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摘要：高数教学培养学生的逆向思维与逻辑思维有重要意义，这也是新课程背景下高数教学的一个重要任务。在数学教学中，一方面是向学生传授数学知识，而更重要的是利用数学培养学生的思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及解决实际问题的能力，以使学生的素质得到全面提升，这对于他们将来的学习与工作有很大帮助。文章是从高数中相关定理的逆命题及逆否命题的理解与应用的角度阐述了培养学生逆向思维与逻辑思维的途径。
关键词：高数；逆向思维；逻辑思维；培养
当代社会是一个要求不断创新的社会，在高数教学中培养学生的逆向思维与逻辑思维，有助于培养学生的创造性思维与综合素质。高等数学中的许多定理的逆命题很多时候是伪命题，然而在数理逻辑理论上命题的逆否命题又是正确的。因此，高数教师通过讲解逆命题与逆否命题的相关知识，对培养学生的逆向思维和逻辑思维有很重要的作用。
一、 概述高数中相关定理的逆命题与逆否命题对于培养学生思维能力的重要性
通常来说，从思考规律角度看思维包括了顺向思维与逆向思维两种，形象化地说顺向思维是考虑问题的思维方式是由A到B，而逆向思维考虑问题的思维方式则是由B到A。在讲解高数中的相关定理时，为了使学生对定理有更深刻的理解并更好地掌握，需要数学教师讲解分析定理的逆命题与否命题的真伪性及命题成立的相关条件。这部分内容本身就不好理解，学生在学习过程中经常容易混淆。因此学好定理的逆命题与否命题的相关知识，能够有效提高学生的逆向思维与逻辑思维能力。
二、 通过理解、应用高数中相关定理的逆否命题培养学生逆向思维与逻辑思维
从数理逻辑角度讲，逆否命题与命题并没有本质上的区别，定理是正确的其逆否命题的正确性也是毋庸置疑的，因此在实际运用中不需要再证明定理的逆否命题。例如，如果数列xn是收敛的，它一定也是有界的，它的逆否命题则是如果该数列是无界的，它一定是发散的。由此可以看出，学生在了解定理的逆否命题后可以直接使用，不需要再证明其正确性。高数教师在教学的过程中要注意引导学生在证明某些命题时多使用相关的逆否理论。例如，假设级数∑∞n=1xm是收敛的，就可以推导出limn→∞xm=0，那它的逆否定理就是如果limn→∞xm≠0，则级数∑∞n=1xm就是发散的；所以要证明级数∑∞m=1sinn是发散的，这时就可以通过它的逆否定理来证明，这是因为如果limn→∞sinm≠0，则必有级数∑∞m=1sinm发散的结论。高数教师在向学生讲解某些原定理及其逆否定理的应用的过程中就培养了学生的逆向思维能力。
但在某些情况下，有些定理的逆否命题看似不正确。例如，假设m小于0，那么方程y2 （2m 1）y m=0的两个实根肯定是不同的，它的逆否命题是如果方程y2 （2m 1）y m=0没有两个不同的实根，那么m是大于等于0的。但是事实上如果方程y2 （2m 1）y m=0没有两个不同的实根，Δ是小于0的，根据演算可以得出Δ=4m2>0，这与Δ是小于0是不是真的相互矛盾呢？由于方程y2 （2m 1）y m=0没有两个不同的实根本身就是一个假命题，因此Δ是小于0的结论也是假的。因此，通过高数教学让学生了解并掌握一定的数理逻辑知识是非常重要的，有利于学生更好地运用逻辑思维方式分析数学命题，在学好知识的同时逻辑思维能力得到有效提高。
三、 通过理解、应用高数中相关定理的逆命题与否命题培养学生逆向思维与逻辑思维
