【摘 要】
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题4设an是关于x的方程xn+nx-1=0(n∈N+,x∈R+)的根.试证:(1)an∈(0,1);(2)an+1an;(3)a12+a22+a32+…+a2n1.证明(1)设f(x)=xn+nx-1,显然f(0)=-10,f(1)=n0,∴f(x)在(0,1)上至少
【机 构】
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安徽省砀山中学,陕西师范大学数科院,浙江黄岩第二高级中学,黑龙江省大庆实验中学,
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题4设an是关于x的方程xn+nx-1=0(n∈N+,x∈R+)的根.试证:(1)an∈(0,1);(2)an+1an;(3)a12+a22+a32+…+a2n1.证明(1)设f(x)=xn+nx-1,显然f(0)=-10,f(1)=n0,∴f(x)在(0,1)上至少有一个零点,即方程xn+nx-1=0在(0,1)内至少有一个根.又∵f′(x)=nxn-1+n0,∴f(x)在R+上是增函数.
Problem 4 Let an be the root of the equation xn + nx-1 = 0 (n∈N +, x∈R +) for x.Experiments: (1) an∈ (0,1); (2) an + 1an; ( 3) a12 + a22 + a32 + ... + a2n1. Proof (1) Suppose f (x) = xn + nx-1, obviously f (0) = - 10, f (1) = n0, 0,1) at least one zero point, that is, the equation xn + nx-1 = 0 has at least one root in (0,1) and ∵f ’(x) = nxn- 1 + n0, On R + is an increasing function.
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