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[摘 要] 数学活动经验一般是指在经历一系列有效的数学活动后，学习个体所留下的体验和感悟. 帮助学生积累数学活动经验，已经成为小学数学教学最直接的一种目标和追求. 学习者只有经历丰富的数学活动，才能积累起初步的数学活动经验；当积累了一定的初步的数学活动经验时，需要进行深入思考或反思，形成自身的数学学习感悟，使数学活动经验得以提升；而个体具有活动经验，需要通过学习者之间经验的交流和分享.
[关键词] 数学活动经验；经历；思考；交流
我们知道，数学活动经验一般是指在经历一系列有效的数学活动之后，学习个体所留下的体验和感悟. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》不仅将“基本活动经验”与“基础知识”“基本技能”“基本思想”并列组成“四基”目标，在“实施建议”中还特别强调：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志. 帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果. ”这充分表明，从属于学生自己的“主观性知识”，即那些在学习过程中产生的、带有鲜明个体认知特征的数学活动经验，被提到了前所未有的高度，成为小学数学教学最直接的一种目标和追求. 如何在数学课堂教学中帮助学生积累基本活动经验，笔者以本校校本数学课程 “奇妙的图形密铺”为例，作了探索与实践的尝试.
在经历中获得：积累数学活动
经验的“源泉”
人们一般对“经验”这一概念的解释是：作为名词，是指实践得来的知识或技能；作为动词，是指经历、体验. 换言之，“经验”是以静态与动态两种状态存在着，而两种状态是密不可分的. 史宁中认为：“基本活动经验是指学生亲身或间接经历了活动过程而获得的经验. ”这就是说，有了经历，不一定会有经验；然而，没有经历数学活动，就谈不上获得数学活动经验. 教学中的数学活动经历，从方式上大致可以有下面几种.
1. 经历观察活动，积累活动经验
观察是一种有目的、有计划、主动并由思维参与的知觉过程，它是一种比随意注意更为自觉的积极感知觉过程. 小学数学教学中有目的、有计划地组织儿童的观察活动，是积累丰富的数学活动感性经验的重要途径.
在“奇妙的图形密铺”一课中，尽管学生对于“密铺”很陌生，但因为密铺现象在现实生活中运用广泛，学生在日常生活中其实已经或多或少地见到过密铺现象. 所以，笔者给学生提供了以下砖头砌墙、铺设地面和瓷砖贴墙等三幅图片：
通过以上图片，有效地激活、唤醒学生已有的生活经验. 笔者直截了当地告诉学生：这样的墙砖或瓷砖铺地就是密铺. 然后引导学生仔细观察课堂所提供的三幅图片，启发学生思考：达到怎样的要求就是密铺？带着观察目的，学生饶有兴趣，反复观察图片现象，有了明确的感知. 有的说：“我觉得密铺就要没有缝隙地铺. ”有的说：“密铺应当要不重叠地铺. ”学生通过自己的观察，道出了密铺的特征. 这时笔者并不急于揭示密铺的概念，而是继续引导学生阅读教材：“那么，到底什么是密铺呢？请到教材上去寻找答案吧. ”于是学生迫不及待地带着各自的观察经验，自学教材，自我提炼出密铺概念中应有的“无缝隙”“不重叠”“同一平面上”三个内涵特征.
以上观察教学，学生不但积累了丰富、具体的关于密铺的感性活动经验，而且学得主动、生动而富有个性. 它得益于精心组织了有目的、有价值的观察活动. 数学教师给学生提供图片形象刺激产生表象，引导学生从数学角度去观察、思考、发现，推动对密铺的认知生成，可以帮助学生积累基本活动经验，也为学生智慧的发展打开了“天窗”，提供了通道.
2. 经历操作活动，积累活动经验
儿童的思维往往是从动作开始的，亲身经历“做数学”的过程，容易积淀起丰富、具体可感的数学活动经验. 在“奇妙的图形密铺”课中，笔者精心设计了如下三次操作活动.
