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【摘要】本文以一道古典概型题目的教学为例，再现了学生疑问产生、探究以及最终解决的过程，阐述了在概念教学中引导学生进行探究的重要性，并提出了自己教学的感悟.
【关键词】探究；概念教学
数学探究是高中新课程中引入的一种新的学习方式，基于“授人以鱼不如授人以渔”的出发点，提倡在教学中培养学生自主发现问题，并通过实验、调查、相互交流等形式最后解决问题，从而获得自身的提升.对于这一观点，笔者虽然早有耳闻，但在实践中却感受不深.直到在一次古典概型例题教学的课堂中，基于学生提出的一个问题，进而和学生共同探究，直至最终解决问题后，才深刻体会到新课程这一提法的内涵，体会到探究学习对学生了解数学概念、结论产生过程的重要性，体会到探究学习对学生内化所学知识的意义.
一、问题呈现
人教版教材必修3“§3.2.1古典概型”一节中有两道这样的例题：
例1从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
解所求基本事件共有6个：A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}.
例5某种饮料每箱装6听，如果其中2听不合格，问：质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？
解……把每听饮料标上号码，合格的4听分别记作：1，2，3，4，不合格的2听分别记作：a，b……全部基本事件的总数为30，所以……
二、提出疑问
对于例1，用列举方法求基本事件的个数，学生很好理解.在例5之前，教材还安排了一个抛两颗骰子问题的例3，求解时给两颗骰子进行了编号，并且花了大量的篇幅解释了有无顺序对解题的影响，所以，对例5的编号求解也是水到渠成，学生都能接受.就在笔者准备结束这个例题的讲解时，学生A却站了起来，提出疑问：
“老师，我仿照例1用列举的方法，从6听饮料中抽出2听的基本事件的总数为15，这是为什么呢？”
三、欲擒故纵
笔者马上意识到，这是一个很有价值的问题，也是一个很好的探究机会！
教师：是吗，老师还没发现呢！
首先肯定了A同学的钻研精神！
教师：是不是A同学在列举的时候没有统计正确呢？大家也都来帮忙计算一下.
引导学生开始探究，通过学生的动手实践，增强疑问，激发进一步探究的兴趣.
果然，一会儿过后，同学们开始议论起来，因为统计的结果和A同学一样，都是15个基本事件！
学生B：会不会是教材编写有问题了？
学生C：肯定是教材出错了.这两个例题的解法在基本事件的统计上存在明显的矛盾.
面对质疑教材的声音，教室里面的气氛一下子热烈了，大家都讨论起来……
学生D：我觉得教材应该没有问题.因为我继续计算后发现，最后的结果是一样的，检测出不合格产品的概率也是0.6.
教师：结果一致究竟是巧合，还是有什么规律我们没有发现呢？
教室顿时又都安静下来.笔者请学生C谈他发现的矛盾.
学生C：矛盾在于在例1的解答中，认为抽出来的{a，b}和{b，a}是同一基本事件，也就是无序的；而在例5的解答中，却把抽出来的{1，2}和{2，1}看成是2个基本事件，也就是有序的.我们统计出的15个基本事件就是按照无序来计算的.
教师：观察得非常仔细！
同学们也都点点头，恍然大悟.
教师：那为什么计算出的概率不变呢？是不是有无顺序对求解概率问题没有影响呢？
将讨论引向问题的实质.学生继续讨论、思考……
学生E：当然有影响呀！刚才例3的骰子问题不是还特别强调了两颗骰子的顺序吗？
四、探究释疑
此时，同学们都陷入了沉思.笔者提议学生仔细阅读教材“思考：为什么把两个骰子标上记号？如果不标上记号会出现什么情况？……”后面一段的解释.
学生F：求解概率题目时，是否考虑顺序要视情况而定.像骰子问题中，则必须看成有顺序，否则基本事件的发生就不是等可能的了，这一点课本也解释得非常清楚.而在例5中，有无顺序基本事件的发生都是等可能的.只是基本事件的总数和某事件包含的基本事件的个数同时扩大了一倍或缩小了一半，因而比值不变，也即概率不变.
