论文部分内容阅读
一、什么是幻方
幻方又称为魔方，宋代数学家杨辉称之为纵横图。幻方的一般定义为：将从1到[n2]的自然数排列成纵横各有[n]个数的方阵，使每行、每列及两条对角线上的[n]个数的和都等于[n(n2 1)2]，这样的方阵称为[n]阶幻方。从组合数学的角度来定义幻方是：将从[a0]开始的[n2]个复数分成[n]个数组（[n]为大于2的整数），如果在每一数组内，相邻两元素之差均为[k]，各相邻数组之间的首尾元素之差均为[t]（[a0]、[k]、[t]均为复数），采用这[n]个数构成的[n]阶方阵，如果其每行、每列及两条对角线上的[n]个元素之和均相等，为S，则称该方阵为[n]阶幻方，并称S为该幻方的幻和。传统的自然数幻方只是这种广义幻方在[a0]、[k]、[t]均为1时的一个子集。
二、“洛书”传说
洛书又称龟书，是中国古代流传下来的一幅神秘图案，其结构是“载九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”（如图1）。相传，大禹治水时救下了一只大乌龟，并把它放入了洛河。不久，洛阳城大雾笼罩，大禹率领手下到洛河岸边察看水情，忽然洛河里升起五彩宝光，大雾烟消云散，原来宝光正是从乌龟背上的一块玉版放出来的。大禹认为，乌龟是洛河之神，为了报答自己，特将此玉版献上，因此称这块玉版为“洛书”。
在洛书上有一幅奇异的图案（如图2），大禹不解其意，后来经过反复揣摸，整理出九个方面的内容，有历法、种植谷物、制定法令等。
从数学的观点来看，如果将洛书图案中的点数写成数字，便是一则标准的三阶幻方（如图3）。
三、“洛书”的构造
“洛书”是如何构造的呢？杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结的方法如下：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”意思是：先把1-9九个数依次斜排（如图4）；再把上1下9两数对调，左7右3两数对调（如图5）；最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如图6），这样“洛书”就构造好了。
这一方法是我国古代数学研究的杰出成就。其实，还有一种构造法也值得我们借鉴：先把1、2、3、4、5、6、7、8、9依次写下来（如图7）；中间的5不动，其他八个数字分别按顺时针挪动一个位置（如图8）；再把上下两数和左右两数分别对调，也能构造出和图3一样的“洛书”。
图7 图8
“洛书”是奇数阶幻方，还可以按奇数阶幻方的构造方法构造，口诀是：“1”坐边中间，斜着把数填；出边填对面，遇数往下旋；出角仅一次，转回下格间。即如图9：①先在最上方的那条边中间填第一个数1（其实填在哪条边的中间都行）。②再填第二个数2，向右上方斜着填，出边了，出边就填在它的对面。③填3时，也向右上方斜着填，又出边了，填在它的对面。④填4时，也向右上方斜着填，遇数了，遇数向下旋，接着填5、6。⑤填7时，出角了，转回下面的格里。⑥用同样的方法填8、9。
图9
（未完待续）
幻方又称为魔方，宋代数学家杨辉称之为纵横图。幻方的一般定义为：将从1到[n2]的自然数排列成纵横各有[n]个数的方阵，使每行、每列及两条对角线上的[n]个数的和都等于[n(n2 1)2]，这样的方阵称为[n]阶幻方。从组合数学的角度来定义幻方是：将从[a0]开始的[n2]个复数分成[n]个数组（[n]为大于2的整数），如果在每一数组内，相邻两元素之差均为[k]，各相邻数组之间的首尾元素之差均为[t]（[a0]、[k]、[t]均为复数），采用这[n]个数构成的[n]阶方阵，如果其每行、每列及两条对角线上的[n]个元素之和均相等，为S，则称该方阵为[n]阶幻方，并称S为该幻方的幻和。传统的自然数幻方只是这种广义幻方在[a0]、[k]、[t]均为1时的一个子集。
二、“洛书”传说
洛书又称龟书，是中国古代流传下来的一幅神秘图案，其结构是“载九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”（如图1）。相传，大禹治水时救下了一只大乌龟，并把它放入了洛河。不久，洛阳城大雾笼罩，大禹率领手下到洛河岸边察看水情，忽然洛河里升起五彩宝光，大雾烟消云散，原来宝光正是从乌龟背上的一块玉版放出来的。大禹认为，乌龟是洛河之神，为了报答自己，特将此玉版献上，因此称这块玉版为“洛书”。
在洛书上有一幅奇异的图案（如图2），大禹不解其意，后来经过反复揣摸，整理出九个方面的内容，有历法、种植谷物、制定法令等。
从数学的观点来看，如果将洛书图案中的点数写成数字，便是一则标准的三阶幻方（如图3）。
三、“洛书”的构造
“洛书”是如何构造的呢？杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结的方法如下：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”意思是：先把1-9九个数依次斜排（如图4）；再把上1下9两数对调，左7右3两数对调（如图5）；最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如图6），这样“洛书”就构造好了。
这一方法是我国古代数学研究的杰出成就。其实，还有一种构造法也值得我们借鉴：先把1、2、3、4、5、6、7、8、9依次写下来（如图7）；中间的5不动，其他八个数字分别按顺时针挪动一个位置（如图8）；再把上下两数和左右两数分别对调，也能构造出和图3一样的“洛书”。
图7 图8
“洛书”是奇数阶幻方，还可以按奇数阶幻方的构造方法构造，口诀是：“1”坐边中间，斜着把数填；出边填对面，遇数往下旋；出角仅一次，转回下格间。即如图9：①先在最上方的那条边中间填第一个数1（其实填在哪条边的中间都行）。②再填第二个数2，向右上方斜着填，出边了，出边就填在它的对面。③填3时，也向右上方斜着填，又出边了，填在它的对面。④填4时，也向右上方斜着填，遇数了，遇数向下旋，接着填5、6。⑤填7时，出角了，转回下面的格里。⑥用同样的方法填8、9。
图9
（未完待续）