活动一：用长方形或正方形密铺. 通过观察长方形或正方形地砖密铺的演示，在学生明白密铺是怎么回事后，组织他们动手操作，用长方形或正方形在平面上铺一铺. 反馈回报学生多样化铺法的作品后，再组织交流：大家在铺的过程中都注意到了什么呢？学生争先恐后地说：“铺的过程中，不能有缝隙.”“也不能重叠. ”“还要铺在同一平面上.”动手操作活动使得学生经历“做数学（hands？摇on）”，深入把握密铺概念的三个要点，正面积累一定的活动经验.
活动二：寻找其他能密铺的平面图形. 在学生自己提出“除了长方形和正方形外，还有哪些图形能密铺”的问题的指引下，课堂依次提供了正三角形、平行四边形、等腰梯形、正五边形、正六边形和圆形这六种已学平面图形. 先引导学生作出猜测，再组织在小组内铺一铺进行验证性操作，最后再展示其作品得出结论. 这使学生亲身经历“提出猜想—操作验证—得出结论”这样一般科学研究的大致思考过程，在操作中容易验证：平行四边形、正三角形、等腰梯形和正六边形都能够实现密铺；圆形不能密铺. 猜测中争议最大的是正五边形，学生不遗余力、积极开动脑筋、努力寻找多种铺法，以下是部分铺法的展示：
学生最终发现，无论怎么铺，都不能做到无空隙、不重叠，最终得出了令人信服的结论：正五边形不能密铺. 智慧发端于动手，操作活动促使学生获得直观的感受和体验，而且操作活动有效地激发了学生的思维. 大家不由自主地边操作、边思考，不断找寻、尝试不同铺法，经历科学研究的一般思路，这样的活动经验积累是教师任何的主导讲解都不可替代的.
活动三：组合图形的密铺创作. 在学生认识了组合密铺后，笔者组织学生运用七巧板，选择组合中出现了不同的图形密铺. 现场作品展示如下：
开放性操作让学生在积累活动经验中，激发和培养了他们的创新意识和实践能力.
在思考中提升：积累数学活动
经验的“关键”
经历了数学活动，未必就能获得数学活动经验. 是否有学生思维的积极参与，这是积累活动经验的关键. 笔者认为：为了帮助学生有效地积累数学活动经验，需要精心设计有思维价值的问题，以引导学生从“直观”走向“抽象”；让学生活动后进行反思，可以引导他们从“经历”走向“经验”. 教师在数学活动组织中坚持抽象和反思的要求，能够确保学生在活动过程中积淀起切实的活动经验. 1. 设计有思维价值的问题，引导从“直观”走向“抽象”
组织直观观察和操作活动，是学生积累数学活动经验的重要途径. 但我们的教学如果仅仅停留在直观的层面上，学生的思维就不能得到有效的发展. 在直观的基础上，适时地通过有价值的问题引领学生进行抽象思维，学生才能积累起深刻的、更一般的思维活动经验.
本课教学，在探索一般的三角形和梯形能否密铺之前，学生已经通过操作积累起平行四边形能够密铺的经验. 而且，学生通过学习三角形和梯形面积公式的推导，在知识基础上具备两个完全一样的（即全等）三角形或梯形，可以转化成平行四边形的认知条件. 笔者认为，探索一般的三角形和梯形是否能密铺，是学生运用已有经验、积累新的思维活动经验、实现思维跨越的一个契机. 因此，教学中没有让学生用一般三角形和梯形进行直观操作，而是组织小组讨论：一般的三角形和梯形能密铺吗？为什么？这样的问题讨论，充分调集学生已有的活动和知识经验，学生可以根据两个完全一样的（全等）三角形或梯形，可以转化成平行四边形，平行四边形能够密铺，进而推理出一般的三角形和梯形也能够密铺. 抽象的思考过程让学生感悟，如果新的图形能够转化成研究过的能够密铺的图形，那么这种新图形也就能密铺. 学生领悟数学转化的重要思想方法，形成数学理性思维活动的经验，促进学生发展数学思维、提高数学素养.
2. 活动后组织学习反思，引导从“经历”走向“经验”
反思即反省、思考，即思考过往的行为过程，从中总结经验和教训. 我们教师获得教学经验，需要进行教学反思；同样，学生积累数学活动经验，也需要进行学习活动反思. 笔者在学生探究了哪些图形能密铺的活动之后，通过如下的两个问题，引导学生趁热打铁，对探究的活动过程展开反思：
①回顾一下，刚才我们是怎么得到正确结论的？这一问题，引领学生对探究活动过程进行梳理，以此明确“提出猜想—进行验证—得出结论” 的一般科学研究思路过程.
