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山东省青岛科技大学数理学院 青岛 266061
【摘要】本文主要讨论关于数学思想方法中较常用的转化法在数学分析理论证明中的具体应用，并借助引例加以论证，进而得出转化的思想方法的实用性。
【关键词】转化法 极限 数学思想方法
Application in the mathematics demonstration of the “method of transforming” used in the mathematics analysis thoughtway
Su Hongyan Wu Haiyan
【Abstract】In this paper, the writers have made a discussion on the material application in the mathematics analysis theory demonstration of the method of transforming, which is used often in the mathematics thoughtway. In addition, they have demonstrated it through some exemplification and then got the practicability of the changed thoughtway.
【Keywords】Method of transforming Limit Mathematics thoughtway
数学分析是高等学校理工科及数学类等专业的一门主干基础课程，是学习后续课程的基石。从专业角度讲，数学分析即是：用精确的数学语言和形式逻辑表达来描述宇宙运动变化过程而形成的一门称作变量数学的学科。通过教授数学分析课程，就能够体会到数学分析蕴涵丰富的数学知识及数学思想和方法。数学分析的思想方法是学习这门课程的灵魂，是论证、运算乃至其应用的统帅，由此探讨数学分析思想方法的应用是很重要的。探讨数学分析课程的思想方法，在数学分析课中加强数学思想方法教育，也是目前高校发展学科建设，进行学科教学改革、提高学生的数学素养的一个重要课题。所以无论从教师，还是学生的角度来说，学好这门课程对理解数学的其他分支的知识有着很重要的帮助，同时更好地培养学生学习数学的兴趣及数学素养。
所谓数学分析思想方法是对数学分析研究对象的统一的本质的认识，数学分析的思想方法多种多样，一方面指数学分析自身的论证、运算以及应用的手段，另一方面还包括数学分析概念、理论、方法产生及发展规律，学习基本的数学分析思想方法是形成和发展数学分析能力的基础。（参见文献1）由于初学数学分析的人往往感觉数学分析证明较难，不易掌握，所以本文主要介绍在数学分析的思想方法与表达方式中，有一类思想方法在论证推广性命题时经常使用即“转化法”的思想，它是数学分析乃至整个数学领域常用的证明方法；借以帮助初学者更好的领会数学分析思想方法。下面针对几种“转化法”的形式加以探讨。
1．直接转化法：是指由已知命题转化为被推广命题的转化法。例如：教材中，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，在证明方法上，是通过辅助函数转化为罗尔定理去证明；由此我们称其方法为直接转化法。还有由于无穷限广义积分的运算性质是定积分相应运算性质的推广，其运用极限运算作为转化手段直接转化而来。
例1：证明：设函数 在 可导，单调减少，且 ，又 收敛，则 收敛。
证明：若 收敛，又已知函数 在 可导，单调减少，且 ，则 有 ，且 。
不妨设 ，由定积分中值定理， 有
= =
=
已知 ，从而当 时，有
又因为 ，从而，有
又由于 =
由此， 收敛。
此题在定积分的基本定理的基础上对无穷限广义积分的推广。其中间借用定积分已知的中值定理而直接转化到无穷限广义积分上得到结论，其方法体现了证明过程的简捷明了。
2．间接转化法：是指转化为被推广命题的某种特殊情形的转化法。（两个）柯西中值定理是（一个函数）拉格朗日中值定理的推广，间接转化为罗尔定理而证——间接转化法，其转化手段均采用构造函数法。
例2：设 在 上连续，在 内可导，且对任何 ，有 ，求证：存在一点 ，使得 。
证明：分析：由结论 ，可得
由此，构造函数
验证：
故 在 满足罗尔 定理，于是 ，使得 ，定理得证。
此题借助结论分析，虽然探讨两个函数的问题，但由构造函数起到间接转化作用，最终转化的函数可以应用罗尔定理证明。
3．倒数转化法：方法上体现在大于1向小于1推广的倒数转化，还有趋向无穷大的命题向趋于零的命题推广的倒数转化等形式。这都是在数学分析证明中常用过的一种转化形式。
例3：设 ，
试证： 。
证明：当 时，
于是，利用积分号下求导法则
于是， 因为 所以 。
若 时，做变换 ，而 ，利用上面的结论，有
这是一道计算含参变量积分的题，在题中处理 时用到了大于1向小于1推广的倒数转化，类似地在证明极限 时也用到这种方法，这种方法在积分学的理论中也经常使用。
4．反向转化法：反向转化法也是数学分析中常见的证明方法。例如在证明奇函数的一切原函数皆为偶函数；非空下有界的数集必有下确界等，均采用反向转化法。例如：
例4：设 为 上连续的偶函数，求证 的原函数中恰有一个奇函数。
证明：由微积分基本定理可知， ， 为 在 上的一个原函数，因而 在 上的每一个原函数均可表示为
其中C为常数，而
由此，当 时， 为奇函数；
当 时， 不为奇函数，故
的原函数中恰有一个为奇函数，即
通过以上探讨的几种转化方法的应用，重在说明“转化”的数学分析思想方法在数学分析的理论证明中发挥了很重要的作用，使得其方法在习题证明中充分体现了简捷性，从而帮助初学者掌握其方法，对理解数学分析的证明方法也有更好的促进作用。
参考文献
1 马保国著.数学思想方法与数学分析教学.中国大学教学[J].2006.5:28～29,39
2 刘广云著.数学分析选讲[M].黑龙江教育出版社
3 欧阳光中等著.数学分析[M].高等教育出版社（第三版）. 2006.4
【摘要】本文主要讨论关于数学思想方法中较常用的转化法在数学分析理论证明中的具体应用，并借助引例加以论证，进而得出转化的思想方法的实用性。
【关键词】转化法 极限 数学思想方法
Application in the mathematics demonstration of the “method of transforming” used in the mathematics analysis thoughtway
Su Hongyan Wu Haiyan
【Abstract】In this paper, the writers have made a discussion on the material application in the mathematics analysis theory demonstration of the method of transforming, which is used often in the mathematics thoughtway. In addition, they have demonstrated it through some exemplification and then got the practicability of the changed thoughtway.
