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【教学目标】
1.通过对大问题的自主研究、交流、讨论，认识圆的基本特征。
2.在研究、讨论、交流的过程中，用多种方法探索半径、直径的特点及其之间的关系，体会“半径能确定圆的大小”，提升学生的思考、交流能力。
3.通过研究数学与生活之间的关联，发展学生的空间观念，提升学生的数学思维能力。
【教学过程及意图】
一、回顾沟通
1.今天我们要继续认识圆，在这之前，我们已经认识过哪些平面图形？（PPT出示长方形、正方形、三角形等）
2.我们不仅研究了它们的特征，还研究了它们的大小。就拿长方形来说，要确定一个长方形的大小，至少需要几个数据？
长方形明明有四条边，为什么只用两个数据就能把它的大小确定下来呢？
3.如果要确定正方形的大小，至少需要几个数据？为什么？
点明：看来，图形不同，它们的特征也不同，确定它们的大小所需数据的个数也不同。
【通过思考这一连串问题，让学生在回顾已有平面图形特征的过程中发现：不同的图形，由于它们各自的特征不同，确定它们的大小所需数据的个数也不同。进而使学生对确定圆的大小所需数据的个数产生研究的欲望，为这节课的大问题研究活动奠定良好的思维基础。】
二、探索研究
1.自主研究大问题。
今天我们要研究圆，（PPT出示圆）屏幕上就有一个圆，如果要确定这个圆的大小，你觉得至少需要几个数据呢？
谁愿意悄悄地告诉老师？
（在学生思考了一段时间后，个别了解想法。）
同意用一个数据就可以确定这个圆的大小的，请举手。
奇怪，圆这么复杂，为什么只要一个数据就能确定它的大小呢？这个数据到底在哪里？或者说，究竟用哪一个数据就能确定这个圆的大小？
（学生独立针对研究单上的圆进行研究：画一画，量一量，比一比，找到这个数据。）
【通过“如果要确定这个圆的大小，你觉得至少需要几个数据呢”这样一个非常有挑战性的问题，引导学生开展自主研究活动，能充分激活学生的数学直觉、数学思考，在学生独立研究的过程中，鼓励学生大胆进行猜想，并尝试把自己的想法通过画、量、说等形式表达出来。】
2.小组交流研究结果。
在四人小组里指一指、说一说，你用哪一个数据就能确定这个圆的大小？为什么？
（小组研究，相机追问。）
3.全班交流研讨。
（1）认识半径
A.你找到了一条线段，是吗？介绍一下是从哪里到哪里的一条线段？
（结合学生的发言介绍：圆的中心称为“圆心”，通常用字母o表示。圆边上的一点称为“圆上一点”，并在学生的研究单上注明“圆上”。）
B.还有谁也找到了这样一条线段？你们画出的线段都一样吗？
这说明，像这样从圆心出发，到圆上任意一点的线段，在这个圆里有多少条？
请你再指几条……能指得完吗？
看来，这样的线段真的有无数条，这就不对了啊，既然这样的线段有无数条，为什么只用这一条的长度就能刻画这个圆的大小呢？
C.它们真的都相等吗？带着这个问题，四人小组再深入研究一下，看看能不能有不同的思考和发现。
（学生的思路：测量、画圆时圆规两脚的距离不变、圆心的含义等。）
由此看来，这样的线段虽然有无数条，但它们的长度都相等，所以，只要用几条线段的长度就能刻画这个圆的大小了？
D.因此，我们把同一个圆里，像这样连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，通常用字母r表示。
（2）认识直径
A.除了半径，你知道在这个圆里还有什么线段也能刻画这个圆的大小吗？
怎样的线段是直径呢？你能想办法画出一条直径吗？
（学生独立画，教师收集、展示三种不同的画法）有直径吗？在哪里？用手比划一下。
那什么样的线段就是直径呢？同桌两个人试着用自己的语言说一说。
（结合半径、直径的含义，PPT动态出示概念和图像。）
B.在你的圆中，用字母o、r和d分别表示出圆心、半径和直径。
C.半径有无数条，而且都相等，那直径呢？它为什么也有无数条？它们真的都相等吗？四人小组再好好研究一下。
