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大凡上公开课的老师都有磨课的经历。磨，是在大致框架上的精益求精，打磨细节自然便是主要的方式。
2009年11月，笔者受邀参加某教研活动，执教“交换律”一课。在各种运算定律中，交换律比较简单，学生在以前的学习过程中都有浅显的认知基础，只是没有明确的概括。本节课的教学，是要将学生以前比较零散的感性认识经过整理、明晰后上升为理性认识，而如何让学生有效地经历这一过程是我考虑和设计的重点。
一、课前猜谜，引入课堂
二、探寻定律，形成认识
(一)加法交换律
1 创设情境(教材P56)，提出问题并列式解答。
2 寻找相同特征的等式。
3 归纳并选择用字母表示：a b=b a，这是加法交换律。
(二)乘法交换律
1 通过适当联想，形成新的猜想：减法、乘法和除法中是否也有交换律?
2 举例验证猜想。
学生交流，教师适时加以补充说明。
3 得出结论：用a×b=b×a表示，叫做乘法交换律。
4 板书课题：交换律
三、应用推广，拓展认识
1 运用交换律填空。
2 下面的等式运用交换律了吗?请说明理由。
四、课堂总结，提炼认识
预案理清了教学的大方向，安排课前猜谜、创设活动情境，学生学习兴趣浓厚，气氛活跃，参与度高；组织了学生经历“归纳”和“猜想、验证、结论”的过程，学生的数学思维活动也有一定的机会。但更深入地琢磨，数学的意味仍显不足。我知道，在细节上再考究些，才能向数学的更深处漫溯。
一、情境：有情趣重要。有理趣也很重要
起初预案中课前与学生交流采用“猜数学用语”，旨在激趣，营造氛围，为新授开个好头。内容是：垂钓(等手)，剃头(减法或除法)，判刑(乘法)，从严判刑(加法)。试教中学生积极性的确很高，但仅此而已，似乎总觉得有点遗憾。
在数的不同运算中，交换数的位置，有些结果不变，有些结果会发生变化；有趣的是，在生活中就有这样的类似情况，交换两个动作，结果有的改变，有的没有改变。于是，改变原来的预设，我和学生玩起“喊口令”的游戏。
师：第一个动作是“向前走2步”，第二个动作是“向前走1步”。和起初的位置相比，结果怎样?
生(行动后)：一共向前走了3步。
师：现在回到原处，把这两个动作交换一下，先是——
生(边说边走)：向前走1步。
师：然后呢?
生：向前走2步。
师：结果——
生：还是向前走了3步，位置没有改变。
师：改变两个动作的先后顺序，结果不变。再来两个口令，第一个动作是“向前走3步”，第二个动作是“向后转”。然后改变这两个口令的先后顺序再走一次，你们发现什么?
生(行动后)：这两个口令交换后最后站的位置不一样了。
师：好，今天的数学课我们着重来研究变化中的不变。
教育家夸美纽斯说：“提供一种既令人愉快又有用的东西，当学生的思想经过这样的准备之后，他们就会以极大的注意力去学习。”这份“准备”不仅是在情感和兴趣上的，如果“准备”中还蕴含所教内容的深层次联系，为后面的新课教学埋下伏笔，那就有了理性的意味。小游戏让孩子们在变化中体会结果的变与不变，而概括交换律，是在变化中寻找不变的规律，因此，小游戏虽然耗时不多，但却利于孩子们循着游戏中浅白的理，向着数学的理性认识迈进，精致化的生活经验无疑更有利于数学理性知识的生成。
二、知识：探究感悟重要，融会贯通也很重要
在探寻加法交换律时，根据教材安排，结合学生体育活动情境，来列式解决“跳绳的有多少人”，而后得出关于交换律特征的实例“28 17=17 28”。在情境中思辨数量关系，得出实例，理解为什么这样的算式会相等，然后请学生再举例，最后进行归纳，数学气息也是很足。
“数学味是数学和儿童间达成的和谐状态”。就数学视角来说，让学生充分经历交换律的举例归纳过程应是不可或缺的安排，而就儿童来说，任何数学的学习最终都应达到理解程度——新学的知识和已有的旧知间实现融会贯通。只有这样的知识结构，才能生长出新知识，才具有发展的可能性。因此，在探究完成后按惯例安排“应用推广，拓展认识”之前，增加“联系旧知，贯通认识”环节，将教学的触角真切地触及孩子们已有的认知结构，提高他们的数学理解程度。
师：其实，加法交换律和乘法交换律都是我们的老朋友了，想一想，什么时候曾经用过它?(课件呈现)
生1：看一幅图写两个加法算式。
生2：一句乘法口诀可以计算两道乘法算式。
生3：加法验算时用过。
师：有何感想?
