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摘 要：对于小学生来说，数学认知属于一项智力活动，能够发展学生认知，我们可以用人类思维体操来看待数学，随着年龄的增长，孩子们的认知水平也在发展，可以说，这同认知图式理论是相适应的。小学生的数学认知图式发展已经经历了数字观念产生、心理數字线的形成、形成数字概念的阶段，即将进入整体关系图式阶段，因此在小学以及数学教学中立足于儿童认知图式理论、有助于帮助小学生形成系统的数学能力。
关键词：儿童认知图式;小学数学;教学融合
一、 小学阶段的儿童认知图式
（一）认知心理学理论与教学的关系
儿童认知图式很早就融入教学模式当中，20世纪五十年代心理学理论开始影响教育学，皮亚杰的基本观点也得到了教育学界的一致认可，认知心理学理论与学习试误说、练习率等基于儿童自身认知结构的理论综合应用于小学教育中，多样化、演绎型教学模式渐渐取代了单一化、归纳型的教学模式，学生的学习已经完全超过了教师单一的讲授。
（二）认知图式的实质
儿童认知图式是指儿童对环境进行适应的认知结构：①同化。同化是指儿童利用现有的图式认识新刺激、将其消化吸收进自身认知结构过程。例如婴儿发现陌生玩具后习惯地用手去抓，多次尝试后抓到玩具就是一个同化过程;②顺应。顺应是指儿童对现有图式进行修改或创新以应对新刺激的过程，简而言之，就是儿童调整自己的认知能力的水平;例如将婴儿常用的玩具放在床单上，婴儿的第一反应基于同化过程中的抓取（原有认知图式），但因为距离无法掌握，婴儿就会发现拽床单会有利于自己缩短与玩具的距离，就形成了拽床单——拿玩具的二段式的认知结构，形成了一个完整的顺应过程;③平衡。平衡指同化、顺应之间的辩证关系，皮亚杰认为，同化是认知图式的量变因素，顺应是认知图式的质变因素，例如婴儿会将触手可及的玩具与伸手去抓建立因果关系，而玩具放在较远的床单边上时就需要加入拖拽床单才能获得玩具，这体现出同化与顺应之间一种相对平衡的过程。
（三）儿童认知图式因素与小学数学教学
经过研究发现，影响儿童认知图式的因素主要有两点：①机体的成长。儿童阶段认知图式的发展随着个体成熟度的提高而逐渐丰富，特别是儿童神经系统的发育状况。一项针对国内不同地区7-12岁儿童数概念和运算能力发展的研究表明，儿童数学能力与年龄呈正比例关系，这一方面反映儿童随着个体成熟学习能力的增加，也说明儿童在学习数学过程中思维能力得到了发展，教学在其中起到了重要作用;②练习与习得经验。儿童在经过认知活动的一系列试错过程中会获得习得经验，有助于儿童认知图式的发展。有教育学家认为“民族的先天素质对儿童认知发展影响不大，而文化教育影响很大”。根据教学规律来看，数学能力是要通过练习而提升的，许多关于小学生数学能力的研究结论都支持这一点。
二、 小学儿童数学认知图式的发展
（一）感知运算阶段与数学概念产生
感知运算阶段是小学生在学龄前认知图式所发展的初级阶段，这一阶段儿童发展的主要认知图式可称为动作图式，主要有两种：①动作感知。儿童依靠直接动手操作对数学问题形成一种模糊概念，例如玩七巧板、组合图形、查手指进行比较数量等行为就是这种认知图式的实际反映。5～6岁儿童在初入学后仍然保留着这种认知图式，7～8岁儿童在解决自己不能完全理解的数学问题时，也常采用这种认知图式;②形象感知。初入学儿童在接受数学训练后，摆脱感知动作开始感知表象，以解决数学问题。突出表现为不直接动手通过比较行动来感知，开始学会在头脑中进行表象比较，从而与实际数学现象进行对照，例如不再通过互补、割补等行动来证明面积问题，而是通过推理活动来形成数学概念。
（二）具体运算阶段与动作图式
7～11岁儿童的认知图式阶段进入具体运算阶段，其标志是儿童对数学问题中的守恒观念有所理解，可称为符号图式，主要有两种：①符号关联。例如一块橡皮泥做出的各种形状体积都相同，一个平面图形进行变换面积相同，等等。这一阶段的儿童通过具体的演示教学即可掌握简单抽象思维，例如高度问题，用数字、数学单位与实际人物做比较，儿童可以将数字、符号与具体的高度建立关联。②符号抽象。儿童在通过比较概括的训练之后，开始掌握和运用数学概念进行间接推理，掌握了一定揭示事物本质的数学能力，在简单训练后即可在头脑中进行符号抽象思维并通过相互对比加以证实。皮亚杰认为符号图式受儿童个体差异性影响，其多反映在10～11岁儿童的数学发展水平，但近年来随着儿童学前教育的发展，小学生在10岁左右基本掌握了符号图式的数学能力。