（学生的思路：测量、由半径的特征验证、圆的轴对称性等。）
（当学生揭示圆是一个轴对称图形且对称轴有无数条时，PPT出示三条不同的对称轴，让学生找出对应的直径，理解对称轴与直径的关系，体会直径有无数条。）
D.刚才，我们不仅研究了直径的特征，还谈到了直径和半径之间的关系，你能用一个含有字母的式子来表示出它们的关系吗？（d=2r或r=）
小结：通过刚才的研究，我们发现在同一个圆里，直径和半径有怎样的特点？
正因为如此，早在两千多年前，墨子就得出了这样一个结论（PPT出示）：圆，一中同长也。想一想，“一中”指的是什么？“同长”呢？
说得真好！“一中同长”就是说：圆虽然复杂，但只要几个数据就能确定它的大小？
【紧扣“用哪一个数据就能确定这个圆的大小”这样一个大问题，引导学生进行操作、验证、讨论、交流，在师生、生生的对话、辨析、阐释中，学生不仅能通过自己的研究发现“原来确定一个圆的大小，只要一个数据就够了”，也对有关圆的概念、特征、关系有了充分的把握。更为重要的是，让学生经历和体会认识事物的一般过程和方法，即从定性角度进行描述和从定量角度进行刻画，从而使这一板块的研究活动始终服务于对圆的特征的探索，对圆“一中同长”特性的体会，对认识事物一般方法的感受。】 三、画图应用
1.结合失败作品掌握画圆的方法。
研究完了圆，你会画圆吗？瞧，（展示两幅失败的作品）猜猜问题可能出在哪儿。
看来画圆也得有一些基本的方法，谁能给我们谈谈自己的经验？
（总结：手握柄，针固定，两脚距离不能变，轻转一圈画出圆。）
2.结合数据猜一猜。
画之前先猜一猜，（PPT出示：①号圆半径4厘米，②号圆直径6厘米，③号圆半径5厘米）哪个圆最大？哪个最小？
怎么数据最大画出的圆反而最小呢？（鼓励学生用不同的方法进行思考）
3.画圆。
请在作业纸上画出这三个圆，比一比，看谁画得又准确又快速。（指导学生标出圆心、半径和直径）
收集、展示学生的作品：
A.一起来看这一幅作品（分散的三个圆）你觉得他画得准确吗？谁有办法上来验证一下？（请一位学生验证，明确验证方法）
B.这里还收到一幅非常特别的作品，（出示同心圆）猜猜看，在画最大的圆时，他的圆规两脚张开了多少厘米？中间的圆呢？最小的这个呢？
看来，半径是多少，圆规的两脚就应该张开多大，这样才能准确地画出一个指定大小的圆。
【从反思失败的画圆作品，到概括地提炼正确的画圆方法，再到依据异质数据猜测画圆的结果，最终用自己的方式画出合适的圆，在这样一个更为综合、序列化的画圆活动中，不仅能更好地提升学生画圆的技能，发展学生的数学思维能力，还能再次印证学生之前的研究成果：只用一个数据就能确定圆的大小。】
四、图案联想
1.同心圆联想。
再继续看这幅图，它不仅画得漂亮，还能让我们联想到生活中的什么？
（学生想到靶子、水波、雷达波、光环等静态或动态的画面。）
瞧，抽象的数学图案，还能让我们联想到如此丰富的生活画面，孩子们，你们太有想象力了！
2.研究中的圆联想。
刚才研究圆时有同学画出了这幅图
（如右图），看着这幅图，你能想到生活中
的什么？
如果说这是自行车车轮，车轴在哪里？为什么要把车轴装在圆心上呢？装在别的地方行不行？比如装在这里呢？（出示偏移圆心后的图）谁能模拟一下，骑着这样的自行车在教室里转一圈？
在笑声中，我们也应该能感觉到，生活中的有些物品之所以要设计成圆，原来背后还有着深刻的数学原理啊！
【生活中有很多圆，借助第一板块学生研究圆、画圆时的两幅作品，引导学生将抽象的圆和生活中的圆建立起联系。这种“根据抽象的几何图形想象出所描述的实际物体”的要求，要比“根据具体的物体抽象出几何图形”有难度，但可以很好地提升学生的空间想象能力。同时，还能让学生进一步体会到：生活中有很多物品都设计成了圆形，这样的设计背后蕴藏着丰富的数学原理。】
五、数据猜测
老师也在生活中找了一些圆，想看看吗？是直接公布呢，还是挑战一下，根据一些线索来猜一猜？
