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【摘要】本文论述了在小学数学几何概念教学中，通过分类、抽象、转化、目标项定位、干扰项排查等一系列链式反应，把“本质”从外延表象中萃取出来，帮助学生准确地把握图形特征，全面深入地探析立体图形概念的教学方法。
【关键词】分类与抽象 立体与平面 目标与干扰 圆柱 圆锥
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）05A-0078-02
在小学数学教学中，引导学生认识圆柱与圆锥，并且学习相关元素的测量，可以为今后研究圆锥曲线打下坚实的基础。本文以人教版数学六年级下册《圆柱和圆锥的认识》一课为例，从引入、转化与理解三个方面探析立体图形概念教学，通过对不同教学方式的比较，探寻学生对几何体概念掌握与理解的认知形态。
一、用分类与抽象引入概念
引入圆柱与圆锥的方式主要有两种：一种是分类图形引入，另一种是抽象实物引入。
图形归类法。教师展示许多不同的直柱体与正锥体图片，按一定的标准让学生分类，在分类过程中将圆柱与圆锥与其他柱体与锥体区别开来，并由此总结出圆柱与圆锥的主要特征。分类对问题研究和图形认识都很重要。通过逐级分类，学生先学会分辨柱体与锥体，然后在柱体范畴里再区分圆柱与棱柱。只知道图形名称还没有达到认识图形的目的，对个别典型、常见立体图形的教学只是抛砖引玉，因此，学生只有对正确的图形分类标准和方法做到了然于胸，才能牢固掌握柱体与锥体的系统理论。制订合理的标准是分类的根本意义所在，唯有图形的基本属性方能构成分类依据。分类时要同时比对图形的相同点与不同点，因为二者都能促进思维的抽象化，因此，分类不但能帮学生提炼出图形的主要特征，而且能培养学生的抽象思维能力。
但是，对于抽象提炼的模式与方向，学界并没有明确的规范，把实物图抽象成几何图，到底哪些要素要变，哪些要素不变，不同版本的教材有不同的诠释。在新版教材中，实物图与几何图的比例基本保持1∶1，而旧版教材则不是这样。（如下图）
抽象是分层储存在意识中的，如果能从体积差异很大的不同原型中抽象出同一个物象，那么这种抽象属于高级形态，这时抽象的思维依据是本质属性。
二、在立体与平面间交互转化
交互转化是认识立体图形经常用到的数学思想。“观察”“操作”“展开”等关键词在新课标关于《圆柱和圆锥的认识》一节中出现频率较高。从教材的编排设计来看，包括观察、比较、旋转、制作、截取。
觀察。观察是认识图形的基本方法。
在观察图形的过程中，学生积累了很多经验，比如研究平面图形主要观察边、角等要素，研究长方体主要观察棱、面等要素。只有设计直观丰富的活动，才能将这些宝贵的经验迁移到认识圆柱的活动中来。
比较。圆柱与圆锥息息相关，圆锥体的体积是与它等底等高的圆柱体体积的[13]。通过比较它们的体积大小，学生很容易总结出圆锥体的体积计算公式。这种比较的现实意义是在学生不用接触微积分的前提下，就能掌握圆锥体这种不规则图形的体积计算公式。
旋转。立体图形由旋转平面图形得到，这是旋转体的典型特征，二维到三维的微妙关系在这种特征中充分得到体现，同时也为学生了解立体图形开创了新模式。旋转平面的学习模式被许多教材采纳，人教版明确要求学生观察想象的同时，进一步探讨平面图形的边长与几何体底面半径的关系。
制作。与旋转相反，制作是通过肢解立体图形的方式，将其分化为若干个平面图形后进行研究的，常见的方式有展开与折叠。人教版教材里，在学生掌握了圆柱的主要特征后，通过展开、折叠圆柱体的制作活动，研究几何体各要素与展开后平面图各要素之间的数量关系，为几何体表面积计算打下基础。（如下图）
截取。平面横截法也是研究几何体性质的常用途径。
对于圆柱，要想切面呈圆形，横截面须平行于底面，若想切面呈椭圆，横截须相交于底面所在平面；对于圆锥，若想切面是一个圆，横截面须平行于底面，若想切面交线是双曲线，截面须与底面垂直，若想切面是椭圆，截面须与母线平行且不过圆锥顶点。
三、在目标与干扰间理解
为检验学生对圆柱特征的掌握程度，笔者对六年级100名学生进行了测试。
测试题目是：上面6个图形，哪些是圆柱体，哪些不是？总结一下圆柱的特点，并用文字描述。主要从两方面进行考查：一是学生对圆柱体的特征把握是否全面到位？二是干扰项是否增强学生对这些特征的辨识度？
组成圆柱的要素主要包括底面、侧面、高等，以及它们的形状、大小、位置关系。测试主要从各要素的特征引起注意的主次强弱来考查，具体方法是对描述各特征的人数进行统计。描述项主要有：（1）底面是全等的圆；（2）侧面是长方形围成的曲面；（3）有无数条相等的高；（4）既可以看成是长方形的旋转体，又可以看成是圆的平移轨迹。
可见，引起注意最强烈的是底面特征，引起注意最弱的是动态形成。目标项与干扰项对于概念学习能够发挥不同的作用，目标项用于特征定位，干扰项用于稳固意志。调查时先让学生用文字正面描述圆柱特征，然后让学生从反面排除非圆柱特征，以此来补充完善圆柱概念内涵。