学生G：那什么情况下要考虑顺序，什么情况下有无顺序都可以呢？
学生F：……
至此，基本探究到了问题的核心所在.学生G的疑问，将这一问题的讨论引向了更一般化.最后师生共同总结，可以得出：
“古典概型中，若抽样是不放回的，是否考虑顺序，基本事件的发生都是等可能的，因此计算出的概率均不变；若抽样是有放回的（骰子问题可理解成有放回），则必须考虑顺序，否则基本事件的发生就不满足等可能的条件了.”
整个问题根源就在于对古典概型下基本事件的发生必须“等可能”的理解.学生之前的理解应是表层的和浅显的，通过系列探究后，才可谓是真正的理解透彻，进而最终得到“古典概型题目求解，是否需要考虑顺序的关键在于抽样是否放回”这一认识也是水到渠成的事情了.
五、教学感悟
1.教师要充分挖掘教材
使用教材是教师教学活动中重要的组成部分，也是教师备课的一个重要环节.而新课程下的教材具有多样性、思想性、问题性、时代性与应用性等特点，传统的“教教材”已很难适应新课程的需要.这就要求教师要深入研究教材，准确理解教学内容，把握教学要求，把握教材的整体框架.备课时，既要立足教材，细致分析一节课的重、难点和关键，把教材完全化成自己的东西，再深入浅出地讲解给学生，还要不拘泥于教材，对教材进行创造性的再加工，及时挖掘教材背后的主题和内涵.概率教学中常发现学生具有较多的错误观念，因为学生过去接触的主要是确定性事件，对不确定事物的认识非常有限，所以教师在概率的概念教学中应特别注意，尽量领会教材编写意图，洞察可能问题所在.像本节课教材在两个例题的安排上给学生理解可能造成的混乱，教师在备课时要有足够的警觉，而这种“警觉”则一定来自教师对教材深入的研究和挖掘.
2.课堂要重视概念教学
苏联数学教育家斯托利亚尔说过：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学.”所以只有当学生自主参与数学活动，探究结果形成过程，在探究中不断经历正确与错误交替出现的体验，形成正反两面的活动经验以提高感悟数学的水平，让学生不断经历从“假无疑”到“真无疑”的过程，这样才能纠正错误观念，形成正确的认识.
对于古典概型问题下基本事件发生的等可能性，教材用定义的形式直接给出，若教师只是简单的用“一定义二要点三注意”的形式讲解，不让学生通过亲身体验，何谓“等可能”、何谓“不等可能”，学生可能也只是停留在一知半解的层面上.因此，教师在教学设计上就必须重视概念教学，在课堂上安排适当的探究活动，引导学生在探究中交流，在交流中充分暴露思维的过程，让学生在失误的过程中建立起正确的知识结构.
3.教师要具有探究意识、探究精神和探究技能
数学探究提倡学生主动获取、应用知识并解决问题.因此，在课堂实践中，有按照教师事先的设计进行的探究，也有教师预设之外的、“突发”的探究（就如前面的案例）.这就要求教师，一是要有敏锐的探究意识，对学生提出的“质疑”“异类”等信息进行准确的捕捉，并以此为契机引导学生进行探究；二是要尊重教学的“开放性”“自主性”，要改变“按照教学计划来完成教学目标”的传统教学观念，改变一味地追求“严谨”“有序”“完整”教学过程，从而把教学过程真正视为一个“动态的”“开放的”系统，这样学生才能真正成为教学活动的主体，探究才得以真正实施.像本节课中，若教师对学生质疑置之不理或是轻描淡写地跳过，可能会完成事先设定的教学任务，但这个课堂只是老师的课堂，而没能真正成为学生的课堂.
也正因为课堂的开放性，探究教学往往需要大量的时间，而教学效果可能是隐性和长期的，再加上现有评价体系的缺陷，所以，探究教学更需要教师具有超前意识和探究精神，相信在探究活动中学生的素质和能力也一定会大大提升，长期的积累也一定会考出优异的成绩.当然，真正的探究课堂也还需要教师进行大量的探究理论和探究技能的学习，让探究真正成为培养学生思维能力、反思意识等的手段，让探究过程成为真正提升学生数学思维的过程.
