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【摘要】利用重要不等式的研究方法，本文在Banach空间上研究了有界随机变量的次高斯性，得出了重要结论:数学期望为零的有界B值随机元是次高斯的，并得出参数τ的精确估计.并进而将研究延伸到Banach空间的特殊情形Hilbert空间上，也得到一些有用的结论.
【关键词】Banach空间；B值随机元；次高斯变量；Hilbert空间
1.引 言
在实数空间和复数空间，有界随机变量的次高斯性已经得到了较好的研究（见参考文献［6］和［7］），本文在已有的研究基础上，进一步在Banach空间上讨论了有界随机变量的次高斯性，得到重要结论：数学期望为零的有界B值随机元是次高斯的，并得出参数τ的精确估计.最后对Banach空间的特殊情形Hilbert空间也做了进一步讨论，得到一些有用的结论.
2.概 念
定义2.1 设β为Banach空间，β*是β的共轭空间，ξ是B值随机元.若对任意的f∈β*，f(ξ)都是次Gauss的，则我们称β中的随机元ξ是次Gauss的.
3.重要结论
定理3.1 设β为Banach空间，记B中的范数为‖•‖，β*是β的共轭空间，ξ是B值独立随机元，若E(ξ)=0，且存在常数M>0，使‖ξ‖≤M，则随机元ξ是次Gauss的.
证明 对任意的f∈β*，有
|f(ξ)|≤‖f‖‖ξ‖，ξ∈β.
对任意数λ，λ∈β的数域，有
|Re(λf(ξ))|≤|λ||f(ξ)|.有
E(eRe(λf(ξ))）
=1+∑∞n=1E(Re(λf(ξ)))nn!
≤1+∑∞n=2‖f‖nMnλnn!
=e|λ|•‖f‖M-|λ|‖f‖M
≤eM2|λ|2‖f‖2=eτ2|λ|22.
其中τ=2‖f‖M,从而f(ξ)为服从参数τ=2‖f‖M的次Gauss变量，再由定义2.1知B值随机元ξ是次Gauss的.
注 若‖f‖=2，ξ≤12，则随机变量f(ξ)是次正态的.
证明 ∵E(eRe(λf(ξ)))≤eM2|λ|2‖f‖2=e122λ2(2)2=eλ22，
从而可知随机变量f(ξ)是次正态的.
下面在定理3.1的基础上，我们假设B值随机元ξ是对称情形，从而得到更精确的结论：
定理3.2 设β为Banach空间，记B中的范数为‖•‖，β*是β的共轭空间，ξ是β中B值独立对称随机元，且存在常数M>0，使‖ξ‖≤M，则随机元ξ是次Gauss的.
证明 由ξ是对称的，任意f∈β*，任意λ∈β的数域，有
E(eRe(λf(ξ)))
=∑∞n=0E(Re(λf(ξ)))2n2n!
≤∑∞n=0E(|λ|2n‖f‖2n‖ξ‖2n)2n!
≤∑∞n=0‖f‖2nM2n|λ|2n2n!
≤∑∞n=0(‖f‖Mλ)2nn!2n
≤∑∞n=0|λ|2‖f‖2M22nn!
=e|λ|2‖f‖2M22=eτ2|λ|22.
其中τ=‖f‖M,从而f(ξ)为服从参数τ=‖f‖M的次Gauss变量，再由定义2.1知B值随机元ξ是次Gauss的.
注 若‖f‖=1，ξ≤1，则随机变量f(ξ)是次正态的.
证明 ∵E(eRe(λf(ξ)))≤e|λ|2‖f‖2M22=eλ22，从而可知随机变量f(ξ)是次正态的.
由于Hilbert空间是Banach空间的特殊情形，我们又可以得到下面一些有用结论：
引理3.3 B空间(β，‖•‖)中的‖•‖满足‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2)(x,y∈β)，可以在β上引进一个内积(•，•）使β是Hilbert空间并满足(x,x)12=‖x‖(x∈β).（见文献［2］第一章命题1.6.13）
引理3.4 设H是Hilbert空间，则对于H上的任一有界线性泛函f，存在唯一的z∈H使f(x)=(x,z),x∈H，且‖f‖=‖z‖.（见文献［2］第二章命题2.2.1）
定理3.5 H是Hilbert空间，ξ是H值随机元.若z∈H，(ξ,z)为次高斯随机变量，那么ξ为次高斯随机元.
证明 z∈H，(ξ,z)为次高斯随机变量，由引理3.4知f(ξ)=(ξ,z)，∴f(ξ)为次高斯变量，由概念2.1知，ξ为次高斯随机元.
定理3.6 H是Hilbert空间，ξ是H值随机元.若M>0，使‖ξ‖≤M且Eξ=0，则ξ为次高斯随机元.
证明 因为H是Hilbert空间，ξ是H值随机元，所以显然ξ是B值随机元，又由定理3.1知，结论得证.
定理3.7 H是Hilbert空间，ξ是H值对称随机元.若M>0，使 ‖ξ‖≤M，则ξ为次高斯随机元.
证明 因为H是Hilbert空间，ξ是H值随机元，所以显然ξ是B值随机元，又由定理3.2知，结论得证.
【参考文献】
［1］J-P卡昂纳.函数项随机级数［M］.武汉：武汉大学出版社，1993：57-59.
［2］张恭庆，林源渠.泛函分析讲义［M］.北京：北京大学出版社，1990.
［3］严加安.测度论讲义［M］.北京：科学出版社，2000.
［4］吴智泉，王向忱.巴氏空间上的概率论.长春：吉林大学出版社，1990.
［5］定光桂.巴拿赫空间引论.北京：科学出版社，1984.
［6］余彬，谢清，张艳丽.复次高斯变量［J］.湖北大学学报（自然科学版），2007，29（1）：22-24.