通常而言，高数包括了可逆定理与不可逆定理等两种定理。我们所使用的教材中给出了某些定理的逆定理，还有很多定理的可逆性教材中并没有相关内容。所以，高数教师也会常常提醒学生一定要注意定理逆命题的应用，切不可随意使用。证明高数命题的正确性是一个十分严谨的论证过程，但是要证明某个命题是错误的就相对容易得多，只要有一个相反的例子就能推翻错误的结论。在高数中，有相当一部分定理的逆命题都是伪命题。教师在讲解相关定理内容后，需要学生对其逆命题的正确性进行思考论证。例如，假设数列xm是收敛的，则可以推导出xm必是有界的；而它的逆命题则是：如果数列xm是有界的，则可以推导出xm必是收敛的，假设xm=sinn是有界的，事实上xm是发散的，因此逆命题是不成立的。高数教师在授课过程中，要注意引導学生进行反向思考，针对不成立的逆命题引导学生深入思考并找出相反的例子。通过进行反向思考，学生的思维潜力得以充分发挥，使学生的思维能力得以全面发展，同时学生在高数方面的能力也得到提升。
逆命题与命题的条件之间也存在一定的关系，即如果某定理的逆命题是成立的，则该定理的条件就是充分必要条件；从另一个角度分析，只有在某定理的条件是充分必要条件时，其逆命题才是成立的。从本质上看，逆命题与否命题其实是等价的。因此，在研究高数中的逆命题时，有时从问题的反方向或否定的角度去思考反而更容易理解。在了解数学知识内在联系的基础上，通过逆向思考加深对知识的理解，有利于更好地利用数学知识解决实际问题。
综上所述，高数教师在教学过程中要重视对学生逆向思维与逻辑思维的培养，这也是新课程背景下对教师提出的一个重要要求。因此教师在授课过程中要适当地引导学生进行反向或否定方面的思考，突破单项推理的思维模式，既可以提高学生学习数学的能力，同时对于培养学生的逆向思维和逻辑思维有重要作用。学生思维能力的不断提升对于他们的全面发展有重要意义，学生只有具备较高的综合素质才能更好地服务于社会主义现代化建设。
参考文献：
[1]石纯一.数理逻辑和集合论[M].北京：清华大学出版社，2002.
[2]胡佑增.在高数教学中培养学生的逆向思维能力[J].交通高教研，1995，（2）：21-22.
[3]同济大学数学系.高等数学（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.
[4]金莹.逆否命题与原命题真假相同吗？[J].数学通讯，2007，（7）：23.
作者简介：
苗俊岭，副教授，广东省中山市，中山开放大学。
关键词：高数；逆向思维；逻辑思维；培养
当代社会是一个要求不断创新的社会，在高数教学中培养学生的逆向思维与逻辑思维，有助于培养学生的创造性思维与综合素质。高等数学中的许多定理的逆命题很多时候是伪命题，然而在数理逻辑理论上命题的逆否命题又是正确的。因此，高数教师通过讲解逆命题与逆否命题的相关知识，对培养学生的逆向思维和逻辑思维有很重要的作用。
一、 概述高数中相关定理的逆命题与逆否命题对于培养学生思维能力的重要性
通常来说，从思考规律角度看思维包括了顺向思维与逆向思维两种，形象化地说顺向思维是考虑问题的思维方式是由A到B，而逆向思维考虑问题的思维方式则是由B到A。在讲解高数中的相关定理时，为了使学生对定理有更深刻的理解并更好地掌握，需要数学教师讲解分析定理的逆命题与否命题的真伪性及命题成立的相关条件。这部分内容本身就不好理解，学生在学习过程中经常容易混淆。因此学好定理的逆命题与否命题的相关知识，能够有效提高学生的逆向思维与逻辑思维能力。
二、 通过理解、应用高数中相关定理的逆否命题培养学生逆向思维与逻辑思维
从数理逻辑角度讲，逆否命题与命题并没有本质上的区别，定理是正确的其逆否命题的正确性也是毋庸置疑的，因此在实际运用中不需要再证明定理的逆否命题。例如，如果数列xn是收敛的，它一定也是有界的，它的逆否命题则是如果该数列是无界的，它一定是发散的。由此可以看出，学生在了解定理的逆否命题后可以直接使用，不需要再证明其正确性。高数教师在教学的过程中要注意引导学生在证明某些命题时多使用相关的逆否理论。例如，假设级数∑∞n=1xm是收敛的，就可以推导出limn→∞xm=0，那它的逆否定理就是如果limn→∞xm≠0，则级数∑∞n=1xm就是发散的；所以要证明级数∑∞m=1sinn是发散的，这时就可以通过它的逆否定理来证明，这是因为如果limn→∞sinm≠0，则必有级数∑∞m=1sinm发散的结论。高数教师在向学生讲解某些原定理及其逆否定理的应用的过程中就培养了学生的逆向思维能力。