②探究的结果与各自原先的猜想相比，怎么样呢？想说点什么吗？对此，有的学生说，“我原来认为正五边形是能够密铺的，通过验证发现它是不能密铺的. ”有的说：“我原本就猜测平行四边形、正三角形、等腰梯形是能够密铺的，而圆形是不能密铺的. 通过验证我发现我的猜想是正确的；而正五边形和正六边形我没有把握，通过验证我知道了正六边形是能够密铺的，而五边形却不能密铺. ”还有学生说，“我们学习数学，光有猜想不行，动手验证很重要. 动手操作可以检验自己的猜想. ”由于个个动手操作探究，学生人人获得体验. 反思回顾中，大家畅所欲言，极富个性化的活动经验像绚丽的花儿一样美丽绽放.
上述成功教学经验表明，在数学课堂教学中，教师要组织学生对参与的数学活动进行讨论和总结，引导学生重新审视学习过程，反思自己是怎样发现问题和解决问题的，运用了哪些基本的思考方法. 纵向思考，总结经验和教训，有利于自我领悟、及时提升数学活动经验.
在交流中互动：积累数学活动
经验的“外援”
对学生获得和积累数学活动经验，有的教师存在认识误区，认为活动经验一定全部是学生亲历所为所得. 其实，亲历是学生获得数学活动经验的重要方式，但不是唯一方式. 学习者之间的互动交流，也能促进学习者个体活动经验的积累与丰富. 教师在组织数学学习活动时，一方面要关注学生的个体差异，关注学生独立思考的过程和结果；另一方面要让学生积极参与小组合作学习活动，积极参与全班交流活动，让每个人的经验和智慧都成为班上其他人的经验资源得以分享，以此也可丰富、充实各个学习者个体的数学活动经验.
在“奇妙的图形密铺”这一课教学实践中，笔者安排六人一组的小组合作学习方式. 由于课堂时间有限，在前两次操作活动中，每位学生只能选择其中的一种图形进行操作. 第三次操作活动，每位学生也只能选择七巧板中两种不同的图形进行密铺. 为了达到积累、交流、分享和丰富活动经验的目的，笔者精心地设计每次学习活动，明确具体要求. 比如，第三次活动要求提出以下几点：
①想一想：选哪两种不同的图形能够密铺？
②铺一铺：请用这两种不同的图形密铺在一个平面上.
③说一说：小组内互相欣赏作品，每幅作品是用哪两种不同的图形密铺的？为什么能够密铺？
以上的活动要求，既给每位学生提供了独立思考和个性化操作的空间，又通过操作之后的小组以及全班的欣赏与合作交流，使得每位学生都开阔了眼界、打开了思路：除了自己的选法以外，还有多种不同的选法，甚至发现选法和自己相同，但由于组合方式的不同密铺成的图案也就不同；进而又使得学生深刻地认识到，无论选择哪两种不同的图形、怎么组合，只要能够转化成已经研究过的能够密铺的图形，那么这两种图形组合就能够密铺. 显然，这样的经验形成，属于较高层次、有一定深度的活动经验积累，仅仅依靠个体操作和思考难以实现. 学生有经过相互欣赏、交流，在同伴互动中再认识、再思考、再发现，共享经验智慧，才能实现经验在交流中重组、在分享中倍增的良好课堂状态.
总之，学生个体只有经历丰富的数学活动，才能积累起初步的数学活动经验；当积累了一定的数学活动经验时，通过深入的思考或反思，以便形成自身的感悟，让数学活动经验得以提升；而有了个体的活动经验之后，还得通过学生之间经验的交流和分享，促进个体的经验之“树”更加枝繁叶茂，开出璀璨的智慧之花.