1.猜半径为15厘米的圆。
先在你的直尺上找一找15厘米的长度，猜猜看，一个半径为15厘米的圆可能是什么？
（学生想到脸盆、小车轮、电风扇的面、钟面等。）
（PPT出示钟面）你在这个钟面上找到半径为15厘米的圆了吗？指一指。
你还能找到其他的圆吗？
A.找出数字里的圆、表示分的点构成的圆、钟面中心的圆等完整的圆。
B.比划出由60个小点构成的不完整的圆。
如果这些点再画得满一些，再满一些，就成了一个圆，的确，圆在本质上就是点运动的轨迹。
C.说出或画出三针运动后针尖画出的圆。
秒针的针尖转一圈能有圆吗？分针呢？时针呢？
这三个圆哪个最大？哪个最小？为什么？
这再次说明，什么能决定圆的大小？
那什么能决定圆的位置呢？
2.猜直径为135米的圆。
第二个圆，它的直径达到了135米，1米有这么长，（比划1米的长度）直径为135米的圆会是什么呢？
（学生猜到建筑中的圆、湖泊、摩天轮等。）
（PPT出示伦敦眼）这是我和我儿子一起去伦敦乘坐伦敦眼时拍下的照片。当时，我儿子还问了我一个问题：如果我们坐在相隔最远的两个位置上，该怎么办呢？比如我坐在这里，那我儿子应该坐在哪儿？
是这儿吗？这儿？（指几个错误的位置）
到底在哪里？
其实我们俩的位置如果连起来一定是什么？
这样看来，在同一个圆里，怎样的线段最长？
3.全课总结。
即使是一个普通的生活常识，也蕴藏着深刻的数学原理。在生活中，只要我们多留心、多观察，相信我们对圆的认识还会不断深入下去。
【通过两个抽象的数据，引导学生对数学和生活之间的关联进行充分的研究。让学生通过一个数据思考“可能是生活中的什么”，不仅需要学生充分调动自己刚刚获得的对半径、直径的准确认知，还要求学生对相关长度有正确的把握，能灵活地根据需要对半径、直径进行转换，并不断在形象和抽象间、在生活经验和抽象数据间进行甄选，才能找到适配的答案。而在学生寻找到这些答案后，找出所有的圆的过程，找到两个相距最远位置的活动，则会有效地提升学生的数学想象和思考能力。】
（作者单位：南京市北京东路小学）
1.通过对大问题的自主研究、交流、讨论，认识圆的基本特征。
2.在研究、讨论、交流的过程中，用多种方法探索半径、直径的特点及其之间的关系，体会“半径能确定圆的大小”，提升学生的思考、交流能力。
3.通过研究数学与生活之间的关联，发展学生的空间观念，提升学生的数学思维能力。
【教学过程及意图】
一、回顾沟通
1.今天我们要继续认识圆，在这之前，我们已经认识过哪些平面图形？（PPT出示长方形、正方形、三角形等）
2.我们不仅研究了它们的特征，还研究了它们的大小。就拿长方形来说，要确定一个长方形的大小，至少需要几个数据？
长方形明明有四条边，为什么只用两个数据就能把它的大小确定下来呢？
3.如果要确定正方形的大小，至少需要几个数据？为什么？
点明：看来，图形不同，它们的特征也不同，确定它们的大小所需数据的个数也不同。
【通过思考这一连串问题，让学生在回顾已有平面图形特征的过程中发现：不同的图形，由于它们各自的特征不同，确定它们的大小所需数据的个数也不同。进而使学生对确定圆的大小所需数据的个数产生研究的欲望，为这节课的大问题研究活动奠定良好的思维基础。】
二、探索研究
1.自主研究大问题。
今天我们要研究圆，（PPT出示圆）屏幕上就有一个圆，如果要确定这个圆的大小，你觉得至少需要几个数据呢？
谁愿意悄悄地告诉老师？
（在学生思考了一段时间后，个别了解想法。）
同意用一个数据就可以确定这个圆的大小的，请举手。
奇怪，圆这么复杂，为什么只要一个数据就能确定它的大小呢？这个数据到底在哪里？或者说，究竟用哪一个数据就能确定这个圆的大小？
（学生独立针对研究单上的圆进行研究：画一画，量一量，比一比，找到这个数据。）
【通过“如果要确定这个圆的大小，你觉得至少需要几个数据呢”这样一个非常有挑战性的问题，引导学生开展自主研究活动，能充分激活学生的数学直觉、数学思考，在学生独立研究的过程中，鼓励学生大胆进行猜想，并尝试把自己的想法通过画、量、说等形式表达出来。】
