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苏教版小学数学五年级上册“三角形面积的计算”，学生最容易出错的就是忘记“除以2”，在与学生的交流中得知：“老师刚教完还好一些，如果隔了一段时间，忘记‘除以2’的同学就更多。”
三角形面积计算公式的推导是一堂探究性较强的课，学生的数学知识、思维能力、思维方式等因素，都会影响探究方向及探究时间。要想在一堂课内探究出“三角形面积的计算公式”，常常会出现少数优生的探究结果替代其他学生的探索过程；教师为了完成教学任务赶“进度”，常常处于“想放手”又“不敢放手”的尴尬境地；很多课存有探究迹象，却未能真“探”，学生刚“探”有起色，便被“因时间关系”而“叫停”……
“像数学家一样思考”，这是教师所追求的课堂。只有学生自主研究出来的方法才是学生自己的方法，体验才会深刻，思路才会清晰。能否实现真正意义上的自主探究呢？笔者以“三角形面积计算”教学为例进行了一次尝试。
一、“微调查”：找准探究起点
要把学生引导到一个我们要他们去的地方，首先要知道学生在哪儿，这样才能站在学生的角度去开展教学。
在前测中发现，用直角三角形进行研究的学生最多，他们先画出一个直角三角形，再补成（或拼成）一个长方形，再得出三角形的面积；用等腰三角形进行研究的学生为其次，将等腰三角形沿着高剪下，然后拼出一个长方形（或正方形），通过计算长方形（或正方形）的面积得到三角形的面积。前测中，没有学生能用任意三角形研究出三角形面积的计算方法。
我们可以从学生的角度分析，学生对长方形、正方形的认识和理解较为深刻，而直角三角形和等腰三角形更容易转化成长方形或正方形，更容易找到它们的相通点。
二、“巧分解”：积累探究经验
真正的“数学探究”，应该为学生提供充分的思考、尝试、推理、表达的机会，“三角形面积计算的公式推导”，放手让学生进行探究，而不是“牵着学生鼻子走”，让学生在具体的探究活动中自主发现、解决问题，感悟转化思想的必要性和优越性。
依据前测，笔者决定放慢探究进程，拉长探究时间，将三角形面积的探究分成三个层次“穿插分散”进行。第一层次：探究直角三角形的面积计算方法；第二层次：探究等腰三角形的面积计算方法；第三层次：探究任意三角形的面积计算方法。采用“前探究”“微交流”的形式。
第一层次：直角三角形面积的探究。
第二天早读课进行展示与交流，学生共研究出两种方法（学生作品列举）：
由于直角三角形的特殊性及学生对已有知识经验的积累，在第一层次的探究中，学生并没有出现教材中用两个完全相同的直角三角形拼出一个平行四边形来研究，而基本上都是用上面的两种方法。
方法一：将直角三角形补（或拼）成一个长方形，三角形的面积是所补（或拼成）长方形面积的一半。
方法二：将三角形沿高的一半进行切割、旋转，转化成一个和三角形面积相等的长方形，长方形的底就是三角形的底，长方形的高则是三角形高的一半，所以三角形的面积=底×（高÷2）。
学生面对自己的研究成果，信心倍增。
第二层次：等腰三角形面积的探究。
学生共研究出了四种不同的方法（学生作品列举）：
正是有了前一天的交流与展示，原来没有想法的学生开始有了想法，原来有一种想法的学生有了两种甚至多种想法，这就是“真探究”“真交流”，学生之间的互动是最有效的。等腰三角形因其自身的特点，学生共研究出了四种方法。学生的思维一般都比较倾向于将原有图形进行分割后再等积转化，“方法四”全班只有两位同学想到，但这已经是学生思维的一次突破与飞跃，这种方法离他们的思维水平也许还远一些吧。
第三层：自主探究任意三角形面积。
