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创新已成为当今教育教学改革研究和实验的一个重要课题。而“创新教育”则是以培养学生的创新精神和创新能力为基本价值取向的教育,其核心是对学生进行创新能力的培养。在数学教学中,通过对学生施以教育和影响,促使他们去认识数学领域的新发现、新思想、新方法等,并掌握其一般规律,培养他们具有一定的数学创新能力,为将来成为创新型人才奠定数学素质基础。
一、创造问题情境,培养创新思维能力
和谐有趣的富有创造性的情境, 是培养学生创新思维的重要条件。
创设一个和谐的富有创造性的思维情境,先让学生自己去探索、去发现,去经历数学知识构建的全过程,掌握认识事物,发现真理的方式方法,切实让学生成为课堂的主人,让课堂焕发出生机与活力,从而培养学生的创新意识。例如,在教学“统计初步——方差”时,我设计以下问题情景:
体育老师为了从小明和小锋两名学生中,选取一人参加区运动会跳高比赛,两人在相同条件下各跳10次,成绩如下表:
小明:5.55.75.65.95.65.55.96.05.75.4
小锋:5.85.65.75.85.75.65.95.65.75.7
选谁去参加比赛?体育老师经过科学的数据处理,选出一名参加比赛,并取得了较好的成绩。那么,体育老师又是怎样计算的呢?
此时,学生的创新思维意识和学习兴趣便形成了,自主求知的欲望便激发了,同时也加深了学生对数学知识来源于生活又应用于生活的认识。
二、遵循认识规律,培养创新思维能力
在培养学生创新思维能力的过程中,充分运用由易到难,由简到繁,由已知到未知,由特殊到一般的办法。对繁难问题,应教给学生剖析问题、转化矛盾的方法:也就是先把大问题变成小问题,把新问题变成旧问题,一个紧接一个,一个更比一个接近我们的目标,直至我们能够把问题解决为止。这种“步步为营”的解决方法,正是循序渐进原则的具体应用。
例如:如图,小华晚上在街道的路灯下散步。已知小华的身高AB=h,灯柱的高OP = O/P/=L,两灯柱之间的距离OO/ = m。若小华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值?请说明理由;
要解决这一问题,我们可以把大问题
分成如下面几个小问题来进行思考:
①△ABC和△OPC相似吗?(相似)
②能求得AC的长吗?()
③ 此时你能求出DA的长吗?()
④ OA + O1A 的和是定值吗?( )
⑤ 试计算DA + AC的值。( 是定值) 问题由此解决,显然,这是一个大问题变小问题、循序渐进的解决方法。
三、运用分析、归纳与综合的方法,培养创新思维能力
在教学中如果我们能恰当地把分析、归纳与综合正确地结合起来,那么,学生学习数学的积极性就会得到发挥,学生的数学能力就得到提升。
例如:比较的大小。
为了解决这个问题,我们首先把它抽象成一般问题,即比较 的大小(n为自然数),我们从分析特殊向简单的情形入手,经过取n=1,n=2,n=3,…的分析、探究,从中发现规律,再经过归纳、猜想出结论:首先比较下列各组数中两个数大小(在空格中填“>”、“=”、“<”)
___2 , ____ , ____ , ____ , _____ ,…
其次,从上面的分析结果进行归纳综合猜想, 的大小关系是:。
根据上面的归纳猜想出的一般结论,那么“比较 的大小” 问题也就解决了。
“猜想”出结论,有了结论才有证明,逻辑思维才能展开。“估计”有时是题目的要求,有时是思路的起点,粗估后才能得到精确答案,粗估后逻辑推理才得以进展。“检验”常用在逻辑思维的结尾,它对校正学生思维活动中的错误,提高学生正确创新思维的能力,激发学生学习的兴趣,都有十分重要的作用。
四、利用发散思维与逆向思维,培养创新思维能力
