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摘 要：投资组合理论经济学领域一个研究热点，出现了大量的投资模型和理论，这些模型多采用概率论或模糊理论中的方法处理投资问题中的不确定性，而对于缺乏样本数据的情况的模型甚少。对于这种投资情况，利用不确定理论考虑了带有下半方差的最优投资组合选择模型，进一步丰富了证券投资理论。
关键词：不确定理论 不确定规划 下半方差 投资组合.
1952年，Markowitz建立了著名的均值方差模型（M-V），从研究方法这个方面给出了衡量效用和风险程度指标，并且确定了资产组合的基本原则。然而该模型有一定的局限性：一方面，投资风险通过预期收益率的方差或者标准差来表示，导致它将高于预期收益率的那一部分方差也看作是投资风险，这显然有悖投资者的意愿。而且以往的投资组合模型，多以概率统计方法来处理投资问题中的不确定性。然而金融市场中存在着诸多不确定性，例如市场可能会受到系列国家政策以及众多投资者行为的相互影响。比方说，投资者打算购买新上市的股票，在没有样本数据可供统计分析的情况下，若用概率论方法处理该问题就不合适了，处理此类问题的有力工具是不确定理论。不确定理论是一个公理化数学体系，本文假设读者已经熟悉该理论中的有关定义，例如信度、不确定测度、不确定变量、（正则）不确定分布以及它们的逆分布、期望，方差等等。本文将下半方差作为度量投资风险的指标，利用不确定理论建立了带有不确定变量的下半方差投资组合模型。
一、相关定义和引理
定义1 假设ξ是个不确定变量，则下半方差的定义为V_[ξ]=E[min（ξ-e，0）2]，其中e是ξ的期望。
引理2 假设有n个相互独立的不确定变量，并且它们都服从正则的不确定分布，如果n元函数f相对于各个自变量都是严格递增，那么以这n个不确定变量为自变量的函数仍然是不确定变量，且有逆分布，逆分布为以这n个不确定变量的逆分布为自变量的函数f。
引理3 假设有n个相互独立的不确定变量，并且它们都服从正则的不确定分布，如果n元函数f相对于各個自变量都是严格递增，那么以这n个不确定变量为自变量的函数f的不确定变量的期望是以这n个不确定变量的分布的逆分布为自变量的函数f在闭区间[0，1]上的定积分。
引理4 假设有个不确定变量，它的期望是个有限值，并且假设它服从正则的不确定分布，那么方差。
根据定义1和引理4可得不确定变量ξ的下半方差计算公式：
二、期望收益一定下的下半方差投资组合模型
假设投资者购买n种新上市股票，记为A1，A2，… An，用xi来表示他所购买的第i种证券所占的投资比例，ξi表示第i种股票的收益率（i=1，2，…，n）。由于所投资的n种新股票的收益没有样本数据，因此ξi服从的不是概率分布，而服从的是不确定分布（不确定分布函数可通过咨询炒股专家获得），投资者要在期望收益不低于某个数值的前提下，使投资风险降到最低，投资比例应如何确定？我们利用下半方差度量投资风险，改进了文献的投资模型，得到如下投资组合模型：
其中E表示期望，V_表示下半方差，b表示投资者可以接受的收益率最小期望。
假设ξ1ξ2…ξn是n个独立的不确定变量，并且它们都服从正则的不确定分布，分别是Φ1Φ2…Φn，由引理2和引理3，以及下半方差的计算公式，上面的投资数学模型可以转化为下面的数学规划问题
三、数值算例分析
假设投资者所购买的4种新上市的股票分别表示为A1，A2，A3，A4，b=0.25，通过咨询炒股专家获得每种证券的收益率，假设专家给出这四种证券的收益率所满足的不确定分布如下：
则由上面的投资模型得
通过数值计算可得
由Matlab7.0计算得出最优解：（0，0.6265，0.2470，0.1265） ，此时下半方差为1.125。即投资者在收益率期望最低为0.25的前提下，按照上面的最优策略安排四种股票的投资比例，可达到最低风险值为1.125。
四、结语
本文利用不确定理论中方差的定义给出了下半方差的定义，利用下半方差刻画投资风险。针对投资者购买新上市股票这种投资行为，建立了带有不确定变量的下半方差投资组合模型，并通过算例进行了投资模拟，改进了以往相关文献的投资模型，使得投资行为更加符合投资的实际情况。实际中存在着大量上市已久的股票，有着大量的历史数据可供统计分析。如果投资者同时购买新上市的股票和上市已久的股票，此时需要将概率统计方法和不确定理论方法综合使用，此时的投资期望收益、投资风险该如何刻画，投资模型如何建立就成为要解决的新问题。我们将在后续研究中考虑此类问题：即投资模型中既有随机变量，也有不确定变量的情况。
参考文献：
[1]MARKOWITZ H. Portfolio selection[J]， Journal of finance， 1952， 7：77–91，
[2]KONNO H， YAMAZAKI H. Mean-variance deviation portfolio optimization model and its applications to tokyo stock market[J]， Management Science， 1991， 37（5）：519-531.