【Keywords】Method of transforming Limit Mathematics thoughtway
数学分析是高等学校理工科及数学类等专业的一门主干基础课程，是学习后续课程的基石。从专业角度讲，数学分析即是：用精确的数学语言和形式逻辑表达来描述宇宙运动变化过程而形成的一门称作变量数学的学科。通过教授数学分析课程，就能够体会到数学分析蕴涵丰富的数学知识及数学思想和方法。数学分析的思想方法是学习这门课程的灵魂，是论证、运算乃至其应用的统帅，由此探讨数学分析思想方法的应用是很重要的。探讨数学分析课程的思想方法，在数学分析课中加强数学思想方法教育，也是目前高校发展学科建设，进行学科教学改革、提高学生的数学素养的一个重要课题。所以无论从教师，还是学生的角度来说，学好这门课程对理解数学的其他分支的知识有着很重要的帮助，同时更好地培养学生学习数学的兴趣及数学素养。
所谓数学分析思想方法是对数学分析研究对象的统一的本质的认识，数学分析的思想方法多种多样，一方面指数学分析自身的论证、运算以及应用的手段，另一方面还包括数学分析概念、理论、方法产生及发展规律，学习基本的数学分析思想方法是形成和发展数学分析能力的基础。（参见文献1）由于初学数学分析的人往往感觉数学分析证明较难，不易掌握，所以本文主要介绍在数学分析的思想方法与表达方式中，有一类思想方法在论证推广性命题时经常使用即“转化法”的思想，它是数学分析乃至整个数学领域常用的证明方法；借以帮助初学者更好的领会数学分析思想方法。下面针对几种“转化法”的形式加以探讨。
1．直接转化法：是指由已知命题转化为被推广命题的转化法。例如：教材中，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，在证明方法上，是通过辅助函数转化为罗尔定理去证明；由此我们称其方法为直接转化法。还有由于无穷限广义积分的运算性质是定积分相应运算性质的推广，其运用极限运算作为转化手段直接转化而来。
例1：证明：设函数 在 可导，单调减少，且 ，又 收敛，则 收敛。
证明：若 收敛，又已知函数 在 可导，单调减少，且 ，则 有 ，且 。
不妨设 ，由定积分中值定理， 有
= =
=
已知 ，从而当 时，有
又因为 ，从而，有
又由于 =
由此， 收敛。
此题在定积分的基本定理的基础上对无穷限广义积分的推广。其中间借用定积分已知的中值定理而直接转化到无穷限广义积分上得到结论，其方法体现了证明过程的简捷明了。
2．间接转化法：是指转化为被推广命题的某种特殊情形的转化法。（两个）柯西中值定理是（一个函数）拉格朗日中值定理的推广，间接转化为罗尔定理而证——间接转化法，其转化手段均采用构造函数法。
例2：设 在 上连续，在 内可导，且对任何 ，有 ，求证：存在一点 ，使得 。
证明：分析：由结论 ，可得
由此，构造函数
验证：
故 在 满足罗尔 定理，于是 ，使得 ，定理得证。
此题借助结论分析，虽然探讨两个函数的问题，但由构造函数起到间接转化作用，最终转化的函数可以应用罗尔定理证明。
3．倒数转化法：方法上体现在大于1向小于1推广的倒数转化，还有趋向无穷大的命题向趋于零的命题推广的倒数转化等形式。这都是在数学分析证明中常用过的一种转化形式。
例3：设 ，
试证： 。
证明：当 时，
于是，利用积分号下求导法则
于是， 因为 所以 。
若 时，做变换 ，而 ，利用上面的结论，有
这是一道计算含参变量积分的题，在题中处理 时用到了大于1向小于1推广的倒数转化，类似地在证明极限 时也用到这种方法，这种方法在积分学的理论中也经常使用。
4．反向转化法：反向转化法也是数学分析中常见的证明方法。例如在证明奇函数的一切原函数皆为偶函数；非空下有界的数集必有下确界等，均采用反向转化法。例如：
例4：设 为 上连续的偶函数，求证 的原函数中恰有一个奇函数。
证明：由微积分基本定理可知， ， 为 在 上的一个原函数，因而 在 上的每一个原函数均可表示为
其中C为常数，而
由此，当 时， 为奇函数；
当 时， 不为奇函数，故
的原函数中恰有一个为奇函数，即
通过以上探讨的几种转化方法的应用，重在说明“转化”的数学分析思想方法在数学分析的理论证明中发挥了很重要的作用，使得其方法在习题证明中充分体现了简捷性，从而帮助初学者掌握其方法，对理解数学分析的证明方法也有更好的促进作用。
参考文献
1 马保国著.数学思想方法与数学分析教学.中国大学教学[J].2006.5:28～29,39
2 刘广云著.数学分析选讲[M].黑龙江教育出版社
3 欧阳光中等著.数学分析[M].高等教育出版社（第三版）. 2006.4