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数学思想是对数学知识的本质认识,是对数学规律的理性认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点,它在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想。常见的数学思想包括化归思想、分类思想、分类思想、模型思想、极限思想、统计思想、最优化思想等。数学方法是从数学角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。数学思想和数学方法是紧密联系的,一般来说,强调指导思想时称数学思想,强调操作过程时称数学方法。一般情况下数学思想与数学方法不加以区分,统称为数学思想方法。在中学数学中常用的有数学归纳法、反向归纳法、不完全归纳法、类比法、分析法、综合法、递推法、待定系数法、数形结合法、补集法等数学方法。笔者现就常用的数学思想、方法作一简单介绍。
1 分析法
分析法是一种执果索因的证明方法,其证明的程序是:先假设所要求证明命题的结论是正确的,由此逐步推出能保证结论成立的必要的判断。当这些判断恰为已证的命题(定义、定理、公理、法则、公式等)或待证命题的已知条件时,命题得证。分析法也可用于解答应用题,在解题时,如果解题所需要的两个条件,(或其中的一个条件)是未知的,就要分别求解找出这两个(或一个)条件,一直到所需要的条件都是已知的为止。分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。
2 综合法
综合法是从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法。它从题设中的已知条件或已证的真实命题出发,经过一系列的中间推理,最终导出待证命题的结论的正确性。它与分析法是相反的思维过程,两者互相依赖、相互渗透,分析是综合的基础,综合是分析的深化。综合的过程,是思维运动由部分到整体、由简单到复杂的过程。在科学认识中,人们把零散的、个别的认识,经过综合提高到理性的整体认识,整体一旦形成,人的認识就告一段落。正是综合的思维方法,使认识产生质的飞跃,使人们能够取得研究上的新突破。由于综合向人们提供的不是关于对象的全部情况的个别规定、个别因素,而是关于对象的全部情况和发生、发展的整个过程,因此可以认为综合也是一种创造。
3 数学归纳法
数学归纳法是一种数学证明方法,是证明一个表达式在所有自然数范围内成立,或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的,最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo(1575年)。这种方法是由下面两步组成:1)递推的基础,证明当n= 1时表达式成立;2)递推的依据,证明如果当n=k时成立,那么当n=k 1时同样成立,即证对所有的自然数成立。这个方法的原理是第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中,从而得到结论。
4 反向归纳法
反向归纳法是一种数学证明方法,是证明当n属于所有自然数时表达式成立,这种方法是由下面两步组成:1)证明对无数多个自然数命题成立;2)如果当n=k 1时命题成立,推出当n=k时命题成立。即证对所有的自然数成立。
5 类比法
类比法也叫“比较类推法”,是指由一类事物所具有的某种属性,可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。类比推理的基本原理可以用下列模式来表示:A对象具有属性a、b、c,另有属性d;B对象具有属性a、b、c,所以,B对象具有属性d。类比法的特点是“先比后推”。“比”是类比的基础,“比”既要共同点也要“比”不同点。对象之间的共同点是类比法是否能够施行的前提条件,没有共同点的对象之间是无法比的。
6 二分法
二分法就是将被分概念一贯的分成两个矛盾概念,一直到不能再分为止。例如四边形先分为简单四边形与非简单四边形,简单四边形分为凸四边形与非凸四边形,凸四边形又可以分为平行四边形与非平行四边形。
7 数形结合的思想方法
数形结合是数学解题中常用的思想方法,它的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够使抽象的问题变得形象,更容易把握数学问题的本质,使得很多问题解法简单,迎刃而解。现在中学数学中经常根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题,这就是数形结合的思想方法。现在经常用到的数形结合有4种:1)实数与数轴上的点的对应关系;2)函数与图象的对应关系;3)曲线与方程的对应关系;4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念。
当然,在日常的教学中,除了上述方法外,还会用到第二数学归纳法,用字母代替数的思想方法,集合的思想方法,函数、映射、对应的思想方法,最优化的思想方法,分类的思想方法等思想方法。在平常的整个教学活动中要展现数学思想方法,充分贯彻数学思想方法的教学。■
(作者单位:山东省潍坊科技学院)
1 分析法
分析法是一种执果索因的证明方法,其证明的程序是:先假设所要求证明命题的结论是正确的,由此逐步推出能保证结论成立的必要的判断。当这些判断恰为已证的命题(定义、定理、公理、法则、公式等)或待证命题的已知条件时,命题得证。分析法也可用于解答应用题,在解题时,如果解题所需要的两个条件,(或其中的一个条件)是未知的,就要分别求解找出这两个(或一个)条件,一直到所需要的条件都是已知的为止。分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。
2 综合法
综合法是从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法。它从题设中的已知条件或已证的真实命题出发,经过一系列的中间推理,最终导出待证命题的结论的正确性。它与分析法是相反的思维过程,两者互相依赖、相互渗透,分析是综合的基础,综合是分析的深化。综合的过程,是思维运动由部分到整体、由简单到复杂的过程。在科学认识中,人们把零散的、个别的认识,经过综合提高到理性的整体认识,整体一旦形成,人的認识就告一段落。正是综合的思维方法,使认识产生质的飞跃,使人们能够取得研究上的新突破。由于综合向人们提供的不是关于对象的全部情况的个别规定、个别因素,而是关于对象的全部情况和发生、发展的整个过程,因此可以认为综合也是一种创造。
3 数学归纳法
数学归纳法是一种数学证明方法,是证明一个表达式在所有自然数范围内成立,或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的,最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo(1575年)。这种方法是由下面两步组成:1)递推的基础,证明当n= 1时表达式成立;2)递推的依据,证明如果当n=k时成立,那么当n=k 1时同样成立,即证对所有的自然数成立。这个方法的原理是第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中,从而得到结论。
4 反向归纳法
反向归纳法是一种数学证明方法,是证明当n属于所有自然数时表达式成立,这种方法是由下面两步组成:1)证明对无数多个自然数命题成立;2)如果当n=k 1时命题成立,推出当n=k时命题成立。即证对所有的自然数成立。
5 类比法
类比法也叫“比较类推法”,是指由一类事物所具有的某种属性,可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。类比推理的基本原理可以用下列模式来表示:A对象具有属性a、b、c,另有属性d;B对象具有属性a、b、c,所以,B对象具有属性d。类比法的特点是“先比后推”。“比”是类比的基础,“比”既要共同点也要“比”不同点。对象之间的共同点是类比法是否能够施行的前提条件,没有共同点的对象之间是无法比的。
6 二分法
二分法就是将被分概念一贯的分成两个矛盾概念,一直到不能再分为止。例如四边形先分为简单四边形与非简单四边形,简单四边形分为凸四边形与非凸四边形,凸四边形又可以分为平行四边形与非平行四边形。
7 数形结合的思想方法
数形结合是数学解题中常用的思想方法,它的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够使抽象的问题变得形象,更容易把握数学问题的本质,使得很多问题解法简单,迎刃而解。现在中学数学中经常根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题,这就是数形结合的思想方法。现在经常用到的数形结合有4种:1)实数与数轴上的点的对应关系;2)函数与图象的对应关系;3)曲线与方程的对应关系;4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念。
当然,在日常的教学中,除了上述方法外,还会用到第二数学归纳法,用字母代替数的思想方法,集合的思想方法,函数、映射、对应的思想方法,最优化的思想方法,分类的思想方法等思想方法。在平常的整个教学活动中要展现数学思想方法,充分贯彻数学思想方法的教学。■
(作者单位:山东省潍坊科技学院)