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[摘 要] 模型思想在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称新课标）中受到了充分的重视。因此，本文以人教版五上“数学广角——植树问题”为例，研究模型思想在小学五年级数学教学中的实施情况，继而探究得出相应的有效策略，为今后的教育教学工作做好方法指导。
[关键词] 模型;思想;实施;策略
一、求解模型的基本思路
数学新课标提出了建立和求解模型的过程：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。因此，可以从主观和客观两个角度来理解模型思想。从主观上讲，模型思想是建立和求解模型的意识与观念，它是数学素质培养的对象之一;从客观上讲，模型思想是建立和求解模型的方法与策略，它是学生应该掌握的一种数学思想方法。但是，传统教学方法并不注重模型思想的教学，完成传统教学训练后，大多数学生依旧对数学模型的相关概念缺乏了解。这不仅使他们对数学模型的认识依旧停留在初学者水平，也使他们不能深化地理解相关科学概念。
在我国，数学建模教育最早可以追溯到华罗庚等老一辈数学家有意识地向中小学生介绍和普及解决实际问题的建模思想，在具体教学策略实施上面，沈丹丹提出模型思想的教学不仅可以提高学生的创新意识和实践能力，培养学生提出和解决问题的能力，而且可以通过开展建模活动推动小学数学教育的改革与发展。
在上述理论研究表明模型思想在小学数学教学中具有极其重要的作用，但是，如何将模型思想运用到具体教学过程中，并对教学效果做有效评估尚缺乏研究。故本文将以人教版五年级上册的“数学广角—植树问题”同课异构展示课为契机，利用调查问卷和对比实验相结合方法，研究和评估以模型思想为核心的数学教学法实施策略上的优势。
二、研究方法与过程
为了较为严谨地证明文献中的观点，本次研究所采用的方法是将调查法与对比实验法相结合。在实验中，笔者随机选取了所在学校的五年级两个班学生为研究对象，并通过发放问卷和谈话相结合，对五年级师生做调查，了解并掌握了五年级师生对模型思想的认识情况，并在此基础上对比用于评估传统教学方法和基于模型思想的教学方法的差异。
（一）前期调研
在问卷调查中，笔者设计的调查问卷从对模型思想的了解、解决问题过程中的应用、深入学习模型思想的意愿等多个维度研究学生对模型思想的理解。从调查中发现，绝大部分五年级学生对于数学模型思想的了解程度并不高，通过和这些学生的交流，笔者发现，他们大多数人只听说过相关概念，而那些知道得很全面的学生大多数对数学模型思想的基本概念并不了解。
通过进一步分析调查数据，笔者发现，尽管大部分教师会按照新课标的要求在课堂上提起数学建模或数学模型，但是，受限于传统教学方法，大部分学生对数学模型思想的认识仅停留在表面。考虑到部分学生认为教师并未在课堂上提及，这表明传统教学方法无法将数学模型思想作为数学的基本思想被单独讲解。
（二）教学策略设计
为了解决这一问题，笔者按照《数学新课标（2011版）》提出的建立和求解模型的过程，设计具体培养策略如下：
1.注重体验探究，经历建构过程。任何一种数学思想方法的形成和掌握都离不开学习主体的自我体验和探索，而这种体验和探索即是学习主体对知识的建构过程。就数学模型思想在小学数学教学中的应用而言，从教学目标的设定、教学过程的设计以及反馈和评价都应将过程性考虑在内。因此，笔者在“数学广角——植树问题”的教学案例设计中，从问题情境的数学化，即抽象出数学问题，到猜想、尝试建立数学模型，验证和修正数学模型，到最后应用数学模型解决相关问题，整个过程都是让学生主动地去经历、探究，而非简单的背记公式或规律。
2.注重媒体工具，提升直观感知。由于学生在构建数学模型的过程中主要运用的表征方式有符号表征、列表表征和图解表征，而数学模型最终又要以符号的形式固定下来，因而确立符号模型就需要运用多种媒体技术手段来辅助教学，从而帮助学生提升对数学模型的直观感知，有效的构建数学模型。因此，在教学资源充足的情况下，教师应尽量使用多种教学媒体技术工具，从而辅助学生构建数学模型。笔者在“数学广角——植树问题”的教学设计中就通过使用多媒体技术工具进行演示，使学生直观感知到将一棵棵树抽象成一个个点的过程，从而帮助学生理解棵数和间隔数的关系，为后面的规律的得出做好了方法支撑。
3.注重学习方式，突显主体地位。在传统教育中教师是课堂的主体，数学课堂是以教师讲授为主，学生是课堂的被动者，以被动接受知识为主。这一传统的学习方式，忽视了学生的主体地位，阻碍了学生应用能力的发展，继而创新意识也得不到提高。而新课标倡导的自主、合作、探究的学习方式，将学生当作学习的主人，要求学生自主探究，同学间合作交流来掌握数学的基础知识，以增强学生解决生活问题的能力。
因此，小学数学模型思想的教学就应采用自主、合作、探究的学习方式，将探究贯穿于课堂教学的始终。教师通过设计表格（见下图）巧妙引导学生自己发现数学知识中隐藏的数学模型，通过学生自主、合作、探究的形式，去解决问题，这样不仅能让学生感受到成功的喜悦，也是提高学生学习兴趣的重要途径，同时解决问题的效率也会有较大幅度的提高。