在教学中,要通过一题多解、一题多变、一题多思等训练培养学生的发散思维能力。平时对概念、定理和例题,无论是老师讲还是学生自学,通常习惯于从正面看、正面想、正面用,这样便形成了一种思维定势。这种思维定势,对解同一类问题,学生有法可依,有路可循,往往得心应手,能够解决,这是一种正迁移;但对培养学生创新思维的灵活性、创造性、提升学生的解题能力,则十分不利,是一种负迁移;学生在新问题、活问题,特别是在实际问题面前,往往会感到束手无策,寸步难行,所以在重视正向思维的前提下,破除正向思维定势之束缚,养成经常进行发散思维或逆向思维的习惯,也是培养学生数学创新能力的一种十分重要的方法。
例如有这样一道题:在三个关于 的一元二次方程
⑴
⑵
⑶
中(m为实数),若它们中至少一个有实根,试求出 的取值范围。
对学生来讲,若他们单是按习惯,从正面来解,会出现七种情况,逐一讨论相当复杂。如果反过来进行思考,即是逆向思维。由于“至少有一个”的反面是“一个都没有”,问题的反面只有一种情形:即是三个方程均无实根。所以,假设三个方程均无实根,那么有:
解此不等式组,求出 的取值范围是:,显然,满足题设要求 的取值范围是:。这样解显然既简单又不易出错,也体显出发散思维与逆向思维的重要性,又有利于发展提升学生的创新思维能力。
五、优化解法,培养创新思维能力
在进行思维活动时,如果学生能够对自己的思维活动的正确性加以判断、加以发展,那么,我们的教学就成功了一大半,要做到这点,除了要求学生对基本概念和基本定理有正确的理解和掌握外,还应教会学生在自己的思维活动中多问几个“为什么”、“根据什么”、“怎样想来的”,题目还有没有别的解法,还能不能变化、引申,即进行“一题多变”和“一题多解”的思考,以激发学生创新思维,从而提高学生分析问题的能力,起到举一反三的作用。显然,这也是提升数学创新思维能力的一种十分重要的方法。
例1 如图,已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线,BM⊥AC,DN⊥AC,垂足分别是M、N。
求证:四边形BMDN是平行四边形。
导解:要证BMDN是平行四边形,
首先要考虑判定四边形是平行四边形的方法有几种,然后由已知条件入手,引导学生用不同的方法去探索结论。
方法1:设法证明四边形BMDN的一组对边平行且相等。
方法2:设法证明四边形BMDN的对角线互相平分。
方法3:设法证明四边形BMDN的两组对边分别平行。
方法4:设法证明四边形BMDN的两组对边分别相等。
例2:如图3,已知点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形。求证:△CMB≌△CAN
可以把问题作如下变换:
⑴ MB=AN⑵ △NEC≌△BFC
⑶ CE=CF ⑷ △CEF是等边三角形
⑸ EF∥AB
通过这样“一题多解”、“一题多变”,使学生感到数学并非枯燥无味,从而对数学这门学科产生兴趣,既融洽了整个课堂气氛,又有利于学生创新思维能力的提高。
可见,在教学中要从学生的实际出发, 选择和采取适当的教学方法, 促进学生的思维能力和创新能力的发展, 开拓学生的创新意识,引导学生细致观察、深入联想、提升创新思维的敏捷性,克服单向思维定势的消极性,激发学生创新思维的周密性,有利于激发学生潜能,提升学生的数学创新思维能力。
一、创造问题情境,培养创新思维能力
和谐有趣的富有创造性的情境, 是培养学生创新思维的重要条件。
创设一个和谐的富有创造性的思维情境,先让学生自己去探索、去发现,去经历数学知识构建的全过程,掌握认识事物,发现真理的方式方法,切实让学生成为课堂的主人,让课堂焕发出生机与活力,从而培养学生的创新意识。例如,在教学“统计初步——方差”时,我设计以下问题情景:
体育老师为了从小明和小锋两名学生中,选取一人参加区运动会跳高比赛,两人在相同条件下各跳10次,成绩如下表:
小明:5.55.75.65.95.65.55.96.05.75.4
小锋:5.85.65.75.85.75.65.95.65.75.7
选谁去参加比赛?体育老师经过科学的数据处理,选出一名参加比赛,并取得了较好的成绩。那么,体育老师又是怎样计算的呢?