生1：数学知识是有联系的。
生2：加法可以用交换两个加数的位置来验算。乘法也可以。
回顾已学三年中对加法交换律和乘法交换律的接触，这些尤为熟悉、简单、表浅的数学知识成了极好的素材，是对知识的回顾，也是对认识的补充，更是新旧知识的一次有效贯通。
知识的融会贯通，不仅仅在于引导学生自我反思调整已有的认知结构，还在于在运用中设置新的冲突，促进认知的触角不断拓展。
在明了数学知识“从何而来”之后，还要适时点出又将“走向何处”。当然，这种处理不必浓墨重彩，只要点到为止。由此，不同于初次试教：一是在验证减法和除法是否有交换律时，说明被减数小于减数要到中学才学，被除数小于除数到五年级也可以计算；二是课中还实现了对交换律的推广和应用的提示：
2 下面的等式运用交换律了吗?请说明理由，
(1)82 0=0 82(由“0”的特殊联想到分数和小数。)
(2)75×8=8x75
(3)16×4=8×8
(4)48 73=37 84
3 脱式计算
60 58 40
60 40 58
(学生分组比赛，由比赛不公平想到：多个加数中也可以运用加法交换律来实现简便计算。)
三、过程：充分经历重要，回顾品味也很重要
知识的学习不是简单的“搭积木”的过程，而是一个生态式“孕育”的过程。因此，在起初的课堂中，探寻加法交换律时，让学生举出四五个实例之后便进行不完全归纳，似乎也有观察、比较和提炼，也有引领学生经历数学知识产生的过程，但抽象概括是教师提出的要求。终究是种遗憾。这一过程无疑要厚实，而且抽象概括更应该是孩子们主动的生命要求。
师：认真观察大家写的这些等式，虽然各不相同，但是都有一个共同的规律，它是什么呢?
生：把相加的数交换之后，它们的结果相等。
师：交换了什么?在加法中的结果可以说成——和，谁来再说一下?
生：交换加数的位置，它们的和不变， 师：说得真好。两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。像具有这样的规律的等式你们还能写吗?能写出多少个?
生(很自信)：能写，可以写无数个。
师：看来我们这辈子都无法写完，那怎么办?
生(有点兴奋)：用省略号表示。
师：是个不错的办法。(板书：……)虽然可以表示出符合这一规律的等式有无数个，但却看不出是什么规律。有更好的办法吗?想一想，也可以商量商量。
学生思考后讨论。
生：我用a b=b a表示。
师：说说你的想法。
生：用a表示加数，b也表示加数，交换之后还是结果相等。
师：如此好的办法，真不简单，掌声送给你。
学生鼓掌。
师：这位同学是用字母来表示的，还有其他办法吗?
生：□ △=△ □。正方形表示第一个加数，三角形表示第二个加数，交换加数的位置，和不变。
生：我 们=们 我。意思和他们说的一样。
师：办法真多，还可以用图形、汉字来表示，不管何种方法都概括了这一规律。你们更欣赏哪种办法?
