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摘 要：三角函数是高中数学的一个重要知识点。在之前的文章中，介绍了三个常用三角函数的坐标系模型的建立与相关性质的体现。本文以三角函数的坐标系模型的知识为基础，介绍三角函数的坐标系模型在解决某些特殊角问题，以及解决定义域、值域问题的实际应用，帮助学生快速并准确地解答相关题目。
關键词：三角函数；应用举例；函数值不等式
一、 三角函数坐标系模型
三个常用的三角函数模型如下图所示：
二、 三角函数坐标系模型的应用举例
（一） 计算三角函数值
例1 计算sin180°-cos270° tan360°-sin90° cos0°
分析：当遇到180°、270°时一般使用诱导公式或画出三角函数图像观察每一个的值，再计算出结果。如果使用坐标系模型，则可以快速得到每一个三角函数值，计算最终结果。
例2 计算sin5π4 cos3π4-tan-π4
分析：当遇到角度较大且不是π的整数倍时，需要使用诱导公式对三角函数进行化简，三角函数的坐标系模型也支持诱导公式。以sin5π4为例。
由图像可知sin5π4=-sinπ4=-22，即诱导公式sin（π π4）=-sinπ4。
可得出一般性结论：在三角函数坐标系模型中，代表角度的两直线关于X轴、Y轴或原点对称时，两个角度所计算出三角函数值的绝对值相同，正负由模型中坐标系各象限的符号决定，即为诱导公式的体现。
（二）计算三角函数不等式
例3 已知y=2cosx2-π6，1 分析：因为1 则x2-π6∈-π3 2kπ，0 2kπ∪0 2kπ，π3 2kπ，则x∈-π3 2kπ，π3 2kπ∪π3 2kπ，π 2kπ，所以x的取值范围为x∈-π3 2kπ，π3 2kπ∪π3 2kπ，π 2kπ（k∈Z）。
例4 已知y=3sin2x π3，x∈-π12，π6，求y的取值范围。
分析：因为x∈-π12，π6，所以2x π3∈π6，2π3，在坐标系上表示为
由图像可知sin2π3=sinπ3=32，sinπ6=12，因为32>12，所以y的取值范围为32，3。
例3、例4两道题充分体现了使用坐标系解决三角函数问题的优越性，两道题分别要求值域和定义域的范围，若使用三角函数图像的方法求它们的范围会繁琐得多，使用坐标系模型不需要画出三角函数的实际图像，而且在解题速度快的同时，也能保证较高的正确率。
作者简介：
许子明，江苏省南京市，南京邮电大学。
關键词：三角函数；应用举例；函数值不等式
一、 三角函数坐标系模型
三个常用的三角函数模型如下图所示：
二、 三角函数坐标系模型的应用举例
（一） 计算三角函数值
例1 计算sin180°-cos270° tan360°-sin90° cos0°
分析：当遇到180°、270°时一般使用诱导公式或画出三角函数图像观察每一个的值，再计算出结果。如果使用坐标系模型，则可以快速得到每一个三角函数值，计算最终结果。
例2 计算sin5π4 cos3π4-tan-π4
分析：当遇到角度较大且不是π的整数倍时，需要使用诱导公式对三角函数进行化简，三角函数的坐标系模型也支持诱导公式。以sin5π4为例。
由图像可知sin5π4=-sinπ4=-22，即诱导公式sin（π π4）=-sinπ4。
可得出一般性结论：在三角函数坐标系模型中，代表角度的两直线关于X轴、Y轴或原点对称时，两个角度所计算出三角函数值的绝对值相同，正负由模型中坐标系各象限的符号决定，即为诱导公式的体现。
（二）计算三角函数不等式
例3 已知y=2cosx2-π6，1
例4 已知y=3sin2x π3，x∈-π12，π6，求y的取值范围。
分析：因为x∈-π12，π6，所以2x π3∈π6，2π3，在坐标系上表示为
由图像可知sin2π3=sinπ3=32，sinπ6=12，因为32>12，所以y的取值范围为32，3。
例3、例4两道题充分体现了使用坐标系解决三角函数问题的优越性，两道题分别要求值域和定义域的范围，若使用三角函数图像的方法求它们的范围会繁琐得多，使用坐标系模型不需要画出三角函数的实际图像，而且在解题速度快的同时，也能保证较高的正确率。
作者简介：
许子明，江苏省南京市，南京邮电大学。