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摘 要： 思维是智力的核心，是创造力的源泉。义务教育小学数学课程标准指出：小学教学数学要有意识地培养学生的思维能力。因此思维培养是教育的本质目的之一，在学习中起着举足轻重的作用，对于学生思维能力的培养应贯通教学始终，作者就以“鸡兔同笼”问题为例，谈谈如何培养学生思维的灵活性、独创性、拓展性。
关键词： 鸡兔同笼 思维能力 小学数学教学
“鸡兔同笼”是一道既有趣又益智的历史名题。大约在1500年前，我国著名的数学著作《孙子算法》中早有记载：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔几何？在小学教材中也有涉及，如鸡和兔一共有8只，数一数腿有22条，你知道鸡和兔各有多少只吗？笔者以此题为例谈谈对于学生思维能力的培养的见解。
一、一题多解——培养学生思维的灵活性
思维的灵活性是指思维活动的智力灵活程度。小学儿童在运算中思维灵活性的发展表现为：“一题多解”的解题方法运用灵活；灵活解题的精細性增强；儿童组合分析水平不断提高。思维的灵活性，其核心是善于运用已有知识经验解决实际问题。
这道“鸡兔同笼”的教学中，引导学生多角度、全方位地思考，让他们在课堂教学中主动与他人合作探讨培养他们的思维的灵活性。学生讨论热烈，交流深刻，思维碰撞众多精彩的火花，一题有五解，真为他们感到自豪。
解法一：画图法
先画8个圆，表示一共有8只动物，再画脚少的动物鸡，每只鸡2只脚，8只鸡就16只脚。然后把多余的脚补成脚多的动物，还有22-16=6只脚，又因为每只兔比每只鸡多2只脚，再把这6只脚两只两只地补在刚才画的鸡上，就成了6÷2=3只有4只脚的兔，没有添上脚的还有8-3=5只鸡。就能根据画图法一眼看出两种动物各有多少只了。
解法二：列表法
鸡和兔一共有8只，也就是鸡有1只，兔就有7只，腿有2 28=30条；鸡有2只，兔就有6只，腿有4 24=28条……以此类推列一个表格，从而找出和实际脚数相符的情况。从表中可以看出，当鸡5只，兔3只时，腿共有22条。
以上两种方法直观形象，浅显易懂，适合数据不是太大的情况下使用，当数据较大时画图法和列举法就显得很麻烦，因此这两种方法不具备普遍性。
解法三：极端假设法
采用极端假设法，有两种极端法：
一个是极端假设全是鸡，8只鸡就有8×2=16只脚，而实际却有22只脚，假设比实际少了22-16=6只脚，因为把实际4只脚的兔当做了2只脚的鸡，所以少出来的脚是兔的，每只兔子少了4-2=2只脚，少出来的6只脚里有3个两只。所以6÷2=3只兔，鸡有8-3=5只采用假设法必须要用检验，确保正确。兔3×4=12只脚，鸡5×2=10只脚，共有12 10=22只脚，说明答案正确。
反之，另一种极端假设全是兔，可按上述方法完成。
极端假设法，要对思维能力要求高一些，能力要强一些。由于对于学生抽象思维理解难度较大，那么可以结合形象思维辅助理解。
解法四：形象假设法
形象假设法有三种。
第一种是“抬脚法”。首先让鸡和兔都抬起1只脚，这是地上还剩下22-8=14只脚；再让鸡和兔各抬起一只脚，这是鸡就两脚离地，一屁股坐到地上了。当兔子抬起两只脚后，每只兔子地上还有2只脚。这时地上总共剩下14-8=6只脚，而这6只脚都是兔子的，每只兔子还剩2只脚，所以兔子有6÷2=3只，那么鸡就有8-3=5只。