在尝试、反馈、交流的过程中，学生的原生态思维充分展露，教师由浅入深，循着学生的思维轨迹来引导学生探究，意图在于给学生留下较大的创造空间，使学生从多种途径探究。转化思想是一个渐进的过程，需要浸润和滋养，而不是灌输和告知。这次探究，用两个相同的三角形拼成一个平行四边形的学生突然升至25人，对于任意三角形，学生觉得这种方法更简便些。
三、“真互动”：优化思想模型
三角形的面积计算公式推导，如果要想在40分钟完成“再创造”的过程，对于大部分学生来说，力所不及。很多教师常常处于“放”而不开、“探”而“未探”的纠结状态。“三角形面积计算”这样充满着探究性的课，求快实在是不太适合，就像“快速长成的树木必定是疏松”的道理是一样的。
“为什么任意三角形只研究出了三种方法？而等腰三角形面积却探究出了四种方法呢？”学生在思维碰撞中，既体会到了三角形之间的共性，又体会到了它们之间的特殊性，从而归纳出更具普适性的计算方法，得到三角形的面积计算公式：S=a×h÷2或S=a×（h÷2）。根据图形转化前、后各部分之间的对应关系，最终推导出计算公式。当学生用一个个灵动的图例交流想法时，学生惊叹“我怎么没想到？”课堂中便充满着无限惊喜与思考。三角形面积计算公式的推导，采用“长线”探究，开放式的整体构架，以“自主探究”统领整个过程，自主探究—交流思考，再自主探究—再交流思考，在三次自主探究、三次交流思考中，以探究为经，以交流为纬，在“三重探究过程”中作理性的数学思考。因为教师没有教，所以出现了各种各样的转化方法；因为教师没有教，所以学生置身于探究情境中，思考更积极、更充分。
从“形变”到“质变”的探究过程，体验公式的由来，从特殊到一般，用不完全归纳法得出所有三角形的面积，加深对转化、归纳、抽象等数学思想的感悟。学生在充分自主探究后，在交流中充分展示自己的思维方法及过程，揭示规律和方法，对知识的形成过程进行梳理，对数学思想方法进行提炼、归纳和概括。
四、“微思考”：“慢”，让探究真实起来
三天以后，笔者进行了一次测试。测试题如下：
正是因为有了多重体验，有了层层积淀，测试结果，全班只有一个学生忘记了“除以2”。三角形面积公式的推导，从课前调查到完成测试，穿插进行于其他单元内容的正常教学之中，在不知不觉中完成了“三角形面积计算公式”的探究活动，用时约5天。三个层次的探究，学生的体验是深刻的，也是愉悦的，呈现自己的探究成果，上台交流时的神采与表情，这种自信与成功的经历是终身难忘的。其实，教材中有些内容，我们未必需要花很多时间进行反复练习；而有些内容，则必须要花一定时间去探索与研究。我们能否将探究性强的内容走一条“长线”，与其用一节课时间教完三角形面积，再用好几倍的时间进行练习巩固，学生在不断订正中痛苦地强化记忆，倒不如用“小步子”，多花几天时间去探究，让学生每天都有新发现、新体验、新思考。通过这次尝试，让笔者萌生一种想法，探究性强的教学内容，我们是否可以尝试让学生有足够的时间去体验与思考，我们是否应该在课前进行前测与调查，再分层次推进，拉长思维梯度，从而让学生由“束手无策”到“有的放矢”。放“慢”放“小”探究的脚步，根据小学生的年龄特点，循序渐进，采用“每天探究一点，每天渗透一点”的方式，分散穿插进行，站在学生的角度，让探究真实起来，有效起来。
因此，教师应根据小学生的年龄特征开展数学课堂教学探究，在课前提供充裕的时间让全体学生充分经历和体验数学探究活动过程。这样，就可以在学生原生态的作品展示中，看到了学生真实的研究过程，交流时，看到学生言语间流露的自信和获得成功后的喜悦。学习是一件可以从中寻找到快乐的事情，为了能与学生一起找寻这份快乐，让我们换一种思路对待教学，从儿童的视角，关注学生视野之内的学习探究活动。“慢”，能让学生的学习探究真实起来，舒展起来！
