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分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想，掌握分类的思想，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的，即不重复、也不遗漏.下面以中考试题为例，说明哪些题目要用到分类讨论.
例1（四川绵阳市）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨、桃子12吨.现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨.
（1） 王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案使运输费最少？最少运输费是多少？
解析：利用不等式设计方案解决实际问题，利用数量间的关系，根据未知数的特殊值来设计所有可能性，从而选择最优方案.
（1） 设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8 -x）辆，依题意，得4x+2（8-x）≥20x+2（8-x）≥12.
解此不等式组，得x≥2x≤4，即2≤x≤4.
∵x是正整数，∴x可取的值是2，3，4.
因此安排甲、乙两种货车有三种方案如下表：
（2） 方案一所需运费：300×2+240×6=2040元；
方案二所需运费：300×3+240×5=2100元；
方案三所需运费：300×4+240×4=2160元.
所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元.
例2（宜昌市）某商场设计了两种促销方案；第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球（球上分别标有数字1，2，…100）的箱子中随机摸出一个球（摸后放回），若球上的数字是88，则返购物券500元；若球上的数字是11或77，则返购物券300元；若球上的数字能被5整除，则返购物券5元；若是其他数字，则不返购物券.第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元.估计促销期间将有5000人次参加活动，请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些？
解析：运用列举法计算发生的概率，通过实验计算来解决问题.
获得500元购物券的概率是0.01；
获得300元购物券的概率是0.02；
获得5元购物券的概率是0.2.
摸球一次获得的购物券平均金额为：
（0.01×500+0.02×300+5×0.2）=12元.
如果有5000人参加摸奖，商场付出的购物券的金额为：
5000×（0.01×500+0.02×300+0.2×5）=60000元.
若直接得到购物券，需付金额：
5000×15=75000元.
所以商场采用摸球这种促销方式合算.
例3（临沂）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1所示，根据勾股定理，则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形，如图2和图3所示，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.
解析：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2，若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2 当△ABC是锐角三角形时，如图4（见第15版）所示，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x.
根据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2，
（上接第16版）
b2-x2=c2-a2+2ax-x2. ∴a2+b2=c2+2ax，
∵a>0，x>0，∴2ax>0.∴a2+b2>c2；
当△ABC是钝角三角形时，如图5所示，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
设CD为x，则BD=a+x，AD2=b2-x2.
根据勾股定理，得（a+x）2+b2-x2=c2.
即a2+2ax+x2+b2-x2=c2.∴a2+b2+2ax=c2.
∵a>0，x>0，∴2ax>0. ∴a2+b2 说明：分类讨论的数学思想不仅只应用于以上几个例子当中，在初中数学的各个领域都渗透了这一数学思想.这一数学思想在常用的数学思想中处于优先地位，它真正使人们认识到“数学使人精细”的道理.
例1（四川绵阳市）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨、桃子12吨.现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨.
（1） 王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案使运输费最少？最少运输费是多少？
解析：利用不等式设计方案解决实际问题，利用数量间的关系，根据未知数的特殊值来设计所有可能性，从而选择最优方案.
（1） 设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8 -x）辆，依题意，得4x+2（8-x）≥20x+2（8-x）≥12.
解此不等式组，得x≥2x≤4，即2≤x≤4.
∵x是正整数，∴x可取的值是2，3，4.
因此安排甲、乙两种货车有三种方案如下表：
（2） 方案一所需运费：300×2+240×6=2040元；
方案二所需运费：300×3+240×5=2100元；
方案三所需运费：300×4+240×4=2160元.
所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元.
例2（宜昌市）某商场设计了两种促销方案；第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球（球上分别标有数字1，2，…100）的箱子中随机摸出一个球（摸后放回），若球上的数字是88，则返购物券500元；若球上的数字是11或77，则返购物券300元；若球上的数字能被5整除，则返购物券5元；若是其他数字，则不返购物券.第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元.估计促销期间将有5000人次参加活动，请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些？
解析：运用列举法计算发生的概率，通过实验计算来解决问题.
获得500元购物券的概率是0.01；
获得300元购物券的概率是0.02；
获得5元购物券的概率是0.2.
摸球一次获得的购物券平均金额为：
（0.01×500+0.02×300+5×0.2）=12元.
如果有5000人参加摸奖，商场付出的购物券的金额为：
5000×（0.01×500+0.02×300+0.2×5）=60000元.
若直接得到购物券，需付金额：
5000×15=75000元.
所以商场采用摸球这种促销方式合算.
例3（临沂）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1所示，根据勾股定理，则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形，如图2和图3所示，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.
解析：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2，若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2
根据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2，
（上接第16版）
b2-x2=c2-a2+2ax-x2. ∴a2+b2=c2+2ax，
∵a>0，x>0，∴2ax>0.∴a2+b2>c2；
当△ABC是钝角三角形时，如图5所示，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
设CD为x，则BD=a+x，AD2=b2-x2.
根据勾股定理，得（a+x）2+b2-x2=c2.
即a2+2ax+x2+b2-x2=c2.∴a2+b2+2ax=c2.
∵a>0，x>0，∴2ax>0. ∴a2+b2