想一想：观察上表你发现了什么？
4.注重问题解决，形成网状结构。传统的内容编排主要是以知识结构为基础，由多个问题构成的问题串，但是这种结构往往是线性的。如果以数学模型为核心进行问题解决的教学，构建问题链，可构成网状结构，从而可以最大限度地整合丰富多彩的问题，再利用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。笔者以“数学广角——植树问题”为例，可以封闭圆圈植树问题为核心模型，再演变出其他模型，封闭圆圈植树中的点与间隔一一对应，长度÷间隔=棵数。再根据实际情况演变出其他模型。
（1）一端栽一端不栽与封闭圆圈植树模型相同：长度÷间隔=棵数。
（2）两端都栽：长度÷间隔 1=棵数。
（3）两端都不栽：长度÷间隔-1=棵数。
通过上述研究我们发现，以模型思想为核心的数学教学法具有如下两方面作用：
对学生而言，它可以使学生经历从具体的现实情境中抽象出一般的数学问题，帮助其感受数学学习的现实意义，体会数学抽象能力的必要，感受建立数学模型的成就感，还能使学生在自主学习能力、抽象思维等方面得到更广阔的发展空间，进而有效提高他们的数学应用意识和应用能力。
对教师而言，教师对数学模型思想的理解与掌握是培养学生对该概念理解与掌握的关键性前提，因此，掌握数学模型思想这一结构化的思想方法，对实践教师提高自身的教学能力和专业领域的发展具有重要的促进作用。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]曹一鸣，王立东.美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J].数学教育学报，2010，19（5）：8-11.
[3]华罗庚.华罗庚科普著作选集[M].上海：上海教育出版社1984.
[4]徐利治.數学方法论选讲（第2版）[M].武汉：华中工学院出版社，1988.
[5]沈丹丹.开展数学建模活动，促进小学教学改革[J].宁波大学学报（教育科学版），2002（5）.
[6]孙丹.浅谈小学数学教学中渗透建模思想的策略与意义[J].新课程研究，2011（11）.
[7]唐惠玉.关于小学数学建模教学的几点思考[J].小学教学参考，2011（3）.
[8]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014：88.
[9]刘勋达.小学数学模型思想及培养策略研究[D].华中师范大学，2013.
[10]苏小霞.初中数学应用题教学策略研究[D].西北师范大学，2008.
（责任编辑：朱福昌）
[关键词] 模型;思想;实施;策略
一、求解模型的基本思路
数学新课标提出了建立和求解模型的过程：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。因此，可以从主观和客观两个角度来理解模型思想。从主观上讲，模型思想是建立和求解模型的意识与观念，它是数学素质培养的对象之一;从客观上讲，模型思想是建立和求解模型的方法与策略，它是学生应该掌握的一种数学思想方法。但是，传统教学方法并不注重模型思想的教学，完成传统教学训练后，大多数学生依旧对数学模型的相关概念缺乏了解。这不仅使他们对数学模型的认识依旧停留在初学者水平，也使他们不能深化地理解相关科学概念。
在我国，数学建模教育最早可以追溯到华罗庚等老一辈数学家有意识地向中小学生介绍和普及解决实际问题的建模思想，在具体教学策略实施上面，沈丹丹提出模型思想的教学不仅可以提高学生的创新意识和实践能力，培养学生提出和解决问题的能力，而且可以通过开展建模活动推动小学数学教育的改革与发展。
在上述理论研究表明模型思想在小学数学教学中具有极其重要的作用，但是，如何将模型思想运用到具体教学过程中，并对教学效果做有效评估尚缺乏研究。故本文将以人教版五年级上册的“数学广角—植树问题”同课异构展示课为契机，利用调查问卷和对比实验相结合方法，研究和评估以模型思想为核心的数学教学法实施策略上的优势。
二、研究方法与过程
为了较为严谨地证明文献中的观点，本次研究所采用的方法是将调查法与对比实验法相结合。在实验中，笔者随机选取了所在学校的五年级两个班学生为研究对象，并通过发放问卷和谈话相结合，对五年级师生做调查，了解并掌握了五年级师生对模型思想的认识情况，并在此基础上对比用于评估传统教学方法和基于模型思想的教学方法的差异。
（一）前期调研
在问卷调查中，笔者设计的调查问卷从对模型思想的了解、解决问题过程中的应用、深入学习模型思想的意愿等多个维度研究学生对模型思想的理解。从调查中发现，绝大部分五年级学生对于数学模型思想的了解程度并不高，通过和这些学生的交流，笔者发现，他们大多数人只听说过相关概念，而那些知道得很全面的学生大多数对数学模型思想的基本概念并不了解。
