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百晓生：斐波那契从兔子的繁殖中得出的斐波那契数列，是奥数中的一个重要问题，经常在各种考试中出现，就让我们一起来学习这一类问题吧！
（你可以对我说不认识兔子，但千万别对我说不知道斐波那契，那样我会受不了的）
例题一：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？（注意和教材的区别）
中世纪最有才华的数学家斐波那契出生在意大利比萨市的一个商人家庭。因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。
斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究。他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此他在经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料。回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》。
思路分析：现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有两对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，两对成年，一对未成年……月月如此。第1个月到第6个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。
我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
我们把1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
例题二：下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第16行的实心圆点的个数是多少？
思路分析：我们把每一行的实心圆点列出来，就得到了这样一组数列0，1，1，2，3，5……
对于每一个空心圆点它到下一行只生出一个实心圆点，而对于每一个实心圆点它到下一行可生出一空一实两个点。到第6行时我们可看出这一行的五个实心圆点到下一行必定能生出五个实心圆点和五个空心圆点，另外三个空心圆点还能生出三个实心圆点，因此下一行为5+3=8个实心圆点。同理，下一行的实心圆点数为本行的所有实心加所有空心圆点数，为8+5=13……不用多说，这实际上就是一个斐波那契数列。因此结果很快可推知：
0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610。第16行的实心圆点个数为610。
例题三：一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶。从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法？
思路分析：遇到类似的题目，我们一般的做法是从最简单的情况出发，再慢慢地推出复杂的情况。
我们先看只有1级台阶的情况开始：
1级台阶，只有1种情况；
2级台阶，有①1、1，②2两种情况；
3级台阶，有①1、1、1，②1、2，③2、1，④3四种情况；
4级台阶，有①1、1、1、1，②1、1、2，③1、2、1，④2、1、1，⑤2、2，⑥1、3，⑦3、1七种情况；
5级台阶，有①1、1、1、1、1，②1、1、1、2，③1、1、2、1，④1、2、1、1，⑤2、1、1、1，⑥1、2、2，⑦2、1、2，⑧2、2、1，⑨1、1、3，⑩1、3、1，{11}3、1、1，{12}2、3，{13}3、2十三种情况。
细心的小朋友可能已经发现了规律。即：n级台阶时，所有的走法种数是它的前三种走法的和，和斐波那契数列很相似。根据这个规律，我们就可以得到10级台阶时所有的走法种数了。
小试牛刀
变式1：有一堆火柴共 12根，如果规定每次取 1至3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法？
变式2：一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边,它每次只能跳0.5米或1米,这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法？
小试牛刀
百晓生：题目的面目各不相同，但最后都通过找规律让它们露出了本来的面目，你掌握了吗？
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
（你可以对我说不认识兔子，但千万别对我说不知道斐波那契，那样我会受不了的）
例题一：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？（注意和教材的区别）
中世纪最有才华的数学家斐波那契出生在意大利比萨市的一个商人家庭。因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。
斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究。他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此他在经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料。回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》。
思路分析：现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有两对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，两对成年，一对未成年……月月如此。第1个月到第6个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。
我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
我们把1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
例题二：下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第16行的实心圆点的个数是多少？
思路分析：我们把每一行的实心圆点列出来，就得到了这样一组数列0，1，1，2，3，5……
对于每一个空心圆点它到下一行只生出一个实心圆点，而对于每一个实心圆点它到下一行可生出一空一实两个点。到第6行时我们可看出这一行的五个实心圆点到下一行必定能生出五个实心圆点和五个空心圆点，另外三个空心圆点还能生出三个实心圆点，因此下一行为5+3=8个实心圆点。同理，下一行的实心圆点数为本行的所有实心加所有空心圆点数，为8+5=13……不用多说，这实际上就是一个斐波那契数列。因此结果很快可推知：
0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610。第16行的实心圆点个数为610。
例题三：一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶。从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法？
思路分析：遇到类似的题目，我们一般的做法是从最简单的情况出发，再慢慢地推出复杂的情况。
我们先看只有1级台阶的情况开始：
1级台阶，只有1种情况；
2级台阶，有①1、1，②2两种情况；
3级台阶，有①1、1、1，②1、2，③2、1，④3四种情况；
4级台阶，有①1、1、1、1，②1、1、2，③1、2、1，④2、1、1，⑤2、2，⑥1、3，⑦3、1七种情况；
5级台阶，有①1、1、1、1、1，②1、1、1、2，③1、1、2、1，④1、2、1、1，⑤2、1、1、1，⑥1、2、2，⑦2、1、2，⑧2、2、1，⑨1、1、3，⑩1、3、1，{11}3、1、1，{12}2、3，{13}3、2十三种情况。
细心的小朋友可能已经发现了规律。即：n级台阶时，所有的走法种数是它的前三种走法的和，和斐波那契数列很相似。根据这个规律，我们就可以得到10级台阶时所有的走法种数了。
小试牛刀
变式1：有一堆火柴共 12根，如果规定每次取 1至3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法？
变式2：一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边,它每次只能跳0.5米或1米,这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法？
小试牛刀
百晓生：题目的面目各不相同，但最后都通过找规律让它们露出了本来的面目，你掌握了吗？
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