生：a b=b a。因为简洁，容易记住。
学生都有同感。
探寻数学知识是需要研究方法的。课堂中让学生经历“归纳”以及“猜想、验证、结论”的不同过程，感悟数学研究的一般方法，虽已凸显出数学研究的“味道”，但学生在厚实的经历中是否能准确认识到这是数学研究的方法，依然值得讨论。因此，在得出“加法交换律”与“乘法交换律”之后，增设回顾两者的研究方法有什么不一样这一环节，通过对比增加感知的强度，让学生再一次充分、真切、鲜活、贴近地感受“归纳”以及“猜想、验证、结论”两种数学研究的一般方法。
师：对照板书，回顾刚才我们在探寻加法交换律和乘法交换律的过程有什么不一样吗?小组内讨论交流。
生1：加法交换律是举了许多的例子。
生2：从写不完的例子中找到了规律，然后表示出这个规律。
师：从许多实例中概括归纳出结论。那乘法交换律呢?
生：乘法交换律是通过提出猜想，然后经过验证得到的。
师：这两种不同的方法都是我们研究数学的一般方法。
数学课要有“数学味”，就是要展示数学本质的一面，让学生经历观察、分析、猜测、实验、判断、调整、优化等一系列数学思维活动，将隐含于一切教学内容背后的数学思考、数学观念和数学内涵充分激活，为学生所触及、所分享，成为数学文化的现实力量。然而我们的教学往往只注重让学生亲身经历，却忽视了经历过程是为了获得准确的体验和认识。因为有些人经历了，也只是过了一遍而已，并不能从中体会到什么；即使有体会，可能也不是经历所要表达的准确意旨。所以，在引导学生亲历知识产生过程之后，应该给予必要的提炼、概括，浓郁醇厚的“数学味”就是厚实经历、敞亮体验、点明认识、凸显内涵。
磨课，在看似熟悉而又与众不同的细节处理上，往数学的本质方面，往精细的数学化过程方面，往儿童的数学理解方面，往孩子们的数学素养养成方面，多考量一些，组织得更细微一些，数学的意味便自然更敞亮一些。
2009年11月，笔者受邀参加某教研活动，执教“交换律”一课。在各种运算定律中，交换律比较简单，学生在以前的学习过程中都有浅显的认知基础，只是没有明确的概括。本节课的教学，是要将学生以前比较零散的感性认识经过整理、明晰后上升为理性认识，而如何让学生有效地经历这一过程是我考虑和设计的重点。
一、课前猜谜，引入课堂
二、探寻定律，形成认识
(一)加法交换律
1 创设情境(教材P56)，提出问题并列式解答。
2 寻找相同特征的等式。
3 归纳并选择用字母表示：a b=b a，这是加法交换律。
(二)乘法交换律
1 通过适当联想，形成新的猜想：减法、乘法和除法中是否也有交换律?
2 举例验证猜想。
学生交流，教师适时加以补充说明。
3 得出结论：用a×b=b×a表示，叫做乘法交换律。
4 板书课题：交换律
三、应用推广，拓展认识
1 运用交换律填空。
2 下面的等式运用交换律了吗?请说明理由。
四、课堂总结，提炼认识
预案理清了教学的大方向，安排课前猜谜、创设活动情境，学生学习兴趣浓厚，气氛活跃，参与度高；组织了学生经历“归纳”和“猜想、验证、结论”的过程，学生的数学思维活动也有一定的机会。但更深入地琢磨，数学的意味仍显不足。我知道，在细节上再考究些，才能向数学的更深处漫溯。
一、情境：有情趣重要。有理趣也很重要
起初预案中课前与学生交流采用“猜数学用语”，旨在激趣，营造氛围，为新授开个好头。内容是：垂钓(等手)，剃头(减法或除法)，判刑(乘法)，从严判刑(加法)。试教中学生积极性的确很高，但仅此而已，似乎总觉得有点遗憾。
在数的不同运算中，交换数的位置，有些结果不变，有些结果会发生变化；有趣的是，在生活中就有这样的类似情况，交换两个动作，结果有的改变，有的没有改变。于是，改变原来的预设，我和学生玩起“喊口令”的游戏。
师：第一个动作是“向前走2步”，第二个动作是“向前走1步”。和起初的位置相比，结果怎样?