［7］吴尚文.有界随机变量的次高斯性［J］.湖北大学学报（自然科学版），2003，25（1）：287-289.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】Banach空间；B值随机元；次高斯变量；Hilbert空间
1.引 言
在实数空间和复数空间，有界随机变量的次高斯性已经得到了较好的研究（见参考文献［6］和［7］），本文在已有的研究基础上，进一步在Banach空间上讨论了有界随机变量的次高斯性，得到重要结论：数学期望为零的有界B值随机元是次高斯的，并得出参数τ的精确估计.最后对Banach空间的特殊情形Hilbert空间也做了进一步讨论，得到一些有用的结论.
2.概 念
定义2.1 设β为Banach空间，β*是β的共轭空间，ξ是B值随机元.若对任意的f∈β*，f(ξ)都是次Gauss的，则我们称β中的随机元ξ是次Gauss的.
3.重要结论
定理3.1 设β为Banach空间，记B中的范数为‖•‖，β*是β的共轭空间，ξ是B值独立随机元，若E(ξ)=0，且存在常数M>0，使‖ξ‖≤M，则随机元ξ是次Gauss的.
证明 对任意的f∈β*，有
|f(ξ)|≤‖f‖‖ξ‖，ξ∈β.
对任意数λ，λ∈β的数域，有
|Re(λf(ξ))|≤|λ||f(ξ)|.有
E(eRe(λf(ξ))）
=1+∑∞n=1E(Re(λf(ξ)))nn!
≤1+∑∞n=2‖f‖nMnλnn!
=e|λ|•‖f‖M-|λ|‖f‖M
≤eM2|λ|2‖f‖2=eτ2|λ|22.
其中τ=2‖f‖M,从而f(ξ)为服从参数τ=2‖f‖M的次Gauss变量，再由定义2.1知B值随机元ξ是次Gauss的.
注 若‖f‖=2，ξ≤12，则随机变量f(ξ)是次正态的.
证明 ∵E(eRe(λf(ξ)))≤eM2|λ|2‖f‖2=e122λ2(2)2=eλ22，
从而可知随机变量f(ξ)是次正态的.
下面在定理3.1的基础上，我们假设B值随机元ξ是对称情形，从而得到更精确的结论：
定理3.2 设β为Banach空间，记B中的范数为‖•‖，β*是β的共轭空间，ξ是β中B值独立对称随机元，且存在常数M>0，使‖ξ‖≤M，则随机元ξ是次Gauss的.
证明 由ξ是对称的，任意f∈β*，任意λ∈β的数域，有
E(eRe(λf(ξ)))
=∑∞n=0E(Re(λf(ξ)))2n2n!
≤∑∞n=0E(|λ|2n‖f‖2n‖ξ‖2n)2n!
≤∑∞n=0‖f‖2nM2n|λ|2n2n!
≤∑∞n=0(‖f‖Mλ)2nn!2n
≤∑∞n=0|λ|2‖f‖2M22nn!
=e|λ|2‖f‖2M22=eτ2|λ|22.
其中τ=‖f‖M,从而f(ξ)为服从参数τ=‖f‖M的次Gauss变量，再由定义2.1知B值随机元ξ是次Gauss的.
注 若‖f‖=1，ξ≤1，则随机变量f(ξ)是次正态的.
证明 ∵E(eRe(λf(ξ)))≤e|λ|2‖f‖2M22=eλ22，从而可知随机变量f(ξ)是次正态的.
由于Hilbert空间是Banach空间的特殊情形，我们又可以得到下面一些有用结论：
引理3.3 B空间(β，‖•‖)中的‖•‖满足‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2)(x,y∈β)，可以在β上引进一个内积(•，•）使β是Hilbert空间并满足(x,x)12=‖x‖(x∈β).（见文献［2］第一章命题1.6.13）
引理3.4 设H是Hilbert空间，则对于H上的任一有界线性泛函f，存在唯一的z∈H使f(x)=(x,z),x∈H，且‖f‖=‖z‖.（见文献［2］第二章命题2.2.1）
定理3.5 H是Hilbert空间，ξ是H值随机元.若z∈H，(ξ,z)为次高斯随机变量，那么ξ为次高斯随机元.
证明 z∈H，(ξ,z)为次高斯随机变量，由引理3.4知f(ξ)=(ξ,z)，∴f(ξ)为次高斯变量，由概念2.1知，ξ为次高斯随机元.
定理3.6 H是Hilbert空间，ξ是H值随机元.若M>0，使‖ξ‖≤M且Eξ=0，则ξ为次高斯随机元.
证明 因为H是Hilbert空间，ξ是H值随机元，所以显然ξ是B值随机元，又由定理3.1知，结论得证.
定理3.7 H是Hilbert空间，ξ是H值对称随机元.若M>0，使 ‖ξ‖≤M，则ξ为次高斯随机元.
证明 因为H是Hilbert空间，ξ是H值随机元，所以显然ξ是B值随机元，又由定理3.2知，结论得证.
【参考文献】
［1］J-P卡昂纳.函数项随机级数［M］.武汉：武汉大学出版社，1993：57-59.
［2］张恭庆，林源渠.泛函分析讲义［M］.北京：北京大学出版社，1990.
［3］严加安.测度论讲义［M］.北京：科学出版社，2000.
［4］吴智泉，王向忱.巴氏空间上的概率论.长春：吉林大学出版社，1990.
［5］定光桂.巴拿赫空间引论.北京：科学出版社，1984.
［6］余彬，谢清，张艳丽.复次高斯变量［J］.湖北大学学报（自然科学版），2007，29（1）：22-24.
［7］吴尚文.有界随机变量的次高斯性［J］.湖北大学学报（自然科学版），2003，25（1）：287-289.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文