第二种是“砍脚法”。假设把鸡和兔子的脚各砍掉一半，即鸡砍掉1只脚，兔砍掉2只脚，那么还剩下22÷2=11只脚。这时是8个头，11只脚。因为每只鸡还剩1只脚，每只兔还剩2只脚，每只兔子比每只鸡多1只脚，所以脚比头多的数量就是兔子的只数：11-8=3只，那么鸡的只数是8-3=5只。
抬脚法和砍脚法仍然是假设法，只不过叙述起来更生动，学生理解起来更形象，鸡和兔就像是幽默的、训练有素的小兵。抬脚法和砍脚法都是从鸡和兔的脚上做文章，那么他们的头能不能也可以做做文章解决问题呢？
第三种是“增头法”。假设8只动物中的每只动物都增加一个头变成怪异动物，就有2×8=16个头，头和脚的差是22-16=6。这时鸡有2个头2只脚，头和脚的差是0；兔有2个头和4只脚，头和脚的差是2。说明6个里面有3个2，兔有6÷2=3只，鸡有8-3=5只。
解法五：方程法
采用一元一次方程，可以有两种解法。都是按照鸡和兔共有8只设未知数，按照腿有22条列出方程，然后求解。
第一种，解：设兔有x只，鸡有（8-x）只。
4x 2（8-x）=22
2x 16=22
x=3
8-x=8-3=5
答：兔有3只，鸡有5只。
第二种，是设鸡有x只，则兔有（8-x）只。列出方程完成此题。
方程解法对方程的计算要求很高，到了初中，还有二元一次方法求解，在此就不具体讲述了。
二、编写题目——培养学生的思维独创性
思维的独创性是指思维活动在独立性、发散性和新颖性上的表现。小学儿童思维独创性发展趋势表现为：（1）从对具体形象材料加工发展到对语词抽象材料加工。（2）先模仿，再经过半独立性的过程，最后发展到独创性。因此在教学中教师不仅要积极鼓励学生从不同角度思考问题，一题多解，发展学生的思维灵活性，而且要继续引导学生观察、比较，发现从中优化出最合理的解法，使其方法具有独特性。并通过改编题目的训练，使学生思维的独创性得以发展。
前面我们完成了“鸡和兔一共有8只，腿有22条，你知道鸡和兔各有多少只吗？”这一问题，并用五种不同的方法解决了题目，下面再做几道题目试试。 题目1：鸡和兔一共有8只，腿有18条，鸡和兔各有多少只吗？
题目2：鸡和兔一共有8只，腿有24条，鸡和兔各有多少只吗？
题目3：鸡和兔一共有8只，腿有26条，鸡和兔各有多少只吗？
题目4：鸡和兔一共有8只，腿有30条，鸡和兔各有多少只吗？
这时诱导学生思考：大家还想不想再做题了，只要你们想，老师就永远有题目。老师这里有50道、500道，甚至更多的题目，你们相信吗？其实不仅我有成百上千的题目，你们也可以有，仔细观察是怎么编写题目的？
学生在自主交流，老师点拨下，学会了自己编写题目。先假设有鸡和兔一共有5只，该有几条腿呢？其实腿的只数是在一个范围内的。最少的是按照5只全部是鸡，每只2条腿，共有5×2=10条腿；最多的按照5只全部是兔，每只4条腿，共有5×4=20条腿，因此鸡和兔的腿数应该比10条多，且比20条少，同时腿都是偶数，所以可以是12、14、16、18。这样就有4个题目。
题目1：鸡和兔一共有5只，腿有12条，鸡和兔各有多少只？
题目2：鸡和兔一共有2只，腿有14条，鸡和兔各有多少只？
题目3：鸡和兔一共有2只，腿有16条，鸡和兔各有多少只？
题目4：鸡和兔一共有2只，腿有18条，鸡和兔各有多少只？
学生通过自己改编题目，不仅获得了鸡兔同笼的解法，更收获了一种学习方法，学习的成就感和自信心油然而生。学生的思维在更灵活的同时，也更具独创性。
三、举一反三——培养学生的思维的拓展性