总之，立体图形概念教学要将其本质从外延表象中萃取出来，帮助学生准确地把握图形的特征，掌握其内涵，让学生从观察到认识，从理解到掌握，不断提高立体图形概念教学的效率。
（责编 林 剑）
【关键词】分类与抽象 立体与平面 目标与干扰 圆柱 圆锥
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）05A-0078-02
在小学数学教学中，引导学生认识圆柱与圆锥，并且学习相关元素的测量，可以为今后研究圆锥曲线打下坚实的基础。本文以人教版数学六年级下册《圆柱和圆锥的认识》一课为例，从引入、转化与理解三个方面探析立体图形概念教学，通过对不同教学方式的比较，探寻学生对几何体概念掌握与理解的认知形态。
一、用分类与抽象引入概念
引入圆柱与圆锥的方式主要有两种：一种是分类图形引入，另一种是抽象实物引入。
图形归类法。教师展示许多不同的直柱体与正锥体图片，按一定的标准让学生分类，在分类过程中将圆柱与圆锥与其他柱体与锥体区别开来，并由此总结出圆柱与圆锥的主要特征。分类对问题研究和图形认识都很重要。通过逐级分类，学生先学会分辨柱体与锥体，然后在柱体范畴里再区分圆柱与棱柱。只知道图形名称还没有达到认识图形的目的，对个别典型、常见立体图形的教学只是抛砖引玉，因此，学生只有对正确的图形分类标准和方法做到了然于胸，才能牢固掌握柱体与锥体的系统理论。制订合理的标准是分类的根本意义所在，唯有图形的基本属性方能构成分类依据。分类时要同时比对图形的相同点与不同点，因为二者都能促进思维的抽象化，因此，分类不但能帮学生提炼出图形的主要特征，而且能培养学生的抽象思维能力。
但是，对于抽象提炼的模式与方向，学界并没有明确的规范，把实物图抽象成几何图，到底哪些要素要变，哪些要素不变，不同版本的教材有不同的诠释。在新版教材中，实物图与几何图的比例基本保持1∶1，而旧版教材则不是这样。（如下图）
抽象是分层储存在意识中的，如果能从体积差异很大的不同原型中抽象出同一个物象，那么这种抽象属于高级形态，这时抽象的思维依据是本质属性。
二、在立体与平面间交互转化
交互转化是认识立体图形经常用到的数学思想。“观察”“操作”“展开”等关键词在新课标关于《圆柱和圆锥的认识》一节中出现频率较高。从教材的编排设计来看，包括观察、比较、旋转、制作、截取。
觀察。观察是认识图形的基本方法。
在观察图形的过程中，学生积累了很多经验，比如研究平面图形主要观察边、角等要素，研究长方体主要观察棱、面等要素。只有设计直观丰富的活动，才能将这些宝贵的经验迁移到认识圆柱的活动中来。
比较。圆柱与圆锥息息相关，圆锥体的体积是与它等底等高的圆柱体体积的[13]。通过比较它们的体积大小，学生很容易总结出圆锥体的体积计算公式。这种比较的现实意义是在学生不用接触微积分的前提下，就能掌握圆锥体这种不规则图形的体积计算公式。
旋转。立体图形由旋转平面图形得到，这是旋转体的典型特征，二维到三维的微妙关系在这种特征中充分得到体现，同时也为学生了解立体图形开创了新模式。旋转平面的学习模式被许多教材采纳，人教版明确要求学生观察想象的同时，进一步探讨平面图形的边长与几何体底面半径的关系。
制作。与旋转相反，制作是通过肢解立体图形的方式，将其分化为若干个平面图形后进行研究的，常见的方式有展开与折叠。人教版教材里，在学生掌握了圆柱的主要特征后，通过展开、折叠圆柱体的制作活动，研究几何体各要素与展开后平面图各要素之间的数量关系，为几何体表面积计算打下基础。（如下图）
截取。平面横截法也是研究几何体性质的常用途径。
对于圆柱，要想切面呈圆形，横截面须平行于底面，若想切面呈椭圆，横截须相交于底面所在平面；对于圆锥，若想切面是一个圆，横截面须平行于底面，若想切面交线是双曲线，截面须与底面垂直，若想切面是椭圆，截面须与母线平行且不过圆锥顶点。
三、在目标与干扰间理解
为检验学生对圆柱特征的掌握程度，笔者对六年级100名学生进行了测试。
测试题目是：上面6个图形，哪些是圆柱体，哪些不是？总结一下圆柱的特点，并用文字描述。主要从两方面进行考查：一是学生对圆柱体的特征把握是否全面到位？二是干扰项是否增强学生对这些特征的辨识度？
组成圆柱的要素主要包括底面、侧面、高等，以及它们的形状、大小、位置关系。测试主要从各要素的特征引起注意的主次强弱来考查，具体方法是对描述各特征的人数进行统计。描述项主要有：（1）底面是全等的圆；（2）侧面是长方形围成的曲面；（3）有无数条相等的高；（4）既可以看成是长方形的旋转体，又可以看成是圆的平移轨迹。
可见，引起注意最强烈的是底面特征，引起注意最弱的是动态形成。目标项与干扰项对于概念学习能够发挥不同的作用，目标项用于特征定位，干扰项用于稳固意志。调查时先让学生用文字正面描述圆柱特征，然后让学生从反面排除非圆柱特征，以此来补充完善圆柱概念内涵。
总之，立体图形概念教学要将其本质从外延表象中萃取出来，帮助学生准确地把握图形的特征，掌握其内涵，让学生从观察到认识，从理解到掌握，不断提高立体图形概念教学的效率。
（责编 林 剑）