此时,学生的创新思维意识和学习兴趣便形成了,自主求知的欲望便激发了,同时也加深了学生对数学知识来源于生活又应用于生活的认识。
二、遵循认识规律,培养创新思维能力
在培养学生创新思维能力的过程中,充分运用由易到难,由简到繁,由已知到未知,由特殊到一般的办法。对繁难问题,应教给学生剖析问题、转化矛盾的方法:也就是先把大问题变成小问题,把新问题变成旧问题,一个紧接一个,一个更比一个接近我们的目标,直至我们能够把问题解决为止。这种“步步为营”的解决方法,正是循序渐进原则的具体应用。
例如:如图,小华晚上在街道的路灯下散步。已知小华的身高AB=h,灯柱的高OP = O/P/=L,两灯柱之间的距离OO/ = m。若小华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值?请说明理由;
要解决这一问题,我们可以把大问题
分成如下面几个小问题来进行思考:
①△ABC和△OPC相似吗?(相似)
②能求得AC的长吗?()
③ 此时你能求出DA的长吗?()
④ OA + O1A 的和是定值吗?( )
⑤ 试计算DA + AC的值。( 是定值) 问题由此解决,显然,这是一个大问题变小问题、循序渐进的解决方法。
三、运用分析、归纳与综合的方法,培养创新思维能力
在教学中如果我们能恰当地把分析、归纳与综合正确地结合起来,那么,学生学习数学的积极性就会得到发挥,学生的数学能力就得到提升。
例如:比较的大小。
为了解决这个问题,我们首先把它抽象成一般问题,即比较 的大小(n为自然数),我们从分析特殊向简单的情形入手,经过取n=1,n=2,n=3,…的分析、探究,从中发现规律,再经过归纳、猜想出结论:首先比较下列各组数中两个数大小(在空格中填“>”、“=”、“<”)
___2 , ____ , ____ , ____ , _____ ,…
其次,从上面的分析结果进行归纳综合猜想, 的大小关系是:。
根据上面的归纳猜想出的一般结论,那么“比较 的大小” 问题也就解决了。
“猜想”出结论,有了结论才有证明,逻辑思维才能展开。“估计”有时是题目的要求,有时是思路的起点,粗估后才能得到精确答案,粗估后逻辑推理才得以进展。“检验”常用在逻辑思维的结尾,它对校正学生思维活动中的错误,提高学生正确创新思维的能力,激发学生学习的兴趣,都有十分重要的作用。
四、利用发散思维与逆向思维,培养创新思维能力
在教学中,要通过一题多解、一题多变、一题多思等训练培养学生的发散思维能力。平时对概念、定理和例题,无论是老师讲还是学生自学,通常习惯于从正面看、正面想、正面用,这样便形成了一种思维定势。这种思维定势,对解同一类问题,学生有法可依,有路可循,往往得心应手,能够解决,这是一种正迁移;但对培养学生创新思维的灵活性、创造性、提升学生的解题能力,则十分不利,是一种负迁移;学生在新问题、活问题,特别是在实际问题面前,往往会感到束手无策,寸步难行,所以在重视正向思维的前提下,破除正向思维定势之束缚,养成经常进行发散思维或逆向思维的习惯,也是培养学生数学创新能力的一种十分重要的方法。
例如有这样一道题:在三个关于 的一元二次方程
⑴
⑵
⑶
中(m为实数),若它们中至少一个有实根,试求出 的取值范围。
对学生来讲,若他们单是按习惯,从正面来解,会出现七种情况,逐一讨论相当复杂。如果反过来进行思考,即是逆向思维。由于“至少有一个”的反面是“一个都没有”,问题的反面只有一种情形:即是三个方程均无实根。所以,假设三个方程均无实根,那么有:
解此不等式组,求出 的取值范围是:,显然,满足题设要求 的取值范围是:。这样解显然既简单又不易出错,也体显出发散思维与逆向思维的重要性,又有利于发展提升学生的创新思维能力。
五、优化解法,培养创新思维能力
在进行思维活动时,如果学生能够对自己的思维活动的正确性加以判断、加以发展,那么,我们的教学就成功了一大半,要做到这点,除了要求学生对基本概念和基本定理有正确的理解和掌握外,还应教会学生在自己的思维活动中多问几个“为什么”、“根据什么”、“怎样想来的”,题目还有没有别的解法,还能不能变化、引申,即进行“一题多变”和“一题多解”的思考,以激发学生创新思维,从而提高学生分析问题的能力,起到举一反三的作用。显然,这也是提升数学创新思维能力的一种十分重要的方法。
例1 如图,已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线,BM⊥AC,DN⊥AC,垂足分别是M、N。
求证:四边形BMDN是平行四边形。
导解:要证BMDN是平行四边形,
首先要考虑判定四边形是平行四边形的方法有几种,然后由已知条件入手,引导学生用不同的方法去探索结论。
方法1:设法证明四边形BMDN的一组对边平行且相等。
方法2:设法证明四边形BMDN的对角线互相平分。
方法3:设法证明四边形BMDN的两组对边分别平行。
方法4:设法证明四边形BMDN的两组对边分别相等。
例2:如图3,已知点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形。求证:△CMB≌△CAN
可以把问题作如下变换:
⑴ MB=AN⑵ △NEC≌△BFC
⑶ CE=CF ⑷ △CEF是等边三角形
⑸ EF∥AB
通过这样“一题多解”、“一题多变”,使学生感到数学并非枯燥无味,从而对数学这门学科产生兴趣,既融洽了整个课堂气氛,又有利于学生创新思维能力的提高。
可见,在教学中要从学生的实际出发, 选择和采取适当的教学方法, 促进学生的思维能力和创新能力的发展, 开拓学生的创新意识,引导学生细致观察、深入联想、提升创新思维的敏捷性,克服单向思维定势的消极性,激发学生创新思维的周密性,有利于激发学生潜能,提升学生的数学创新思维能力。