对一道中考试题多种解法的探究

• 作 者: 孙辉
• 出 处: 数理化学习·初中版
• 发表日期: 2014年4期
• 关键词: 中考试题 线段 函数关系式 取值范围 直线 运动 扬州 位置 题目 梯形 连接 江苏 动点

　　题目 ：（2013年江苏扬州第27题）
　　如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．
　　
　　（1）求y与x的函数关系式；
　　
　　（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；
　　
　　（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．
　　
　　
　　 解析 ：
　　由相似基本图形，易证得：△ABP∽△PCE，从而得到y与x之间的函数关系式.
　　
　　（1)y=- 1 2 x2+ m 2 x.
　　
　　 （2）根据（1）中求出的y与x的函数关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式（或运用数形结合的方法）确定m的取值范围.
　　
　　 方法1 ： 因为y=- 1 2 x2+ m 2x=- 1 2 (x- m 2 )2+ m2 8 .
　　
　　所以当x= m 2 时，y取得最大值，最大值为
　　 m2 8 ．
　　
　　因为点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，
　　
　　所以 m2 8 ≤1，解得
　　-22≤m≤22.
　　
　　因为m为正数.
　　
　　所以m的取值范围为： 0　　
　　 方法2 ：因为点E总在线段CD上,所以CE≤1即：
　　
　　- 1 2x2+ m 2 x≤1.
　　
　　化简得：
　　x2-mx+2≥0.
　　
　　因为x2-mx+ m2 4 ≥ m2 4
　　-2,所以 m2 4 -2≤0.
　　
　　解得-22≤m≤22.
　　
　　所以0　　
　　 方法3 ：因为点E总在线段CD上,所以CE≤1，即：
　　
　　- 1 2 x2+ m 2 x≤1.
　　
　　得x2-mx+2≥0.
　　
　　令S=x2-mx+2，则此二次函数图象为抛物线且开口向上，
　　
　　而S≥0，所以抛物线与x轴的交点为1个或0个.
　　
　　根据二次函数与一元二次方程的关系，则方程x2-mx+2=0的根为两个相等的实数根或无解，所以根的判别式小于或等于0.即： m2-8≤0.
　　所以-22≤m≤22,所以
　　
　　0　　
　　 方法4 ：如图3,
　　因为 y=- 1 2 x2+ m 2
　　x=- 1 2
　　(x- m 2 )2+ m2 8 .
　　
　　所以当x= m 2 时，y的最大值为1.
　　
　　即当点P运动到BC的中点时，y有最大值，此时m亦为最大值
　　.取AE的中点O，连OP，作EF⊥AB，易知：四边形BCEF为矩形，OP为梯形ABCD中位线，则EF=BC=m，AF=1，OP= 3 2 ,所以AE=2OP=3.
　　
　　所以在Rt△AEF中，AE2+EF2=AE2,m2=8,m=±22
　　
　　
　　因为m为最大值,
　　所以0　　
　　（3）在翻折的操作中，经常有相等的量转化，并且构造直角三角形利用勾股定理或相似三角形，得到一元二次方程并求解.
　　
　　由折叠可知：PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE.
　　
　　又因为∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°.
　　
　　所以∠APG=∠APB.
　　
　　因为∠BAG=90°,所以AG∥BC.
　　
　　所以∠GAP=∠APB,所以∠GAP=∠APG,所以AG=PG=PC.
　　
　　 方法1 ：
　　如图4所示，分别延长CE、AG，交于点H,
　　
　　易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x
　　
　　在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GE2即
　　x2+(2-y)2=y2.
　　
　　化简得：x2-4y+4=0①，由（1）可知：y=-
　　 1 2 x2+ m 2 x，这时m=4，
　　
　　所以y=- 1 2 x2+2x.
　　
　　代入①式，得：x2-8x+4=0，解得x= 2 3 或x=2.
　　
　　所以BP的长为 2 3 或2.
　　
　　 方法2 ：如图5所示,
　　过点P作PH⊥AG于点H. 易知四边形ABPH为矩形
　　，所以AH=PB=x，PH=AB=2.
　　
　　因为AG=PG=PC=4-x,所以HG=AG-AH=4-x-x=4-2x.
　　
　　在Rt△PGH中，由勾股定理得：GH2+PH2=PG2即
　　
　　(4-2x)2+22=(4-x)2.
　　
　　化简得：3x2-8x+4=0，解得：x= 2 3 或
　　
　　x=2.
　　
　　所以BP的长为 2 3 或2.
　　
　　 方法3 ：如图6所示,
　　分别延长CE、AG，交于点H，作PF⊥AG于点F,
　　易知四边形ABCH为矩形.GH=4-(4-x)=x，HE=2-y，
　　
　　由（1）可知：y=- 1 2 x2+ m 2 x，此时m=4，
　　
　　所以y=- 1 2 x2+2x.
　　
　　所以HE=2-（-
　　 1 2 x2+2x）= 1 2 x2-
　　2x+2.
　　
　　易知四边形ABPF为矩形,
　　所以AF=x,所以GF=4-x-x=4-2x，PF=AB=2.
　　
　　由折叠可知：∠PGE=∠C=90°,
　　
　　所以易知△PGF∽△GEH.
　　
　　所以 PF GH = FG HE ,即
　　
　　 2 x = 4-2x
　　
　　 1 2 x2-2x+2得3x2-8x+4=0.
　　
　　解得：x= 2 3 或x=2.
　　
　　所以BP的长为 2 3 或2.
　　
　　
　　 方法4 ：如图7所示，
　　过点G作GH⊥AP于点H，前面已证：AG=PG=4-x.
　　
　　所以△APG为等腰三角形,
　　
　　因为GH⊥AP,所以AH= 1 2 AP.
　　
　　易证得Rt△ABP∽Rt△GHA.
　　
　　所以 AP AG =
　　 BP AH 即
　　 AP 4-x =
　　
　　 x1 2 AP ,所以
　　 1 2 AP2=x(4-x).
　　
　　所以AP2=2x(4-x).
　　
　　在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2=AB2+BP2即
　　
　　2x(4-x)=22+x2.
　　
　　整理得：3x2-8x+4=0,解得：
　　x= 2 3 或x=2.
　　
　　所以BP的长为 2 3 或2.
　　
　　 评注 ：本题是代数几何综合题，包含了全等三角形、相似三角形、勾股定理、折叠、二次函数、动态问题等知识点，本文就（2）、（3）问 进行了多角度、多方向、多途径的思考，经常进行一题多解的训练会培养学生运用知识的灵活性和创造性，对发展数学思维能力会起很大作用.