[关键词] 数学活动经验；经历；思考；交流
我们知道，数学活动经验一般是指在经历一系列有效的数学活动之后，学习个体所留下的体验和感悟. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》不仅将“基本活动经验”与“基础知识”“基本技能”“基本思想”并列组成“四基”目标，在“实施建议”中还特别强调：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志. 帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果. ”这充分表明，从属于学生自己的“主观性知识”，即那些在学习过程中产生的、带有鲜明个体认知特征的数学活动经验，被提到了前所未有的高度，成为小学数学教学最直接的一种目标和追求. 如何在数学课堂教学中帮助学生积累基本活动经验，笔者以本校校本数学课程 “奇妙的图形密铺”为例，作了探索与实践的尝试.
在经历中获得：积累数学活动
经验的“源泉”
人们一般对“经验”这一概念的解释是：作为名词，是指实践得来的知识或技能；作为动词，是指经历、体验. 换言之，“经验”是以静态与动态两种状态存在着，而两种状态是密不可分的. 史宁中认为：“基本活动经验是指学生亲身或间接经历了活动过程而获得的经验. ”这就是说，有了经历，不一定会有经验；然而，没有经历数学活动，就谈不上获得数学活动经验. 教学中的数学活动经历，从方式上大致可以有下面几种.
1. 经历观察活动，积累活动经验
观察是一种有目的、有计划、主动并由思维参与的知觉过程，它是一种比随意注意更为自觉的积极感知觉过程. 小学数学教学中有目的、有计划地组织儿童的观察活动，是积累丰富的数学活动感性经验的重要途径.
在“奇妙的图形密铺”一课中，尽管学生对于“密铺”很陌生，但因为密铺现象在现实生活中运用广泛，学生在日常生活中其实已经或多或少地见到过密铺现象. 所以，笔者给学生提供了以下砖头砌墙、铺设地面和瓷砖贴墙等三幅图片：
通过以上图片，有效地激活、唤醒学生已有的生活经验. 笔者直截了当地告诉学生：这样的墙砖或瓷砖铺地就是密铺. 然后引导学生仔细观察课堂所提供的三幅图片，启发学生思考：达到怎样的要求就是密铺？带着观察目的，学生饶有兴趣，反复观察图片现象，有了明确的感知. 有的说：“我觉得密铺就要没有缝隙地铺. ”有的说：“密铺应当要不重叠地铺. ”学生通过自己的观察，道出了密铺的特征. 这时笔者并不急于揭示密铺的概念，而是继续引导学生阅读教材：“那么，到底什么是密铺呢？请到教材上去寻找答案吧. ”于是学生迫不及待地带着各自的观察经验，自学教材，自我提炼出密铺概念中应有的“无缝隙”“不重叠”“同一平面上”三个内涵特征.
以上观察教学，学生不但积累了丰富、具体的关于密铺的感性活动经验，而且学得主动、生动而富有个性. 它得益于精心组织了有目的、有价值的观察活动. 数学教师给学生提供图片形象刺激产生表象，引导学生从数学角度去观察、思考、发现，推动对密铺的认知生成，可以帮助学生积累基本活动经验，也为学生智慧的发展打开了“天窗”，提供了通道.
2. 经历操作活动，积累活动经验
儿童的思维往往是从动作开始的，亲身经历“做数学”的过程，容易积淀起丰富、具体可感的数学活动经验. 在“奇妙的图形密铺”课中，笔者精心设计了如下三次操作活动.
活动一：用长方形或正方形密铺. 通过观察长方形或正方形地砖密铺的演示，在学生明白密铺是怎么回事后，组织他们动手操作，用长方形或正方形在平面上铺一铺. 反馈回报学生多样化铺法的作品后，再组织交流：大家在铺的过程中都注意到了什么呢？学生争先恐后地说：“铺的过程中，不能有缝隙.”“也不能重叠. ”“还要铺在同一平面上.”动手操作活动使得学生经历“做数学（hands？摇on）”，深入把握密铺概念的三个要点，正面积累一定的活动经验.