2.小组交流研究结果。
在四人小组里指一指、说一说，你用哪一个数据就能确定这个圆的大小？为什么？
（小组研究，相机追问。）
3.全班交流研讨。
（1）认识半径
A.你找到了一条线段，是吗？介绍一下是从哪里到哪里的一条线段？
（结合学生的发言介绍：圆的中心称为“圆心”，通常用字母o表示。圆边上的一点称为“圆上一点”，并在学生的研究单上注明“圆上”。）
B.还有谁也找到了这样一条线段？你们画出的线段都一样吗？
这说明，像这样从圆心出发，到圆上任意一点的线段，在这个圆里有多少条？
请你再指几条……能指得完吗？
看来，这样的线段真的有无数条，这就不对了啊，既然这样的线段有无数条，为什么只用这一条的长度就能刻画这个圆的大小呢？
C.它们真的都相等吗？带着这个问题，四人小组再深入研究一下，看看能不能有不同的思考和发现。
（学生的思路：测量、画圆时圆规两脚的距离不变、圆心的含义等。）
由此看来，这样的线段虽然有无数条，但它们的长度都相等，所以，只要用几条线段的长度就能刻画这个圆的大小了？
D.因此，我们把同一个圆里，像这样连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，通常用字母r表示。
（2）认识直径
A.除了半径，你知道在这个圆里还有什么线段也能刻画这个圆的大小吗？
怎样的线段是直径呢？你能想办法画出一条直径吗？
（学生独立画，教师收集、展示三种不同的画法）有直径吗？在哪里？用手比划一下。
那什么样的线段就是直径呢？同桌两个人试着用自己的语言说一说。
（结合半径、直径的含义，PPT动态出示概念和图像。）
B.在你的圆中，用字母o、r和d分别表示出圆心、半径和直径。
C.半径有无数条，而且都相等，那直径呢？它为什么也有无数条？它们真的都相等吗？四人小组再好好研究一下。
（学生的思路：测量、由半径的特征验证、圆的轴对称性等。）
（当学生揭示圆是一个轴对称图形且对称轴有无数条时，PPT出示三条不同的对称轴，让学生找出对应的直径，理解对称轴与直径的关系，体会直径有无数条。）
D.刚才，我们不仅研究了直径的特征，还谈到了直径和半径之间的关系，你能用一个含有字母的式子来表示出它们的关系吗？（d=2r或r=）
小结：通过刚才的研究，我们发现在同一个圆里，直径和半径有怎样的特点？
正因为如此，早在两千多年前，墨子就得出了这样一个结论（PPT出示）：圆，一中同长也。想一想，“一中”指的是什么？“同长”呢？
说得真好！“一中同长”就是说：圆虽然复杂，但只要几个数据就能确定它的大小？
【紧扣“用哪一个数据就能确定这个圆的大小”这样一个大问题，引导学生进行操作、验证、讨论、交流，在师生、生生的对话、辨析、阐释中，学生不仅能通过自己的研究发现“原来确定一个圆的大小，只要一个数据就够了”，也对有关圆的概念、特征、关系有了充分的把握。更为重要的是，让学生经历和体会认识事物的一般过程和方法，即从定性角度进行描述和从定量角度进行刻画，从而使这一板块的研究活动始终服务于对圆的特征的探索，对圆“一中同长”特性的体会，对认识事物一般方法的感受。】 三、画图应用
1.结合失败作品掌握画圆的方法。
研究完了圆，你会画圆吗？瞧，（展示两幅失败的作品）猜猜问题可能出在哪儿。
看来画圆也得有一些基本的方法，谁能给我们谈谈自己的经验？
（总结：手握柄，针固定，两脚距离不能变，轻转一圈画出圆。）
2.结合数据猜一猜。
画之前先猜一猜，（PPT出示：①号圆半径4厘米，②号圆直径6厘米，③号圆半径5厘米）哪个圆最大？哪个最小？
怎么数据最大画出的圆反而最小呢？（鼓励学生用不同的方法进行思考）
3.画圆。
请在作业纸上画出这三个圆，比一比，看谁画得又准确又快速。（指导学生标出圆心、半径和直径）
收集、展示学生的作品：
A.一起来看这一幅作品（分散的三个圆）你觉得他画得准确吗？谁有办法上来验证一下？（请一位学生验证，明确验证方法）