思维的拓展性是在学习过程中，以某个知识作为支点，积极激发学习者的综合能力，通过举一反三思维拓展的过程，对于事物产生独到新颖的理解。因此在学生多种方法解决鸡兔同笼问题，并学会自己改编题目的基础上，挖掘鸡兔同笼的本质与关系，使复杂的问题简单化，不仅仅是解决这一道题，而是解决鸡兔同笼的这一类题目，更注重知识点成线成面。
在练习中有这样一道题目：有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种昆虫共18只，一共118条腿，20对翅膀。已知蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀。蜘蛛、蜻蜓、蝉各几只？
分析此题含有三个未知数，很难下手，但是仔细观察体重蜻蜓和蝉的腿数是相等的，仍可以看成类似的鸡兔同笼问题。当然此题可以用方程求解，这里重点讲解假设法。
因为蜻蜓和蝉的腿数是相等的，所以这里假设18只全是蜻蜓，那么共有18×6=108条腿，假设比实际少了118-108=10条，而这少的10条是由于把蜘蛛看成蜻蜓的结果，因此蜘蛛有10÷（8-6）=5只。那么蜻蜓和蝉共有18-5=13只。现在的题目变成两个未知数“有蜻蜓、蝉两种昆虫共13只，20对翅膀。问蜻蜓、蝉各几只？”这就成为完完全全的鸡兔同笼问题。再假设13只全是蝉，那么共有13×1=13对翅膀，这比实际少了20-13=7条翅膀，这少的7条翅膀正是把蜻蜓看做蟬的结果，所以蜻蜓有7÷（2-1）=7只，那么蝉就有13-7=6只。由此可见，无论多复杂的鸡兔同笼问题，只要充分掌握假设法，就可以转换为基本的鸡兔同笼问题。
参考文献：
[1]伍新春.儿童发展心理与教育学[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]邓春花.“鸡兔同笼”一题多解探讨[J].东方青年教师，012（01）.
[3]李宝江.解鸡兔同笼问题十一法[J].河北教育（教学版），2011（09）.
[4]臧全生.“鸡兔同笼”教学之拙见[J].教育现代化（电子版），2013（13）.
关键词： 鸡兔同笼 思维能力 小学数学教学
“鸡兔同笼”是一道既有趣又益智的历史名题。大约在1500年前，我国著名的数学著作《孙子算法》中早有记载：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔几何？在小学教材中也有涉及，如鸡和兔一共有8只，数一数腿有22条，你知道鸡和兔各有多少只吗？笔者以此题为例谈谈对于学生思维能力的培养的见解。
一、一题多解——培养学生思维的灵活性
思维的灵活性是指思维活动的智力灵活程度。小学儿童在运算中思维灵活性的发展表现为：“一题多解”的解题方法运用灵活；灵活解题的精細性增强；儿童组合分析水平不断提高。思维的灵活性，其核心是善于运用已有知识经验解决实际问题。
这道“鸡兔同笼”的教学中，引导学生多角度、全方位地思考，让他们在课堂教学中主动与他人合作探讨培养他们的思维的灵活性。学生讨论热烈，交流深刻，思维碰撞众多精彩的火花，一题有五解，真为他们感到自豪。
解法一：画图法
先画8个圆，表示一共有8只动物，再画脚少的动物鸡，每只鸡2只脚，8只鸡就16只脚。然后把多余的脚补成脚多的动物，还有22-16=6只脚，又因为每只兔比每只鸡多2只脚，再把这6只脚两只两只地补在刚才画的鸡上，就成了6÷2=3只有4只脚的兔，没有添上脚的还有8-3=5只鸡。就能根据画图法一眼看出两种动物各有多少只了。
解法二：列表法
