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摘要：求异面直线所成的角，是高考常考的一个知识点。本文通过对"异面直线所成角"求解的探讨，对"异面直线所成角"求解的两种通法的基本思路、关键点进行分析，以达到灵活运用它们。
关键词：异面直线所成的角，传统几何法， 直角坐标向量法
【中图分类号】G633.6一、 两种求"异面直线所成角"的通法。1.传统几何法
依据：两异面直线所成角的定义
步骤： 作角--证明--求角
关键点：异面直线所成角的顶点的选取。
取点技巧：在图形中选定两个平面，使这两个平面各自含有一条异面直线，则两异面直线所成角的顶点可在两平面交线上选取。2.直角坐标向量法
依据：异面直线所成的角与这两条异面直线方向向量所成的角相等或互补。
步骤：
1.建立空间直角坐标系
2.求相关点的坐标，并求出两异面直线的方向向量。
3.两异面直线所成角θ满足：二、 举例说明 例1.如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于B1、C1．将ΔAB1C1沿B1C1折起到ΔA1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M．求：
（1）二面角A1-B1C1-M的大小；
（2）异面直线A1B1与CC1所成角的大小（用反三角函数表示）．
解（1）（略）
（2）解法一
分析：取平面A1B1C1与平面BCC1B1，它们的交线为B1C1，故可在B1C1和选取一恰当的点作为两异面直线所成角的顶点。
详解：过B1作C1C的平行线交BC于P，则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角．由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP，PM=BM-BP=A1B1=AB1=2．∵A1M⊥面BB1C1C于M.∴A1M⊥BC，∠A1MP=90°．在Rt△A1GM中，A1M=A1G·在Rt△A1MP中，在△A1B1P中，由余弦定理得，∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos
方法二.
分析:建立空间直角坐标系，利用向量求解.
详解：如图，以M为坐标原点O，ＭＡ１为Ｚ轴，BC所在直线ｘ轴，AM所在直线为y轴建立空间直角坐标系.并设异面直线A1B1与CC1所成角为θ. ∵G为等边△ABC的中心，B1C1//BC.∴∴∴∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos
剖析：技巧性大，灵活性强是使用传统几何法求异面直线所成的角的特征，体现在如何在空间中选取恰当的点作为两异面直线所成角的顶点，很多学生对此都无所适从，所以點的选取是解决此类问题的关键，也是难点之一。依据定义，作出异面直线所成的角，主要是通过平移两异面直线来实现，所以应在图形中选取各包含一条异面直线的两个相交平面，则我们就在两平面的交线上选取所需要的点。如例题中，A1B1、CC1分别是平面A1B1C1各平面BCC1B1内的直线，平面A1B1C1∩平面BCC1B1= B1C1，因此，选取点B1 ，并过B1作CC1的平行线，则∠A1B1P为异面直线A1B1与CC1所成的角（或补角）。
相对于传统几何法，空间直角坐标向量法避开了作出两异面直线所成的角，从而降低了解决问题的思维性。当然，这取决能否建立适当的空间直角坐标系并可求出相关点的坐标。例题中的直线A1M垂直于平面ABC，直线AM垂直于直线BC，这两个条为我们提供了建立空间直角坐标系的条件。
传统几何法与向量法相辅相成，各有所长，在应用时要依据题设来灵活选用。
习题：
如图，棱长为a的正四面体A-BCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连接AF，CE，求异面直线AF和CE所成角的余弦值。（答案：cosα=）
参考文献[1]罗增儒.《中学数学解题方法与技巧》[2]吴雷霆，聂文喜，异面直线所成角的向量求法《数学通讯》2003年第08期[3]楼海文，异面直线所成角的向量求法《中学生数学》2004年11期
关键词：异面直线所成的角，传统几何法， 直角坐标向量法
【中图分类号】G633.6一、 两种求"异面直线所成角"的通法。1.传统几何法
依据：两异面直线所成角的定义
步骤： 作角--证明--求角
关键点：异面直线所成角的顶点的选取。
取点技巧：在图形中选定两个平面，使这两个平面各自含有一条异面直线，则两异面直线所成角的顶点可在两平面交线上选取。2.直角坐标向量法
依据：异面直线所成的角与这两条异面直线方向向量所成的角相等或互补。
步骤：
1.建立空间直角坐标系
2.求相关点的坐标，并求出两异面直线的方向向量。
3.两异面直线所成角θ满足：二、 举例说明 例1.如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于B1、C1．将ΔAB1C1沿B1C1折起到ΔA1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M．求：
（1）二面角A1-B1C1-M的大小；
（2）异面直线A1B1与CC1所成角的大小（用反三角函数表示）．
解（1）（略）
（2）解法一
分析：取平面A1B1C1与平面BCC1B1，它们的交线为B1C1，故可在B1C1和选取一恰当的点作为两异面直线所成角的顶点。
详解：过B1作C1C的平行线交BC于P，则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角．由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP，PM=BM-BP=A1B1=AB1=2．∵A1M⊥面BB1C1C于M.∴A1M⊥BC，∠A1MP=90°．在Rt△A1GM中，A1M=A1G·在Rt△A1MP中，在△A1B1P中，由余弦定理得，∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos
方法二.
分析:建立空间直角坐标系，利用向量求解.
详解：如图，以M为坐标原点O，ＭＡ１为Ｚ轴，BC所在直线ｘ轴，AM所在直线为y轴建立空间直角坐标系.并设异面直线A1B1与CC1所成角为θ. ∵G为等边△ABC的中心，B1C1//BC.∴∴∴∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos
剖析：技巧性大，灵活性强是使用传统几何法求异面直线所成的角的特征，体现在如何在空间中选取恰当的点作为两异面直线所成角的顶点，很多学生对此都无所适从，所以點的选取是解决此类问题的关键，也是难点之一。依据定义，作出异面直线所成的角，主要是通过平移两异面直线来实现，所以应在图形中选取各包含一条异面直线的两个相交平面，则我们就在两平面的交线上选取所需要的点。如例题中，A1B1、CC1分别是平面A1B1C1各平面BCC1B1内的直线，平面A1B1C1∩平面BCC1B1= B1C1，因此，选取点B1 ，并过B1作CC1的平行线，则∠A1B1P为异面直线A1B1与CC1所成的角（或补角）。
相对于传统几何法，空间直角坐标向量法避开了作出两异面直线所成的角，从而降低了解决问题的思维性。当然，这取决能否建立适当的空间直角坐标系并可求出相关点的坐标。例题中的直线A1M垂直于平面ABC，直线AM垂直于直线BC，这两个条为我们提供了建立空间直角坐标系的条件。
传统几何法与向量法相辅相成，各有所长，在应用时要依据题设来灵活选用。
习题：
如图，棱长为a的正四面体A-BCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连接AF，CE，求异面直线AF和CE所成角的余弦值。（答案：cosα=）
参考文献[1]罗增儒.《中学数学解题方法与技巧》[2]吴雷霆，聂文喜，异面直线所成角的向量求法《数学通讯》2003年第08期[3]楼海文，异面直线所成角的向量求法《中学生数学》2004年11期