（江苏省常熟市莫城中心小学 215556）
三角形面积计算公式的推导是一堂探究性较强的课，学生的数学知识、思维能力、思维方式等因素，都会影响探究方向及探究时间。要想在一堂课内探究出“三角形面积的计算公式”，常常会出现少数优生的探究结果替代其他学生的探索过程；教师为了完成教学任务赶“进度”，常常处于“想放手”又“不敢放手”的尴尬境地；很多课存有探究迹象，却未能真“探”，学生刚“探”有起色，便被“因时间关系”而“叫停”……
“像数学家一样思考”，这是教师所追求的课堂。只有学生自主研究出来的方法才是学生自己的方法，体验才会深刻，思路才会清晰。能否实现真正意义上的自主探究呢？笔者以“三角形面积计算”教学为例进行了一次尝试。
一、“微调查”：找准探究起点
要把学生引导到一个我们要他们去的地方，首先要知道学生在哪儿，这样才能站在学生的角度去开展教学。
在前测中发现，用直角三角形进行研究的学生最多，他们先画出一个直角三角形，再补成（或拼成）一个长方形，再得出三角形的面积；用等腰三角形进行研究的学生为其次，将等腰三角形沿着高剪下，然后拼出一个长方形（或正方形），通过计算长方形（或正方形）的面积得到三角形的面积。前测中，没有学生能用任意三角形研究出三角形面积的计算方法。
我们可以从学生的角度分析，学生对长方形、正方形的认识和理解较为深刻，而直角三角形和等腰三角形更容易转化成长方形或正方形，更容易找到它们的相通点。
二、“巧分解”：积累探究经验
真正的“数学探究”，应该为学生提供充分的思考、尝试、推理、表达的机会，“三角形面积计算的公式推导”，放手让学生进行探究，而不是“牵着学生鼻子走”，让学生在具体的探究活动中自主发现、解决问题，感悟转化思想的必要性和优越性。
依据前测，笔者决定放慢探究进程，拉长探究时间，将三角形面积的探究分成三个层次“穿插分散”进行。第一层次：探究直角三角形的面积计算方法；第二层次：探究等腰三角形的面积计算方法；第三层次：探究任意三角形的面积计算方法。采用“前探究”“微交流”的形式。
第一层次：直角三角形面积的探究。
第二天早读课进行展示与交流，学生共研究出两种方法（学生作品列举）：
由于直角三角形的特殊性及学生对已有知识经验的积累，在第一层次的探究中，学生并没有出现教材中用两个完全相同的直角三角形拼出一个平行四边形来研究，而基本上都是用上面的两种方法。
方法一：将直角三角形补（或拼）成一个长方形，三角形的面积是所补（或拼成）长方形面积的一半。
方法二：将三角形沿高的一半进行切割、旋转，转化成一个和三角形面积相等的长方形，长方形的底就是三角形的底，长方形的高则是三角形高的一半，所以三角形的面积=底×（高÷2）。
学生面对自己的研究成果，信心倍增。
第二层次：等腰三角形面积的探究。
学生共研究出了四种不同的方法（学生作品列举）：
正是有了前一天的交流与展示，原来没有想法的学生开始有了想法，原来有一种想法的学生有了两种甚至多种想法，这就是“真探究”“真交流”，学生之间的互动是最有效的。等腰三角形因其自身的特点，学生共研究出了四种方法。学生的思维一般都比较倾向于将原有图形进行分割后再等积转化，“方法四”全班只有两位同学想到，但这已经是学生思维的一次突破与飞跃，这种方法离他们的思维水平也许还远一些吧。
第三层：自主探究任意三角形面积。
在尝试、反馈、交流的过程中，学生的原生态思维充分展露，教师由浅入深，循着学生的思维轨迹来引导学生探究，意图在于给学生留下较大的创造空间，使学生从多种途径探究。转化思想是一个渐进的过程，需要浸润和滋养，而不是灌输和告知。这次探究，用两个相同的三角形拼成一个平行四边形的学生突然升至25人，对于任意三角形，学生觉得这种方法更简便些。