鸡和兔一共有8只，也就是鸡有1只，兔就有7只，腿有2 28=30条；鸡有2只，兔就有6只，腿有4 24=28条……以此类推列一个表格，从而找出和实际脚数相符的情况。从表中可以看出，当鸡5只，兔3只时，腿共有22条。
以上两种方法直观形象，浅显易懂，适合数据不是太大的情况下使用，当数据较大时画图法和列举法就显得很麻烦，因此这两种方法不具备普遍性。
解法三：极端假设法
采用极端假设法，有两种极端法：
一个是极端假设全是鸡，8只鸡就有8×2=16只脚，而实际却有22只脚，假设比实际少了22-16=6只脚，因为把实际4只脚的兔当做了2只脚的鸡，所以少出来的脚是兔的，每只兔子少了4-2=2只脚，少出来的6只脚里有3个两只。所以6÷2=3只兔，鸡有8-3=5只采用假设法必须要用检验，确保正确。兔3×4=12只脚，鸡5×2=10只脚，共有12 10=22只脚，说明答案正确。
反之，另一种极端假设全是兔，可按上述方法完成。
极端假设法，要对思维能力要求高一些，能力要强一些。由于对于学生抽象思维理解难度较大，那么可以结合形象思维辅助理解。
解法四：形象假设法
形象假设法有三种。
第一种是“抬脚法”。首先让鸡和兔都抬起1只脚，这是地上还剩下22-8=14只脚；再让鸡和兔各抬起一只脚，这是鸡就两脚离地，一屁股坐到地上了。当兔子抬起两只脚后，每只兔子地上还有2只脚。这时地上总共剩下14-8=6只脚，而这6只脚都是兔子的，每只兔子还剩2只脚，所以兔子有6÷2=3只，那么鸡就有8-3=5只。
第二种是“砍脚法”。假设把鸡和兔子的脚各砍掉一半，即鸡砍掉1只脚，兔砍掉2只脚，那么还剩下22÷2=11只脚。这时是8个头，11只脚。因为每只鸡还剩1只脚，每只兔还剩2只脚，每只兔子比每只鸡多1只脚，所以脚比头多的数量就是兔子的只数：11-8=3只，那么鸡的只数是8-3=5只。
抬脚法和砍脚法仍然是假设法，只不过叙述起来更生动，学生理解起来更形象，鸡和兔就像是幽默的、训练有素的小兵。抬脚法和砍脚法都是从鸡和兔的脚上做文章，那么他们的头能不能也可以做做文章解决问题呢？
第三种是“增头法”。假设8只动物中的每只动物都增加一个头变成怪异动物，就有2×8=16个头，头和脚的差是22-16=6。这时鸡有2个头2只脚，头和脚的差是0；兔有2个头和4只脚，头和脚的差是2。说明6个里面有3个2，兔有6÷2=3只，鸡有8-3=5只。
解法五：方程法
采用一元一次方程，可以有两种解法。都是按照鸡和兔共有8只设未知数，按照腿有22条列出方程，然后求解。
第一种，解：设兔有x只，鸡有（8-x）只。
4x 2（8-x）=22
2x 16=22
x=3
8-x=8-3=5
答：兔有3只，鸡有5只。
第二种，是设鸡有x只，则兔有（8-x）只。列出方程完成此题。
方程解法对方程的计算要求很高，到了初中，还有二元一次方法求解，在此就不具体讲述了。
二、编写题目——培养学生的思维独创性
思维的独创性是指思维活动在独立性、发散性和新颖性上的表现。小学儿童思维独创性发展趋势表现为：（1）从对具体形象材料加工发展到对语词抽象材料加工。（2）先模仿，再经过半独立性的过程，最后发展到独创性。因此在教学中教师不仅要积极鼓励学生从不同角度思考问题，一题多解，发展学生的思维灵活性，而且要继续引导学生观察、比较，发现从中优化出最合理的解法，使其方法具有独特性。并通过改编题目的训练，使学生思维的独创性得以发展。
前面我们完成了“鸡和兔一共有8只，腿有22条，你知道鸡和兔各有多少只吗？”这一问题，并用五种不同的方法解决了题目，下面再做几道题目试试。 题目1：鸡和兔一共有8只，腿有18条，鸡和兔各有多少只吗？