[3]LIUB D. Uncertainty Theory[M]. 2nd ed， Springer-Verlag，Berlin，2007.
[4]LIUB D. Uncertainty Theory[M]. 5nd ed， by Uncertainty Theory Laboratory， 2015.
[5]LIUY H， HAM H. Expected value of function of uncertain variables[J]. Journal of Uncertain Systems， 2010， 4（3）： 181-186.
[6]YAO K. A formula to calculate the variance of uncertain variable[J]. Soft Computing， 2015， 19（10）： 2947-2953.
[7]韩颖等. 不确定收益的最优投资组合模型[J]. 中国市场， 2016，（24）： 234-235.
作者简介：梁献匀（1996.07—）女。民族：汉。山东海阳人。本科生。研究方向：统计学。张益波（1997.06—）男。福建莆田人。本科生。研究方向：计算机科学与技术。通讯作者：张晓斌（1983.11—）男。民族：汉。山东蓬莱人。博士。讲师。研究方向：复分析、运筹与优化。
关键词：不确定理论 不确定规划 下半方差 投资组合.
1952年，Markowitz建立了著名的均值方差模型（M-V），从研究方法这个方面给出了衡量效用和风险程度指标，并且确定了资产组合的基本原则。然而该模型有一定的局限性：一方面，投资风险通过预期收益率的方差或者标准差来表示，导致它将高于预期收益率的那一部分方差也看作是投资风险，这显然有悖投资者的意愿。而且以往的投资组合模型，多以概率统计方法来处理投资问题中的不确定性。然而金融市场中存在着诸多不确定性，例如市场可能会受到系列国家政策以及众多投资者行为的相互影响。比方说，投资者打算购买新上市的股票，在没有样本数据可供统计分析的情况下，若用概率论方法处理该问题就不合适了，处理此类问题的有力工具是不确定理论。不确定理论是一个公理化数学体系，本文假设读者已经熟悉该理论中的有关定义，例如信度、不确定测度、不确定变量、（正则）不确定分布以及它们的逆分布、期望，方差等等。本文将下半方差作为度量投资风险的指标，利用不确定理论建立了带有不确定变量的下半方差投资组合模型。
一、相关定义和引理
定义1 假设ξ是个不确定变量，则下半方差的定义为V_[ξ]=E[min（ξ-e，0）2]，其中e是ξ的期望。
引理2 假设有n个相互独立的不确定变量，并且它们都服从正则的不确定分布，如果n元函数f相对于各个自变量都是严格递增，那么以这n个不确定变量为自变量的函数仍然是不确定变量，且有逆分布，逆分布为以这n个不确定变量的逆分布为自变量的函数f。
引理3 假设有n个相互独立的不确定变量，并且它们都服从正则的不确定分布，如果n元函数f相对于各個自变量都是严格递增，那么以这n个不确定变量为自变量的函数f的不确定变量的期望是以这n个不确定变量的分布的逆分布为自变量的函数f在闭区间[0，1]上的定积分。
引理4 假设有个不确定变量，它的期望是个有限值，并且假设它服从正则的不确定分布，那么方差。
根据定义1和引理4可得不确定变量ξ的下半方差计算公式：
二、期望收益一定下的下半方差投资组合模型
假设投资者购买n种新上市股票，记为A1，A2，… An，用xi来表示他所购买的第i种证券所占的投资比例，ξi表示第i种股票的收益率（i=1，2，…，n）。由于所投资的n种新股票的收益没有样本数据，因此ξi服从的不是概率分布，而服从的是不确定分布（不确定分布函数可通过咨询炒股专家获得），投资者要在期望收益不低于某个数值的前提下，使投资风险降到最低，投资比例应如何确定？我们利用下半方差度量投资风险，改进了文献的投资模型，得到如下投资组合模型：