（三）形式运算阶段与数学概念形成
儿童在11岁以后认知图式发展至形式运算阶段，至16岁为止。这一阶段跨越了小学阶段，因此这一阶段的数学能力对小学数学教育来说至关重要。形式运算阶段的认知图式可称为运算图式，主要有三种：①简单数学思想。包括运用逻辑推理、归纳法或演绎法来解决数学问题，这些数学概念关联到儿童的推理和论证能力，以及空间想象能力，对于数形结合问题属于小学教育的启蒙阶段，对小学生形成基本数学能力比较重要;②代表符号。例如x、y=不同运算物，在头脑内初步形成了一些数学问题中的数据间关系，能够理解数字可以借助符号而存在，掌握外部符号、数字、实物之间的三方关系;③整体思维。包括数学问题的可逆性、补偿性和灵活性，理解部分与整体之间的辩证关系，能够借助于表象理解这种部分——整体关系，例如8=4 4，4既有其独立的数学意义同时又是8里的一个组成部分。再例如1 9和2 8都等于10，这些独立的数字即是部分合起来又能成为整体，掌握这种关系的能力标志着儿童思维的发展水平。
三、 儿童认知图式在小学数学中的运用
（一）动作图式在小学数学教学中的运用
动作图式应该利用行为、组织引导儿童完成对自身经验以及常见事物的反应。由于考虑到儿童学前教育的差异性以及个性发展差异，在低年级小学数学中仍然本着动作图式进行教学，例如苏教版一年级上册《小学数学》中，1～4课教学内容与学龄前数学教学内容一脉相承。学龄前数学教学以活动教学形式居多，而小学数学则以课堂教学为主，这一教学形式的改变标志着儿童的学习环境发生了本质的变化，初入学儿童对学习环境的理解有局限性，对于学习从外显行为变成了数学系统需要经过一段时间的过渡期。对6-7岁的儿童来说，数学问题并没有从具体的玩具向图示、图形进行认知转移，因而这一阶段适宜运用演示法教学。 就演示法而言，即老师在教学中通过直观教具、示范实验以及相关实物等进行教学，引导学生去感性认知事物的一种授课方法，演示法在高年级数学课堂中属于一种重要辅助方式，然后在教学低年级数学中，演示法起到一种学龄前教育与小学教育的承接作用，尤其是直观演示法，直接体现教学的直观性原则，因而小学数学教师应恰当地根据教学任务和儿童年龄特征选取明显且容易观察的数学现象，直接给予儿童大量感性经验。在运用直观演示法时注意指导，比如通过提问法和谈话法鼓励儿童细致深入地观察，启发学生区分主次轻重，引导学生思考现象和本质、原因和结果等。
（二）符号图式在小学数学教学中的运用
三、四年级的小学生已能够在脱离实物演示的条件下解决包含 、-、×、÷、
关键词：儿童认知图式;小学数学;教学融合
一、 小学阶段的儿童认知图式
（一）认知心理学理论与教学的关系
儿童认知图式很早就融入教学模式当中，20世纪五十年代心理学理论开始影响教育学，皮亚杰的基本观点也得到了教育学界的一致认可，认知心理学理论与学习试误说、练习率等基于儿童自身认知结构的理论综合应用于小学教育中，多样化、演绎型教学模式渐渐取代了单一化、归纳型的教学模式，学生的学习已经完全超过了教师单一的讲授。
（二）认知图式的实质
儿童认知图式是指儿童对环境进行适应的认知结构：①同化。同化是指儿童利用现有的图式认识新刺激、将其消化吸收进自身认知结构过程。例如婴儿发现陌生玩具后习惯地用手去抓，多次尝试后抓到玩具就是一个同化过程;②顺应。顺应是指儿童对现有图式进行修改或创新以应对新刺激的过程，简而言之，就是儿童调整自己的认知能力的水平;例如将婴儿常用的玩具放在床单上，婴儿的第一反应基于同化过程中的抓取（原有认知图式），但因为距离无法掌握，婴儿就会发现拽床单会有利于自己缩短与玩具的距离，就形成了拽床单——拿玩具的二段式的认知结构，形成了一个完整的顺应过程;③平衡。平衡指同化、顺应之间的辩证关系，皮亚杰认为，同化是认知图式的量变因素，顺应是认知图式的质变因素，例如婴儿会将触手可及的玩具与伸手去抓建立因果关系，而玩具放在较远的床单边上时就需要加入拖拽床单才能获得玩具，这体现出同化与顺应之间一种相对平衡的过程。
（三）儿童认知图式因素与小学数学教学
经过研究发现，影响儿童认知图式的因素主要有两点：①机体的成长。儿童阶段认知图式的发展随着个体成熟度的提高而逐渐丰富，特别是儿童神经系统的发育状况。一项针对国内不同地区7-12岁儿童数概念和运算能力发展的研究表明，儿童数学能力与年龄呈正比例关系，这一方面反映儿童随着个体成熟学习能力的增加，也说明儿童在学习数学过程中思维能力得到了发展，教学在其中起到了重要作用;②练习与习得经验。儿童在经过认知活动的一系列试错过程中会获得习得经验，有助于儿童认知图式的发展。有教育学家认为“民族的先天素质对儿童认知发展影响不大，而文化教育影响很大”。根据教学规律来看，数学能力是要通过练习而提升的，许多关于小学生数学能力的研究结论都支持这一点。