【关键词】探究；概念教学
数学探究是高中新课程中引入的一种新的学习方式，基于“授人以鱼不如授人以渔”的出发点，提倡在教学中培养学生自主发现问题，并通过实验、调查、相互交流等形式最后解决问题，从而获得自身的提升.对于这一观点，笔者虽然早有耳闻，但在实践中却感受不深.直到在一次古典概型例题教学的课堂中，基于学生提出的一个问题，进而和学生共同探究，直至最终解决问题后，才深刻体会到新课程这一提法的内涵，体会到探究学习对学生了解数学概念、结论产生过程的重要性，体会到探究学习对学生内化所学知识的意义.
一、问题呈现
人教版教材必修3“§3.2.1古典概型”一节中有两道这样的例题：
例1从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
解所求基本事件共有6个：A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}.
例5某种饮料每箱装6听，如果其中2听不合格，问：质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？
解……把每听饮料标上号码，合格的4听分别记作：1，2，3，4，不合格的2听分别记作：a，b……全部基本事件的总数为30，所以……
二、提出疑问
对于例1，用列举方法求基本事件的个数，学生很好理解.在例5之前，教材还安排了一个抛两颗骰子问题的例3，求解时给两颗骰子进行了编号，并且花了大量的篇幅解释了有无顺序对解题的影响，所以，对例5的编号求解也是水到渠成，学生都能接受.就在笔者准备结束这个例题的讲解时，学生A却站了起来，提出疑问：
“老师，我仿照例1用列举的方法，从6听饮料中抽出2听的基本事件的总数为15，这是为什么呢？”
三、欲擒故纵
笔者马上意识到，这是一个很有价值的问题，也是一个很好的探究机会！
教师：是吗，老师还没发现呢！
首先肯定了A同学的钻研精神！
教师：是不是A同学在列举的时候没有统计正确呢？大家也都来帮忙计算一下.
引导学生开始探究，通过学生的动手实践，增强疑问，激发进一步探究的兴趣.
果然，一会儿过后，同学们开始议论起来，因为统计的结果和A同学一样，都是15个基本事件！
学生B：会不会是教材编写有问题了？
学生C：肯定是教材出错了.这两个例题的解法在基本事件的统计上存在明显的矛盾.
面对质疑教材的声音，教室里面的气氛一下子热烈了，大家都讨论起来……
学生D：我觉得教材应该没有问题.因为我继续计算后发现，最后的结果是一样的，检测出不合格产品的概率也是0.6.
教师：结果一致究竟是巧合，还是有什么规律我们没有发现呢？
教室顿时又都安静下来.笔者请学生C谈他发现的矛盾.
学生C：矛盾在于在例1的解答中，认为抽出来的{a，b}和{b，a}是同一基本事件，也就是无序的；而在例5的解答中，却把抽出来的{1，2}和{2，1}看成是2个基本事件，也就是有序的.我们统计出的15个基本事件就是按照无序来计算的.
教师：观察得非常仔细！
同学们也都点点头，恍然大悟.
教师：那为什么计算出的概率不变呢？是不是有无顺序对求解概率问题没有影响呢？
将讨论引向问题的实质.学生继续讨论、思考……
学生E：当然有影响呀！刚才例3的骰子问题不是还特别强调了两颗骰子的顺序吗？
四、探究释疑
此时，同学们都陷入了沉思.笔者提议学生仔细阅读教材“思考：为什么把两个骰子标上记号？如果不标上记号会出现什么情况？……”后面一段的解释.
学生F：求解概率题目时，是否考虑顺序要视情况而定.像骰子问题中，则必须看成有顺序，否则基本事件的发生就不是等可能的了，这一点课本也解释得非常清楚.而在例5中，有无顺序基本事件的发生都是等可能的.只是基本事件的总数和某事件包含的基本事件的个数同时扩大了一倍或缩小了一半，因而比值不变，也即概率不变.