三、“真互动”：优化思想模型
三角形的面积计算公式推导，如果要想在40分钟完成“再创造”的过程，对于大部分学生来说，力所不及。很多教师常常处于“放”而不开、“探”而“未探”的纠结状态。“三角形面积计算”这样充满着探究性的课，求快实在是不太适合，就像“快速长成的树木必定是疏松”的道理是一样的。
“为什么任意三角形只研究出了三种方法？而等腰三角形面积却探究出了四种方法呢？”学生在思维碰撞中，既体会到了三角形之间的共性，又体会到了它们之间的特殊性，从而归纳出更具普适性的计算方法，得到三角形的面积计算公式：S=a×h÷2或S=a×（h÷2）。根据图形转化前、后各部分之间的对应关系，最终推导出计算公式。当学生用一个个灵动的图例交流想法时，学生惊叹“我怎么没想到？”课堂中便充满着无限惊喜与思考。三角形面积计算公式的推导，采用“长线”探究，开放式的整体构架，以“自主探究”统领整个过程，自主探究—交流思考，再自主探究—再交流思考，在三次自主探究、三次交流思考中，以探究为经，以交流为纬，在“三重探究过程”中作理性的数学思考。因为教师没有教，所以出现了各种各样的转化方法；因为教师没有教，所以学生置身于探究情境中，思考更积极、更充分。
从“形变”到“质变”的探究过程，体验公式的由来，从特殊到一般，用不完全归纳法得出所有三角形的面积，加深对转化、归纳、抽象等数学思想的感悟。学生在充分自主探究后，在交流中充分展示自己的思维方法及过程，揭示规律和方法，对知识的形成过程进行梳理，对数学思想方法进行提炼、归纳和概括。
四、“微思考”：“慢”，让探究真实起来
三天以后，笔者进行了一次测试。测试题如下：
正是因为有了多重体验，有了层层积淀，测试结果，全班只有一个学生忘记了“除以2”。三角形面积公式的推导，从课前调查到完成测试，穿插进行于其他单元内容的正常教学之中，在不知不觉中完成了“三角形面积计算公式”的探究活动，用时约5天。三个层次的探究，学生的体验是深刻的，也是愉悦的，呈现自己的探究成果，上台交流时的神采与表情，这种自信与成功的经历是终身难忘的。其实，教材中有些内容，我们未必需要花很多时间进行反复练习；而有些内容，则必须要花一定时间去探索与研究。我们能否将探究性强的内容走一条“长线”，与其用一节课时间教完三角形面积，再用好几倍的时间进行练习巩固，学生在不断订正中痛苦地强化记忆，倒不如用“小步子”，多花几天时间去探究，让学生每天都有新发现、新体验、新思考。通过这次尝试，让笔者萌生一种想法，探究性强的教学内容，我们是否可以尝试让学生有足够的时间去体验与思考，我们是否应该在课前进行前测与调查，再分层次推进，拉长思维梯度，从而让学生由“束手无策”到“有的放矢”。放“慢”放“小”探究的脚步，根据小学生的年龄特点，循序渐进，采用“每天探究一点，每天渗透一点”的方式，分散穿插进行，站在学生的角度，让探究真实起来，有效起来。
因此，教师应根据小学生的年龄特征开展数学课堂教学探究，在课前提供充裕的时间让全体学生充分经历和体验数学探究活动过程。这样，就可以在学生原生态的作品展示中，看到了学生真实的研究过程，交流时，看到学生言语间流露的自信和获得成功后的喜悦。学习是一件可以从中寻找到快乐的事情，为了能与学生一起找寻这份快乐，让我们换一种思路对待教学，从儿童的视角，关注学生视野之内的学习探究活动。“慢”，能让学生的学习探究真实起来，舒展起来！
（江苏省常熟市莫城中心小学 215556）