例谈高考中线性规划命题的新趋势

• 作 者: 李忠贵
• 出 处: 高考进行时·高三数学
• 发表日期: 2011年9期

　　自从高中数学新增加了线性规划知识点后,有关线性规划的问题越来越受到重视,题型也越来越丰富,从最初的简单判断可行域、最值等问题在向求非线性目标函数的最值、比值、距离及已知最值求目标函数中参量取值的逆向问题转变.伴随着新课程改革的深入,“线性规划”已实现“知识性”向“工具化”的华丽转身,目前线性规划与高中数学各个模块进行的有效融合,充分体现了在知识网络的交汇点进行命题的新趋势.
　　异常抽象的问题，必须讨论得异常清楚。—笛卡儿
　　一、 与向量结合
　　【例1】 设Q(x,y),P(3,-4),变量x,y满足不等式组x-y+2≥0,
　　x-5y+10≤0,
　　x+y-8≤0.则目标函数z=OP•OQ的最大值和最小值分别为？
　　解法一 (截距法) z=OP•OQ=3x-4y,作直线l∶3x-4y=0,平移直线l,当平移至点C(5,3)位置时, z取得最大值3;平移至点B(3,5)位置时, z取得最小值-11,所以z=OP•OQ的最大值为3,最小值为-11．
　　解法二 (端点法) z=3x-4y,因为不等式组x-y+2≥0，
　　x-5y+10≤0，
　　x+y-8≤0.所确定的区域的端点分别为A(0,2)、B(3,5)、C(5,3),当x=0,y=2时,z=-8;当x=3,y=5时,z=-11;当x=5,y=3时,z=3;所以当x=5,y=3时, zmax=3,当x=3,y=5时, zmin=-11, 所以z=OP•OQ的最大值为3,最小值为-11．
　　解法三 (反代法)因为z=3x-4y,所以x=13z+43y,把x=13z+43y代入x-y+2≥0，
　　x-5y+10≤0，
　　x+y-8≤0.得
　　13z+43y-y+2≥0,
　　13z+43y-5y+10≤0,
　　13z+43y+y-8≤0.所以y≥-z-6,
　　y≥z+3011,
　　y≤-z+247.
　　所以-z-6≤-z+247,
　　z+3011≤-z+247.所以-11≤z≤3,故z=OP•OQ的最大值为3,最小值为-11．
　　解法四 (距离法)如上图做出不等式组所表示的区域,设d表示点P(x,y)到直线直线l:3x-4y=0的距离,则d=3x-4y5,当3x-4y>0即P（x,y)在l:3x-4y=0下方时, 点C（x,y)到直线的最大距离为35,即Zmax=3；当3x-4y<0时,同理可求出Zmin=-11,所以z=OP•OQ的最大值为3,最小值为-11．
　　点评 本题以向量包装,本质是线性规划中线性目标函数最值问题,采用上述方法求解,充分体现了数形结合思想.
　　二、 与数列结合
　　【例2】 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为 ．
　　分析 本题是一个数列中的最值问题,初看与“线性规划”似乎毫不相干.再引入变量合理转化,化归为线性规划问题.
　　解 设该数列的首项为x,公差为y,则S4=4x+4×32y≥10，
　　S5=5x+5×42y≤15.即2x+3y≥5,
　　x+2y≤3.
　　而a4=x+3y,求a4的最大值,其实质是一个“线性规划”的问题,图中阴影部分为所求区域,可得线性目标函数a4=x+3y在点A(1,1)处取最大值,即a4的最大值为4．
　　点评 1. 本题运用了等价转化的数学思想.
　　2. 本题还可以从纯数列角度进行求解.
　　三、 与三角结合
　　【例3】 π<α+β<4π3,-π<α-β<-π3,求2α-β的取值范围.
　　解析 设z=2α-β,已知条件可化为：
　　α+β>π，
　　α+β<4π3，
　　α-β>-π，
　　α-β<-π3.由线性规划知识得,点（α,β）表示的平面区域为下图的阴影部分,
　　则当点（α,β）在点Aπ2,5π6处时,zmax=π6,
　　当点（α,β）在点B（0,π）处时,zmin=-π,
　　∴2α-β的取值范围为-π,π6.
　　评注 本题若利用不等式的性质求解,稍不小心就会出错.此时应认真审题,把握问题本质,则问题可轻松得到解决.
　　牛刀小试
　　1. 设点P是△ABC内一点(不包括边界),且AP=mAB+nAC(m,n∈R),则m2+n2-2m-2n+3的取值范围是．
　　2. (06年北京卷)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn．
　　(Ⅰ) 若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
　　(Ⅱ) 若a1≥6,a11＞0,S14≤77,求所有可能的数列｛an｝的通项公式．
　　【参考答案】
　　1. 本题从表面上看是一个以向量为载体的二元二次式的最值问题,但其实质却是一个“线性规划”问题.解法如下:
　　在△ABC内过P作BC′//BC,交AB于B′,交AC于C′．
　　可设AB′=kAB,AC′=kAC,k∈(0,1),
　　∵B′,P,C′共线,∴AP=λAB′+μAC′,且0<λ<1,
　　0<μ<1,
　　λ+μ=1.
　　∴AP=λAB′+μAC′=λkAB+μkAC=mAB+nAC,
　　∴m=λk,
　　n=μk.∴m+n=k∈(0,l),即0　　0　　0　　如图所示,设z=m2+n2-2m-2n+3=(m-1)2+(n-1)2+1,由图可知,当圆与直线相切时取得最小值,在原点处取得最大值.所以222+1　　2. (Ⅰ) 由S14=98得2a1+13d=14,
　　又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20．
　　因此,{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…
　　(Ⅱ) 由S14≤77,
　　a11>0,
　　a1≥6.得2a1+13d≤11,
　　a1+10d>0,
　　a1≥6.
　　以a1、d为变量建立平面直角坐标系,可转化为在上述以a1、d为变量为约束条件下的整数的点的个数问题,在以a1、d为变量的坐标系中画出平面区域(图略),可得：－117＜d≤－113,10＜a1≤12.又a1、d∈Z, ∴a1=11或12,d=-1.
　　∴an=12-n和an=13-n.