二、 小学儿童数学认知图式的发展
（一）感知运算阶段与数学概念产生
感知运算阶段是小学生在学龄前认知图式所发展的初级阶段，这一阶段儿童发展的主要认知图式可称为动作图式，主要有两种：①动作感知。儿童依靠直接动手操作对数学问题形成一种模糊概念，例如玩七巧板、组合图形、查手指进行比较数量等行为就是这种认知图式的实际反映。5～6岁儿童在初入学后仍然保留着这种认知图式，7～8岁儿童在解决自己不能完全理解的数学问题时，也常采用这种认知图式;②形象感知。初入学儿童在接受数学训练后，摆脱感知动作开始感知表象，以解决数学问题。突出表现为不直接动手通过比较行动来感知，开始学会在头脑中进行表象比较，从而与实际数学现象进行对照，例如不再通过互补、割补等行动来证明面积问题，而是通过推理活动来形成数学概念。
（二）具体运算阶段与动作图式
7～11岁儿童的认知图式阶段进入具体运算阶段，其标志是儿童对数学问题中的守恒观念有所理解，可称为符号图式，主要有两种：①符号关联。例如一块橡皮泥做出的各种形状体积都相同，一个平面图形进行变换面积相同，等等。这一阶段的儿童通过具体的演示教学即可掌握简单抽象思维，例如高度问题，用数字、数学单位与实际人物做比较，儿童可以将数字、符号与具体的高度建立关联。②符号抽象。儿童在通过比较概括的训练之后，开始掌握和运用数学概念进行间接推理，掌握了一定揭示事物本质的数学能力，在简单训练后即可在头脑中进行符号抽象思维并通过相互对比加以证实。皮亚杰认为符号图式受儿童个体差异性影响，其多反映在10～11岁儿童的数学发展水平，但近年来随着儿童学前教育的发展，小学生在10岁左右基本掌握了符号图式的数学能力。
（三）形式运算阶段与数学概念形成
儿童在11岁以后认知图式发展至形式运算阶段，至16岁为止。这一阶段跨越了小学阶段，因此这一阶段的数学能力对小学数学教育来说至关重要。形式运算阶段的认知图式可称为运算图式，主要有三种：①简单数学思想。包括运用逻辑推理、归纳法或演绎法来解决数学问题，这些数学概念关联到儿童的推理和论证能力，以及空间想象能力，对于数形结合问题属于小学教育的启蒙阶段，对小学生形成基本数学能力比较重要;②代表符号。例如x、y=不同运算物，在头脑内初步形成了一些数学问题中的数据间关系，能够理解数字可以借助符号而存在，掌握外部符号、数字、实物之间的三方关系;③整体思维。包括数学问题的可逆性、补偿性和灵活性，理解部分与整体之间的辩证关系，能够借助于表象理解这种部分——整体关系，例如8=4 4，4既有其独立的数学意义同时又是8里的一个组成部分。再例如1 9和2 8都等于10，这些独立的数字即是部分合起来又能成为整体，掌握这种关系的能力标志着儿童思维的发展水平。
三、 儿童认知图式在小学数学中的运用
（一）动作图式在小学数学教学中的运用
动作图式应该利用行为、组织引导儿童完成对自身经验以及常见事物的反应。由于考虑到儿童学前教育的差异性以及个性发展差异，在低年级小学数学中仍然本着动作图式进行教学，例如苏教版一年级上册《小学数学》中，1～4课教学内容与学龄前数学教学内容一脉相承。学龄前数学教学以活动教学形式居多，而小学数学则以课堂教学为主，这一教学形式的改变标志着儿童的学习环境发生了本质的变化，初入学儿童对学习环境的理解有局限性，对于学习从外显行为变成了数学系统需要经过一段时间的过渡期。对6-7岁的儿童来说，数学问题并没有从具体的玩具向图示、图形进行认知转移，因而这一阶段适宜运用演示法教学。 就演示法而言，即老师在教学中通过直观教具、示范实验以及相关实物等进行教学，引导学生去感性认知事物的一种授课方法，演示法在高年级数学课堂中属于一种重要辅助方式，然后在教学低年级数学中，演示法起到一种学龄前教育与小学教育的承接作用，尤其是直观演示法，直接体现教学的直观性原则，因而小学数学教师应恰当地根据教学任务和儿童年龄特征选取明显且容易观察的数学现象，直接给予儿童大量感性经验。在运用直观演示法时注意指导，比如通过提问法和谈话法鼓励儿童细致深入地观察，启发学生区分主次轻重，引导学生思考现象和本质、原因和结果等。
（二）符号图式在小学数学教学中的运用
三、四年级的小学生已能够在脱离实物演示的条件下解决包含 、-、×、÷、