学生G：那什么情况下要考虑顺序，什么情况下有无顺序都可以呢？
学生F：……
至此，基本探究到了问题的核心所在.学生G的疑问，将这一问题的讨论引向了更一般化.最后师生共同总结，可以得出：
“古典概型中，若抽样是不放回的，是否考虑顺序，基本事件的发生都是等可能的，因此计算出的概率均不变；若抽样是有放回的（骰子问题可理解成有放回），则必须考虑顺序，否则基本事件的发生就不满足等可能的条件了.”
整个问题根源就在于对古典概型下基本事件的发生必须“等可能”的理解.学生之前的理解应是表层的和浅显的，通过系列探究后，才可谓是真正的理解透彻，进而最终得到“古典概型题目求解，是否需要考虑顺序的关键在于抽样是否放回”这一认识也是水到渠成的事情了.
五、教学感悟
1.教师要充分挖掘教材
使用教材是教师教学活动中重要的组成部分，也是教师备课的一个重要环节.而新课程下的教材具有多样性、思想性、问题性、时代性与应用性等特点，传统的“教教材”已很难适应新课程的需要.这就要求教师要深入研究教材，准确理解教学内容，把握教学要求，把握教材的整体框架.备课时，既要立足教材，细致分析一节课的重、难点和关键，把教材完全化成自己的东西，再深入浅出地讲解给学生，还要不拘泥于教材，对教材进行创造性的再加工，及时挖掘教材背后的主题和内涵.概率教学中常发现学生具有较多的错误观念，因为学生过去接触的主要是确定性事件，对不确定事物的认识非常有限，所以教师在概率的概念教学中应特别注意，尽量领会教材编写意图，洞察可能问题所在.像本节课教材在两个例题的安排上给学生理解可能造成的混乱，教师在备课时要有足够的警觉，而这种“警觉”则一定来自教师对教材深入的研究和挖掘.
2.课堂要重视概念教学
苏联数学教育家斯托利亚尔说过：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学.”所以只有当学生自主参与数学活动，探究结果形成过程，在探究中不断经历正确与错误交替出现的体验，形成正反两面的活动经验以提高感悟数学的水平，让学生不断经历从“假无疑”到“真无疑”的过程，这样才能纠正错误观念，形成正确的认识.
对于古典概型问题下基本事件发生的等可能性，教材用定义的形式直接给出，若教师只是简单的用“一定义二要点三注意”的形式讲解，不让学生通过亲身体验，何谓“等可能”、何谓“不等可能”，学生可能也只是停留在一知半解的层面上.因此，教师在教学设计上就必须重视概念教学，在课堂上安排适当的探究活动，引导学生在探究中交流，在交流中充分暴露思维的过程，让学生在失误的过程中建立起正确的知识结构.
3.教师要具有探究意识、探究精神和探究技能
数学探究提倡学生主动获取、应用知识并解决问题.因此，在课堂实践中，有按照教师事先的设计进行的探究，也有教师预设之外的、“突发”的探究（就如前面的案例）.这就要求教师，一是要有敏锐的探究意识，对学生提出的“质疑”“异类”等信息进行准确的捕捉，并以此为契机引导学生进行探究；二是要尊重教学的“开放性”“自主性”，要改变“按照教学计划来完成教学目标”的传统教学观念，改变一味地追求“严谨”“有序”“完整”教学过程，从而把教学过程真正视为一个“动态的”“开放的”系统，这样学生才能真正成为教学活动的主体，探究才得以真正实施.像本节课中，若教师对学生质疑置之不理或是轻描淡写地跳过，可能会完成事先设定的教学任务，但这个课堂只是老师的课堂，而没能真正成为学生的课堂.
也正因为课堂的开放性，探究教学往往需要大量的时间，而教学效果可能是隐性和长期的，再加上现有评价体系的缺陷，所以，探究教学更需要教师具有超前意识和探究精神，相信在探究活动中学生的素质和能力也一定会大大提升，长期的积累也一定会考出优异的成绩.当然，真正的探究课堂也还需要教师进行大量的探究理论和探究技能的学习，让探究真正成为培养学生思维能力、反思意识等的手段，让探究过程成为真正提升学生数学思维的过程.