不等式解题中常见易错点剖析

• 作 者: 魏耀南
• 出 处: 高考进行时·高三数学
• 发表日期: 2011年9期

　　不等式是高考数学命题的重点内容,在高考中的直接、间接的考查量很大,不少同学在不等式内容上的高考失分很多.下面结合同学们在不等式问题求解过程中常出现的一些典型错误,充分暴露错误的思维过程,使同学们认识到出错的原因,在比较中对正确的思路与方法留下深刻印象,从而有效地避免出错,提高解题准确率.
　　一、 忽视参变量符号的正负
　　【例1】 若变量x,y满足约束条件y≤1,x+y≥0,x－y－2≤0.则z=x－2y的最大值为.
　　错解 画出可行域（如下图），
　　z=x－2yy=12x－12z，由图可知,当直线经过点A(-1,1)时，z取得最大值-3.
　　分析 未能注意z=x－2y中y的系数为-2
　　正解 由图可知,当直线经过点B(1,-1)时，取得最大值,为zmax=1－2×(－1)=3.
　　二、 不等式性质应用不当
　　【例2】 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤5，求f(－3)的取值范围.
　　错解 因为f(－1)=a－b,f(1)=a+b，所以1≤a－b≤2,2≤a+b≤5，所以32≤a≤72,12≤b≤32，又f(－3)=9a－3b 所以9≤f(－3)≤30
　　分析 在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大，因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立.
　　正解 设f(－3)=mf(－1)+nf(1)，则有9a－3b=m(a－b)+n(a+b)，
　　即m+n=9,m－n=3,即m=6,n=3，f(－3)=6f(－1)+3f(1),又1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤5，所以12≤f(－3)≤27.
　　点评 本题也可以用线性规划解决，同学们不妨一试.但上述方法更具一般性.
　　三、 “恒成立”与“能成立”混淆
　　【例3】 已知x－22　　错解 因为x－22在x∈1,4上的取值范围为0,4，所以a>4.
　　分析 典型的“恒成立”与“能成立”混淆.
　　正解 因为x－22在x∈1,4上的取值范围为0,4，所以a>0.
　　点评 注意区别不等式有解(能成立)与恒成立的区别:
　　a>f(x)恒成立a>f(x)max
　　a　　a>f(x)有解a>f(x)min
　　a　　四、 忽略分类讨论
　　【例4】 解关于x的不等式|x2+2x－3|>a.
　　错解 原不等式等价于x2+2x－3>a或x2+2x－3<－a.
　　所以x>－1+4+a或x<－1－4+a或－1－4－a　　分析 此解法没有对a作任何讨论,陷入了解不等式的思维混乱状态.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,由于a的范围不确定,所以解题时需对a进行分类讨论,特别注意解不等式时要考虑0　　正解 当a<0时,得x∈R.
　　当a≥0时,得x2+2x－3>a①,
　　或x2+2x－3<－a②，
　　由①解得x>－1+4+a或x<－1－4+a，由②解得x+12<4－a，
　　若0≤a<4,解得－1－4－a　　综述,当a<0时,不等式解集x∈R；当0≤a<4,解得{x|－1－4－a　　当a≥4,不等式解集为.
　　点评 按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.
　　五、 忽视题中隐含条件
　　【例5】 已知x+12+y29=1，求x2+y2的最大值与最小值.
　　错解
　　由已知y2=－9x2－18x，代入x2+y2可得
　　x2+y2=－8x2－18x=－8x+982+818，所以x2+y2有最大值818，无最小值.
　　分析 忽视题中已知条件x+12+y29=1对x范围的限制. 在解题过程中要注意对已知条件所隐含的信息进行挖掘.
　　正解 y2=－9x2－18x≥0，则－2≤x≤0，
　　x2+y2=－8x2－18x=－8x+982+818
　　所以当x=－98时，取得x2+y2的最大值818；当x=0时，取得x2+y2的最小值0.
　　牛刀小试
　　1． 设x,y满足约束条件x+2y≤4,
　　x-y≤1,
　　x+2≥0.则目标函数z=3x－y的最大值为.
　　2. 下列命题中正确的有.
　　①y=x+1x的最小值是2
　　②y=x2+3x2+2的最小值是2
　　③y=2－3x－4xx>0的最大值是2－43
　　④y=2－3x－4xx>0的最小值是2－43
　　3. （1） 不等式x－4+x－3>a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.
　　（2） 已知不等式x－4+x－3　　4. 解不等式ax2ax－1>xa∈R.
　　5. 已知实数x满足x2+1x2+x+1x≤4，
　　求x+1x的取值范围.
　　【参考答案】
　　1. 不等式组表示的平面区域如图所示，
　　当直线z＝3x－y过点C（2,1）时，在y轴上截距最小
　　此时z取得最大值5
　　2. ③
　　3. （1） a<1 （2） a>1
　　4. a=0时，x|x<0；a>0时，xx>1a或x<0；a<0时，x1a　　5. 设x+1x=m，则x2+1x2=x+1x2－2=m2－2.所以原不等式可化为m2+m－6≤0,
　　解得－3≤m≤2，又因为x+1x≤－2或x+1x≥2，所以－3≤x+1x≤-2或x+1x=2.