其中E表示期望，V_表示下半方差，b表示投资者可以接受的收益率最小期望。
假设ξ1ξ2…ξn是n个独立的不确定变量，并且它们都服从正则的不确定分布，分别是Φ1Φ2…Φn，由引理2和引理3，以及下半方差的计算公式，上面的投资数学模型可以转化为下面的数学规划问题
三、数值算例分析
假设投资者所购买的4种新上市的股票分别表示为A1，A2，A3，A4，b=0.25，通过咨询炒股专家获得每种证券的收益率，假设专家给出这四种证券的收益率所满足的不确定分布如下：
则由上面的投资模型得
通过数值计算可得
由Matlab7.0计算得出最优解：（0，0.6265，0.2470，0.1265） ，此时下半方差为1.125。即投资者在收益率期望最低为0.25的前提下，按照上面的最优策略安排四种股票的投资比例，可达到最低风险值为1.125。
四、结语
本文利用不确定理论中方差的定义给出了下半方差的定义，利用下半方差刻画投资风险。针对投资者购买新上市股票这种投资行为，建立了带有不确定变量的下半方差投资组合模型，并通过算例进行了投资模拟，改进了以往相关文献的投资模型，使得投资行为更加符合投资的实际情况。实际中存在着大量上市已久的股票，有着大量的历史数据可供统计分析。如果投资者同时购买新上市的股票和上市已久的股票，此时需要将概率统计方法和不确定理论方法综合使用，此时的投资期望收益、投资风险该如何刻画，投资模型如何建立就成为要解决的新问题。我们将在后续研究中考虑此类问题：即投资模型中既有随机变量，也有不确定变量的情况。
参考文献：
[1]MARKOWITZ H. Portfolio selection[J]， Journal of finance， 1952， 7：77–91，
[2]KONNO H， YAMAZAKI H. Mean-variance deviation portfolio optimization model and its applications to tokyo stock market[J]， Management Science， 1991， 37（5）：519-531.
[3]LIUB D. Uncertainty Theory[M]. 2nd ed， Springer-Verlag，Berlin，2007.
[4]LIUB D. Uncertainty Theory[M]. 5nd ed， by Uncertainty Theory Laboratory， 2015.
[5]LIUY H， HAM H. Expected value of function of uncertain variables[J]. Journal of Uncertain Systems， 2010， 4（3）： 181-186.
[6]YAO K. A formula to calculate the variance of uncertain variable[J]. Soft Computing， 2015， 19（10）： 2947-2953.
[7]韩颖等. 不确定收益的最优投资组合模型[J]. 中国市场， 2016，（24）： 234-235.
作者简介：梁献匀（1996.07—）女。民族：汉。山东海阳人。本科生。研究方向：统计学。张益波（1997.06—）男。福建莆田人。本科生。研究方向：计算机科学与技术。通讯作者：张晓斌（1983.11—）男。民族：汉。山东蓬莱人。博士。讲师。研究方向：复分析、运筹与优化。