
折价发行：市场利率为10%，则折现利率为5%，折现期为20期则，PV3*=87.54
从上述计算结果来看，在传统估值模型下，加快付息频率使溢价发行债券价值增加0.16元（PV1*-PV1），折价发行债券价值减少0.17（PV3-PV3*），而平价发行价值不变。
但笔者对此提出两点疑问，一是从货币时间价值理论来看，提前支付利息意味着投资人可以提前收到利息，然后将利息再次投资，这样就会获得提前收到利息的时间价值，计算结果表明加快付息频率对平价发行债券价值无任何影响，这与货币时间价值理论相违背。二是无论付息频率如何变化，本金均为最后一期支付，只要市场利率不发生变动，本金的现值也不应当发生变化，不会由于付息频率的变化而导致本金现值的变化，而上述计算中本金的现值均发生了变动，明显不符合逻辑。
根据上述分析我们发现，主要有两个问题需要解决：一是直接用年利率的一半作为新的折现率是否合适？二是本金折现的期数能否用20期？我们知道，债券估值模型的基本模型是∑= [I/（1+r）n ]，作为一个幂函数，分子和分母具有高度内在统一性，这个内在统一性主要体现为，当分子利息I减少一半时，分母中的年利率r由于幂次方的存在，不能简单的减少一半，而是需要通过一定的公式进行换算。若直接使用年利率的二分之一作为实际利率就破坏了公式的内在性和统一性。另外，当债券的付息频率加快时，并不导致本金的提前偿还或是偿还金额的变化，只是将部分利息提前，因此即可以用名义利率（10期），也可以用实际利率（20期）进行计算。本金现值的计算和利息现值的计算本质上是分离的。
二、债券价值增量公式
因此，在计算付息频率对债券价值的影响时，我们可以建立一个简单的模型。当一个一年期的债券按半年付息时，投资人可提前收到一半的利息，假设投资人收到一半的利息后，可以立即投资除期限不同外其他条件均与当前债券相同的半年期债券，投资人投资半年期债券获得的收益即可看作加快付息频率导致债券增加的收益，可以将其称为增量收益。
假设某公司发行一种债券，面值为P，票面利率R，市场利率为r，n年期，每年内分m期平均支付利息，最后一期末偿还本金。投资人一年可收到的利息总计为PR，1年内每期可收到的利息为PR/m，当投资人收到第一期利息PR/m后，假设可以继续按照当前情况寻找到投资机会，那么投资人一年内可收到的增量收益为：
第一期的增量收益为PR/m×r×（m-1）/m
第二期的增量收益为PR/m×r×（m-2）/m
第三期的增量收益为PR/m×r×（m-3）/m
第m-1期的增量收益为PR/m×r×1/m
对上述每期的增量收益加总整理后可得出以下公式：
将每一年的增量收益按年金折现，即可得到债券价值增量公式（ΔPV）
ΔPV即为加快付息频率债券所增加的价值，笔者将上述公式命名为债券价值增量公式，专用于解决加快付息频率时，债券价值增加问题。 通过运用债券价值增量公式，对上述案例中溢价、平价、折价三种不同发行方式下加快付息频率债券价值进行计算，结果如下：
溢价发行：市场利率为6%，设平价发行的发行价格为PV1**，则PV1**=100×8%（P/A，6%，10）+100（P/F，6%，10）+100×8%×6%×（2-1）/（2×2）×（P/A，6%，10）=115.6元
同理，平价发行：市场利率为8%，PV2**=100×8%（P/A，8%，10）+100（P/F，8%，10）+100×8%×8%×（2-1）/（2×2）×（P/A，8%，10）=101.07元
折价发行：市场利率为10%，PV3**=100×8%（P/A，10%，10）+100（P/F，10%，10）+100×8%×10%×（2-1）/（2×2）×（P/A，10%，10）=88.94元
債券价值增量公式计算的结果可以得出：第一，不论以何种方式发行债券，加快付息频率都会使利息部分的现值增加，从而增加债券整体价值，而本金部分保持不变。与前述推断的两个条件相符。第二，债券价值增加的大小有所差异，溢价发行的债券增值最多，其次是平价发行，最后是折价发行。导致此现象的原因是溢价发行的债券票面利率高于市场利率，投资人每期分得的利息也最高，提前收到的利息产生的时间价值最大。而折价发行的债券则正好相反。
三、结束语
付息频率对债券价值影响，尤其是对折价发行债券的价值影响问题，一直以来存在争议，也成为了财务初学者的难题之一，虽提出质疑，但均没有从根本上解决问题。本文通过对传统债券估值模型中付息频率变化对债券价值影响进行演示，结合时间价值理论进行分析，推导出债券价值增量公式，并结合案例对债券价值增量公式进行了分析和说明。本文的核心——债券价值增量公式，最大的特点是计算简便，极大的简化了加快付息频率时债券价值计算问题。
参考文献：
[1 ]中国注册会计师协会.财务成本管理 [M ].中国财政经济出版社，2017.
作者简介：李宁（1986-），性别：男，籍贯：陕西，毕业院校：西安石油大学，工作单位：西安曲江临潼旅游投资（集团）有限公司，岗位职务：外派财务部长，职称：中级会计师，科研成果：2015年10月，《财会月刊》，题目为“管理用财务报表实例研究——以陕鼓动力为例”。具有丰富的会计理论知识和财务实践经验。