但在某些情况下，有些定理的逆否命题看似不正确。例如，假设m小于0，那么方程y2 （2m 1）y m=0的两个实根肯定是不同的，它的逆否命题是如果方程y2 （2m 1）y m=0没有两个不同的实根，那么m是大于等于0的。但是事实上如果方程y2 （2m 1）y m=0没有两个不同的实根，Δ是小于0的，根据演算可以得出Δ=4m2>0，这与Δ是小于0是不是真的相互矛盾呢？由于方程y2 （2m 1）y m=0没有两个不同的实根本身就是一个假命题，因此Δ是小于0的结论也是假的。因此，通过高数教学让学生了解并掌握一定的数理逻辑知识是非常重要的，有利于学生更好地运用逻辑思维方式分析数学命题，在学好知识的同时逻辑思维能力得到有效提高。
三、 通过理解、应用高数中相关定理的逆命题与否命题培养学生逆向思维与逻辑思维
通常而言，高数包括了可逆定理与不可逆定理等两种定理。我们所使用的教材中给出了某些定理的逆定理，还有很多定理的可逆性教材中并没有相关内容。所以，高数教师也会常常提醒学生一定要注意定理逆命题的应用，切不可随意使用。证明高数命题的正确性是一个十分严谨的论证过程，但是要证明某个命题是错误的就相对容易得多，只要有一个相反的例子就能推翻错误的结论。在高数中，有相当一部分定理的逆命题都是伪命题。教师在讲解相关定理内容后，需要学生对其逆命题的正确性进行思考论证。例如，假设数列xm是收敛的，则可以推导出xm必是有界的；而它的逆命题则是：如果数列xm是有界的，则可以推导出xm必是收敛的，假设xm=sinn是有界的，事实上xm是发散的，因此逆命题是不成立的。高数教师在授课过程中，要注意引導学生进行反向思考，针对不成立的逆命题引导学生深入思考并找出相反的例子。通过进行反向思考，学生的思维潜力得以充分发挥，使学生的思维能力得以全面发展，同时学生在高数方面的能力也得到提升。
逆命题与命题的条件之间也存在一定的关系，即如果某定理的逆命题是成立的，则该定理的条件就是充分必要条件；从另一个角度分析，只有在某定理的条件是充分必要条件时，其逆命题才是成立的。从本质上看，逆命题与否命题其实是等价的。因此，在研究高数中的逆命题时，有时从问题的反方向或否定的角度去思考反而更容易理解。在了解数学知识内在联系的基础上，通过逆向思考加深对知识的理解，有利于更好地利用数学知识解决实际问题。
综上所述，高数教师在教学过程中要重视对学生逆向思维与逻辑思维的培养，这也是新课程背景下对教师提出的一个重要要求。因此教师在授课过程中要适当地引导学生进行反向或否定方面的思考，突破单项推理的思维模式，既可以提高学生学习数学的能力，同时对于培养学生的逆向思维和逻辑思维有重要作用。学生思维能力的不断提升对于他们的全面发展有重要意义，学生只有具备较高的综合素质才能更好地服务于社会主义现代化建设。
参考文献：
[1]石纯一.数理逻辑和集合论[M].北京：清华大学出版社，2002.
[2]胡佑增.在高数教学中培养学生的逆向思维能力[J].交通高教研，1995，（2）：21-22.
[3]同济大学数学系.高等数学（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.
[4]金莹.逆否命题与原命题真假相同吗？[J].数学通讯，2007，（7）：23.
作者简介：
苗俊岭，副教授，广东省中山市，中山开放大学。