题目2：鸡和兔一共有8只，腿有24条，鸡和兔各有多少只吗？
题目3：鸡和兔一共有8只，腿有26条，鸡和兔各有多少只吗？
题目4：鸡和兔一共有8只，腿有30条，鸡和兔各有多少只吗？
这时诱导学生思考：大家还想不想再做题了，只要你们想，老师就永远有题目。老师这里有50道、500道，甚至更多的题目，你们相信吗？其实不仅我有成百上千的题目，你们也可以有，仔细观察是怎么编写题目的？
学生在自主交流，老师点拨下，学会了自己编写题目。先假设有鸡和兔一共有5只，该有几条腿呢？其实腿的只数是在一个范围内的。最少的是按照5只全部是鸡，每只2条腿，共有5×2=10条腿；最多的按照5只全部是兔，每只4条腿，共有5×4=20条腿，因此鸡和兔的腿数应该比10条多，且比20条少，同时腿都是偶数，所以可以是12、14、16、18。这样就有4个题目。
题目1：鸡和兔一共有5只，腿有12条，鸡和兔各有多少只？
题目2：鸡和兔一共有2只，腿有14条，鸡和兔各有多少只？
题目3：鸡和兔一共有2只，腿有16条，鸡和兔各有多少只？
题目4：鸡和兔一共有2只，腿有18条，鸡和兔各有多少只？
学生通过自己改编题目，不仅获得了鸡兔同笼的解法，更收获了一种学习方法，学习的成就感和自信心油然而生。学生的思维在更灵活的同时，也更具独创性。
三、举一反三——培养学生的思维的拓展性
思维的拓展性是在学习过程中，以某个知识作为支点，积极激发学习者的综合能力，通过举一反三思维拓展的过程，对于事物产生独到新颖的理解。因此在学生多种方法解决鸡兔同笼问题，并学会自己改编题目的基础上，挖掘鸡兔同笼的本质与关系，使复杂的问题简单化，不仅仅是解决这一道题，而是解决鸡兔同笼的这一类题目，更注重知识点成线成面。
在练习中有这样一道题目：有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种昆虫共18只，一共118条腿，20对翅膀。已知蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀。蜘蛛、蜻蜓、蝉各几只？
分析此题含有三个未知数，很难下手，但是仔细观察体重蜻蜓和蝉的腿数是相等的，仍可以看成类似的鸡兔同笼问题。当然此题可以用方程求解，这里重点讲解假设法。
因为蜻蜓和蝉的腿数是相等的，所以这里假设18只全是蜻蜓，那么共有18×6=108条腿，假设比实际少了118-108=10条，而这少的10条是由于把蜘蛛看成蜻蜓的结果，因此蜘蛛有10÷（8-6）=5只。那么蜻蜓和蝉共有18-5=13只。现在的题目变成两个未知数“有蜻蜓、蝉两种昆虫共13只，20对翅膀。问蜻蜓、蝉各几只？”这就成为完完全全的鸡兔同笼问题。再假设13只全是蝉，那么共有13×1=13对翅膀，这比实际少了20-13=7条翅膀，这少的7条翅膀正是把蜻蜓看做蟬的结果，所以蜻蜓有7÷（2-1）=7只，那么蝉就有13-7=6只。由此可见，无论多复杂的鸡兔同笼问题，只要充分掌握假设法，就可以转换为基本的鸡兔同笼问题。
参考文献：
[1]伍新春.儿童发展心理与教育学[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]邓春花.“鸡兔同笼”一题多解探讨[J].东方青年教师，012（01）.
[3]李宝江.解鸡兔同笼问题十一法[J].河北教育（教学版），2011（09）.
[4]臧全生.“鸡兔同笼”教学之拙见[J].教育现代化（电子版），2013（13）.