生(行动后)：一共向前走了3步。
师：现在回到原处，把这两个动作交换一下，先是——
生(边说边走)：向前走1步。
师：然后呢?
生：向前走2步。
师：结果——
生：还是向前走了3步，位置没有改变。
师：改变两个动作的先后顺序，结果不变。再来两个口令，第一个动作是“向前走3步”，第二个动作是“向后转”。然后改变这两个口令的先后顺序再走一次，你们发现什么?
生(行动后)：这两个口令交换后最后站的位置不一样了。
师：好，今天的数学课我们着重来研究变化中的不变。
教育家夸美纽斯说：“提供一种既令人愉快又有用的东西，当学生的思想经过这样的准备之后，他们就会以极大的注意力去学习。”这份“准备”不仅是在情感和兴趣上的，如果“准备”中还蕴含所教内容的深层次联系，为后面的新课教学埋下伏笔，那就有了理性的意味。小游戏让孩子们在变化中体会结果的变与不变，而概括交换律，是在变化中寻找不变的规律，因此，小游戏虽然耗时不多，但却利于孩子们循着游戏中浅白的理，向着数学的理性认识迈进，精致化的生活经验无疑更有利于数学理性知识的生成。
二、知识：探究感悟重要，融会贯通也很重要
在探寻加法交换律时，根据教材安排，结合学生体育活动情境，来列式解决“跳绳的有多少人”，而后得出关于交换律特征的实例“28 17=17 28”。在情境中思辨数量关系，得出实例，理解为什么这样的算式会相等，然后请学生再举例，最后进行归纳，数学气息也是很足。
“数学味是数学和儿童间达成的和谐状态”。就数学视角来说，让学生充分经历交换律的举例归纳过程应是不可或缺的安排，而就儿童来说，任何数学的学习最终都应达到理解程度——新学的知识和已有的旧知间实现融会贯通。只有这样的知识结构，才能生长出新知识，才具有发展的可能性。因此，在探究完成后按惯例安排“应用推广，拓展认识”之前，增加“联系旧知，贯通认识”环节，将教学的触角真切地触及孩子们已有的认知结构，提高他们的数学理解程度。
师：其实，加法交换律和乘法交换律都是我们的老朋友了，想一想，什么时候曾经用过它?(课件呈现)
生1：看一幅图写两个加法算式。
生2：一句乘法口诀可以计算两道乘法算式。
生3：加法验算时用过。
师：有何感想?
生1：数学知识是有联系的。
生2：加法可以用交换两个加数的位置来验算。乘法也可以。
回顾已学三年中对加法交换律和乘法交换律的接触，这些尤为熟悉、简单、表浅的数学知识成了极好的素材，是对知识的回顾，也是对认识的补充，更是新旧知识的一次有效贯通。
知识的融会贯通，不仅仅在于引导学生自我反思调整已有的认知结构，还在于在运用中设置新的冲突，促进认知的触角不断拓展。
在明了数学知识“从何而来”之后，还要适时点出又将“走向何处”。当然，这种处理不必浓墨重彩，只要点到为止。由此，不同于初次试教：一是在验证减法和除法是否有交换律时，说明被减数小于减数要到中学才学，被除数小于除数到五年级也可以计算；二是课中还实现了对交换律的推广和应用的提示：
2 下面的等式运用交换律了吗?请说明理由，
(1)82 0=0 82(由“0”的特殊联想到分数和小数。)
(2)75×8=8x75
(3)16×4=8×8
(4)48 73=37 84
3 脱式计算
60 58 40
60 40 58
(学生分组比赛，由比赛不公平想到：多个加数中也可以运用加法交换律来实现简便计算。)
三、过程：充分经历重要，回顾品味也很重要
知识的学习不是简单的“搭积木”的过程，而是一个生态式“孕育”的过程。因此，在起初的课堂中，探寻加法交换律时，让学生举出四五个实例之后便进行不完全归纳，似乎也有观察、比较和提炼，也有引领学生经历数学知识产生的过程，但抽象概括是教师提出的要求。终究是种遗憾。这一过程无疑要厚实，而且抽象概括更应该是孩子们主动的生命要求。
师：认真观察大家写的这些等式，虽然各不相同，但是都有一个共同的规律，它是什么呢?