B.这里还收到一幅非常特别的作品，（出示同心圆）猜猜看，在画最大的圆时，他的圆规两脚张开了多少厘米？中间的圆呢？最小的这个呢？
看来，半径是多少，圆规的两脚就应该张开多大，这样才能准确地画出一个指定大小的圆。
【从反思失败的画圆作品，到概括地提炼正确的画圆方法，再到依据异质数据猜测画圆的结果，最终用自己的方式画出合适的圆，在这样一个更为综合、序列化的画圆活动中，不仅能更好地提升学生画圆的技能，发展学生的数学思维能力，还能再次印证学生之前的研究成果：只用一个数据就能确定圆的大小。】
四、图案联想
1.同心圆联想。
再继续看这幅图，它不仅画得漂亮，还能让我们联想到生活中的什么？
（学生想到靶子、水波、雷达波、光环等静态或动态的画面。）
瞧，抽象的数学图案，还能让我们联想到如此丰富的生活画面，孩子们，你们太有想象力了！
2.研究中的圆联想。
刚才研究圆时有同学画出了这幅图
（如右图），看着这幅图，你能想到生活中
的什么？
如果说这是自行车车轮，车轴在哪里？为什么要把车轴装在圆心上呢？装在别的地方行不行？比如装在这里呢？（出示偏移圆心后的图）谁能模拟一下，骑着这样的自行车在教室里转一圈？
在笑声中，我们也应该能感觉到，生活中的有些物品之所以要设计成圆，原来背后还有着深刻的数学原理啊！
【生活中有很多圆，借助第一板块学生研究圆、画圆时的两幅作品，引导学生将抽象的圆和生活中的圆建立起联系。这种“根据抽象的几何图形想象出所描述的实际物体”的要求，要比“根据具体的物体抽象出几何图形”有难度，但可以很好地提升学生的空间想象能力。同时，还能让学生进一步体会到：生活中有很多物品都设计成了圆形，这样的设计背后蕴藏着丰富的数学原理。】
五、数据猜测
老师也在生活中找了一些圆，想看看吗？是直接公布呢，还是挑战一下，根据一些线索来猜一猜？
1.猜半径为15厘米的圆。
先在你的直尺上找一找15厘米的长度，猜猜看，一个半径为15厘米的圆可能是什么？
（学生想到脸盆、小车轮、电风扇的面、钟面等。）
（PPT出示钟面）你在这个钟面上找到半径为15厘米的圆了吗？指一指。
你还能找到其他的圆吗？
A.找出数字里的圆、表示分的点构成的圆、钟面中心的圆等完整的圆。
B.比划出由60个小点构成的不完整的圆。
如果这些点再画得满一些，再满一些，就成了一个圆，的确，圆在本质上就是点运动的轨迹。
C.说出或画出三针运动后针尖画出的圆。
秒针的针尖转一圈能有圆吗？分针呢？时针呢？
这三个圆哪个最大？哪个最小？为什么？
这再次说明，什么能决定圆的大小？
那什么能决定圆的位置呢？
2.猜直径为135米的圆。
第二个圆，它的直径达到了135米，1米有这么长，（比划1米的长度）直径为135米的圆会是什么呢？
（学生猜到建筑中的圆、湖泊、摩天轮等。）
（PPT出示伦敦眼）这是我和我儿子一起去伦敦乘坐伦敦眼时拍下的照片。当时，我儿子还问了我一个问题：如果我们坐在相隔最远的两个位置上，该怎么办呢？比如我坐在这里，那我儿子应该坐在哪儿？
是这儿吗？这儿？（指几个错误的位置）
到底在哪里？
其实我们俩的位置如果连起来一定是什么？
这样看来，在同一个圆里，怎样的线段最长？
3.全课总结。
即使是一个普通的生活常识，也蕴藏着深刻的数学原理。在生活中，只要我们多留心、多观察，相信我们对圆的认识还会不断深入下去。
【通过两个抽象的数据，引导学生对数学和生活之间的关联进行充分的研究。让学生通过一个数据思考“可能是生活中的什么”，不仅需要学生充分调动自己刚刚获得的对半径、直径的准确认知，还要求学生对相关长度有正确的把握，能灵活地根据需要对半径、直径进行转换，并不断在形象和抽象间、在生活经验和抽象数据间进行甄选，才能找到适配的答案。而在学生寻找到这些答案后，找出所有的圆的过程，找到两个相距最远位置的活动，则会有效地提升学生的数学想象和思考能力。】
（作者单位：南京市北京东路小学）