通过进一步分析调查数据，笔者发现，尽管大部分教师会按照新课标的要求在课堂上提起数学建模或数学模型，但是，受限于传统教学方法，大部分学生对数学模型思想的认识仅停留在表面。考虑到部分学生认为教师并未在课堂上提及，这表明传统教学方法无法将数学模型思想作为数学的基本思想被单独讲解。
（二）教学策略设计
为了解决这一问题，笔者按照《数学新课标（2011版）》提出的建立和求解模型的过程，设计具体培养策略如下：
1.注重体验探究，经历建构过程。任何一种数学思想方法的形成和掌握都离不开学习主体的自我体验和探索，而这种体验和探索即是学习主体对知识的建构过程。就数学模型思想在小学数学教学中的应用而言，从教学目标的设定、教学过程的设计以及反馈和评价都应将过程性考虑在内。因此，笔者在“数学广角——植树问题”的教学案例设计中，从问题情境的数学化，即抽象出数学问题，到猜想、尝试建立数学模型，验证和修正数学模型，到最后应用数学模型解决相关问题，整个过程都是让学生主动地去经历、探究，而非简单的背记公式或规律。
2.注重媒体工具，提升直观感知。由于学生在构建数学模型的过程中主要运用的表征方式有符号表征、列表表征和图解表征，而数学模型最终又要以符号的形式固定下来，因而确立符号模型就需要运用多种媒体技术手段来辅助教学，从而帮助学生提升对数学模型的直观感知，有效的构建数学模型。因此，在教学资源充足的情况下，教师应尽量使用多种教学媒体技术工具，从而辅助学生构建数学模型。笔者在“数学广角——植树问题”的教学设计中就通过使用多媒体技术工具进行演示，使学生直观感知到将一棵棵树抽象成一个个点的过程，从而帮助学生理解棵数和间隔数的关系，为后面的规律的得出做好了方法支撑。
3.注重学习方式，突显主体地位。在传统教育中教师是课堂的主体，数学课堂是以教师讲授为主，学生是课堂的被动者，以被动接受知识为主。这一传统的学习方式，忽视了学生的主体地位，阻碍了学生应用能力的发展，继而创新意识也得不到提高。而新课标倡导的自主、合作、探究的学习方式，将学生当作学习的主人，要求学生自主探究，同学间合作交流来掌握数学的基础知识，以增强学生解决生活问题的能力。
因此，小学数学模型思想的教学就应采用自主、合作、探究的学习方式，将探究贯穿于课堂教学的始终。教师通过设计表格（见下图）巧妙引导学生自己发现数学知识中隐藏的数学模型，通过学生自主、合作、探究的形式，去解决问题，这样不仅能让学生感受到成功的喜悦，也是提高学生学习兴趣的重要途径，同时解决问题的效率也会有较大幅度的提高。
想一想：观察上表你发现了什么？
4.注重问题解决，形成网状结构。传统的内容编排主要是以知识结构为基础，由多个问题构成的问题串，但是这种结构往往是线性的。如果以数学模型为核心进行问题解决的教学，构建问题链，可构成网状结构，从而可以最大限度地整合丰富多彩的问题，再利用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。笔者以“数学广角——植树问题”为例，可以封闭圆圈植树问题为核心模型，再演变出其他模型，封闭圆圈植树中的点与间隔一一对应，长度÷间隔=棵数。再根据实际情况演变出其他模型。
（1）一端栽一端不栽与封闭圆圈植树模型相同：长度÷间隔=棵数。
（2）两端都栽：长度÷间隔 1=棵数。
（3）两端都不栽：长度÷间隔-1=棵数。
通过上述研究我们发现，以模型思想为核心的数学教学法具有如下两方面作用：
对学生而言，它可以使学生经历从具体的现实情境中抽象出一般的数学问题，帮助其感受数学学习的现实意义，体会数学抽象能力的必要，感受建立数学模型的成就感，还能使学生在自主学习能力、抽象思维等方面得到更广阔的发展空间，进而有效提高他们的数学应用意识和应用能力。
对教师而言，教师对数学模型思想的理解与掌握是培养学生对该概念理解与掌握的关键性前提，因此，掌握数学模型思想这一结构化的思想方法，对实践教师提高自身的教学能力和专业领域的发展具有重要的促进作用。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]曹一鸣，王立东.美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J].数学教育学报，2010，19（5）：8-11.
[3]华罗庚.华罗庚科普著作选集[M].上海：上海教育出版社1984.
[4]徐利治.數学方法论选讲（第2版）[M].武汉：华中工学院出版社，1988.
[5]沈丹丹.开展数学建模活动，促进小学教学改革[J].宁波大学学报（教育科学版），2002（5）.
[6]孙丹.浅谈小学数学教学中渗透建模思想的策略与意义[J].新课程研究，2011（11）.
[7]唐惠玉.关于小学数学建模教学的几点思考[J].小学教学参考，2011（3）.
[8]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014：88.
[9]刘勋达.小学数学模型思想及培养策略研究[D].华中师范大学，2013.
[10]苏小霞.初中数学应用题教学策略研究[D].西北师范大学，2008.
（责任编辑：朱福昌）