生：把相加的数交换之后，它们的结果相等。
师：交换了什么?在加法中的结果可以说成——和，谁来再说一下?
生：交换加数的位置，它们的和不变， 师：说得真好。两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。像具有这样的规律的等式你们还能写吗?能写出多少个?
生(很自信)：能写，可以写无数个。
师：看来我们这辈子都无法写完，那怎么办?
生(有点兴奋)：用省略号表示。
师：是个不错的办法。(板书：……)虽然可以表示出符合这一规律的等式有无数个，但却看不出是什么规律。有更好的办法吗?想一想，也可以商量商量。
学生思考后讨论。
生：我用a b=b a表示。
师：说说你的想法。
生：用a表示加数，b也表示加数，交换之后还是结果相等。
师：如此好的办法，真不简单，掌声送给你。
学生鼓掌。
师：这位同学是用字母来表示的，还有其他办法吗?
生：□ △=△ □。正方形表示第一个加数，三角形表示第二个加数，交换加数的位置，和不变。
生：我 们=们 我。意思和他们说的一样。
师：办法真多，还可以用图形、汉字来表示，不管何种方法都概括了这一规律。你们更欣赏哪种办法?
生：a b=b a。因为简洁，容易记住。
学生都有同感。
探寻数学知识是需要研究方法的。课堂中让学生经历“归纳”以及“猜想、验证、结论”的不同过程，感悟数学研究的一般方法，虽已凸显出数学研究的“味道”，但学生在厚实的经历中是否能准确认识到这是数学研究的方法，依然值得讨论。因此，在得出“加法交换律”与“乘法交换律”之后，增设回顾两者的研究方法有什么不一样这一环节，通过对比增加感知的强度，让学生再一次充分、真切、鲜活、贴近地感受“归纳”以及“猜想、验证、结论”两种数学研究的一般方法。
师：对照板书，回顾刚才我们在探寻加法交换律和乘法交换律的过程有什么不一样吗?小组内讨论交流。
生1：加法交换律是举了许多的例子。
生2：从写不完的例子中找到了规律，然后表示出这个规律。
师：从许多实例中概括归纳出结论。那乘法交换律呢?
生：乘法交换律是通过提出猜想，然后经过验证得到的。
师：这两种不同的方法都是我们研究数学的一般方法。
数学课要有“数学味”，就是要展示数学本质的一面，让学生经历观察、分析、猜测、实验、判断、调整、优化等一系列数学思维活动，将隐含于一切教学内容背后的数学思考、数学观念和数学内涵充分激活，为学生所触及、所分享，成为数学文化的现实力量。然而我们的教学往往只注重让学生亲身经历，却忽视了经历过程是为了获得准确的体验和认识。因为有些人经历了，也只是过了一遍而已，并不能从中体会到什么；即使有体会，可能也不是经历所要表达的准确意旨。所以，在引导学生亲历知识产生过程之后，应该给予必要的提炼、概括，浓郁醇厚的“数学味”就是厚实经历、敞亮体验、点明认识、凸显内涵。
磨课，在看似熟悉而又与众不同的细节处理上，往数学的本质方面，往精细的数学化过程方面，往儿童的数学理解方面，往孩子们的数学素养养成方面，多考量一些，组织得更细微一些，数学的意味便自然更敞亮一些。