活动二：寻找其他能密铺的平面图形. 在学生自己提出“除了长方形和正方形外，还有哪些图形能密铺”的问题的指引下，课堂依次提供了正三角形、平行四边形、等腰梯形、正五边形、正六边形和圆形这六种已学平面图形. 先引导学生作出猜测，再组织在小组内铺一铺进行验证性操作，最后再展示其作品得出结论. 这使学生亲身经历“提出猜想—操作验证—得出结论”这样一般科学研究的大致思考过程，在操作中容易验证：平行四边形、正三角形、等腰梯形和正六边形都能够实现密铺；圆形不能密铺. 猜测中争议最大的是正五边形，学生不遗余力、积极开动脑筋、努力寻找多种铺法，以下是部分铺法的展示：
学生最终发现，无论怎么铺，都不能做到无空隙、不重叠，最终得出了令人信服的结论：正五边形不能密铺. 智慧发端于动手，操作活动促使学生获得直观的感受和体验，而且操作活动有效地激发了学生的思维. 大家不由自主地边操作、边思考，不断找寻、尝试不同铺法，经历科学研究的一般思路，这样的活动经验积累是教师任何的主导讲解都不可替代的.
活动三：组合图形的密铺创作. 在学生认识了组合密铺后，笔者组织学生运用七巧板，选择组合中出现了不同的图形密铺. 现场作品展示如下：
开放性操作让学生在积累活动经验中，激发和培养了他们的创新意识和实践能力.
在思考中提升：积累数学活动
经验的“关键”
经历了数学活动，未必就能获得数学活动经验. 是否有学生思维的积极参与，这是积累活动经验的关键. 笔者认为：为了帮助学生有效地积累数学活动经验，需要精心设计有思维价值的问题，以引导学生从“直观”走向“抽象”；让学生活动后进行反思，可以引导他们从“经历”走向“经验”. 教师在数学活动组织中坚持抽象和反思的要求，能够确保学生在活动过程中积淀起切实的活动经验. 1. 设计有思维价值的问题，引导从“直观”走向“抽象”
组织直观观察和操作活动，是学生积累数学活动经验的重要途径. 但我们的教学如果仅仅停留在直观的层面上，学生的思维就不能得到有效的发展. 在直观的基础上，适时地通过有价值的问题引领学生进行抽象思维，学生才能积累起深刻的、更一般的思维活动经验.
本课教学，在探索一般的三角形和梯形能否密铺之前，学生已经通过操作积累起平行四边形能够密铺的经验. 而且，学生通过学习三角形和梯形面积公式的推导，在知识基础上具备两个完全一样的（即全等）三角形或梯形，可以转化成平行四边形的认知条件. 笔者认为，探索一般的三角形和梯形是否能密铺，是学生运用已有经验、积累新的思维活动经验、实现思维跨越的一个契机. 因此，教学中没有让学生用一般三角形和梯形进行直观操作，而是组织小组讨论：一般的三角形和梯形能密铺吗？为什么？这样的问题讨论，充分调集学生已有的活动和知识经验，学生可以根据两个完全一样的（全等）三角形或梯形，可以转化成平行四边形，平行四边形能够密铺，进而推理出一般的三角形和梯形也能够密铺. 抽象的思考过程让学生感悟，如果新的图形能够转化成研究过的能够密铺的图形，那么这种新图形也就能密铺. 学生领悟数学转化的重要思想方法，形成数学理性思维活动的经验，促进学生发展数学思维、提高数学素养.
2. 活动后组织学习反思，引导从“经历”走向“经验”
反思即反省、思考，即思考过往的行为过程，从中总结经验和教训. 我们教师获得教学经验，需要进行教学反思；同样，学生积累数学活动经验，也需要进行学习活动反思. 笔者在学生探究了哪些图形能密铺的活动之后，通过如下的两个问题，引导学生趁热打铁，对探究的活动过程展开反思：
①回顾一下，刚才我们是怎么得到正确结论的？这一问题，引领学生对探究活动过程进行梳理，以此明确“提出猜想—进行验证—得出结论” 的一般科学研究思路过程.
②探究的结果与各自原先的猜想相比，怎么样呢？想说点什么吗？对此，有的学生说，“我原来认为正五边形是能够密铺的，通过验证发现它是不能密铺的. ”有的说：“我原本就猜测平行四边形、正三角形、等腰梯形是能够密铺的，而圆形是不能密铺的. 通过验证我发现我的猜想是正确的；而正五边形和正六边形我没有把握，通过验证我知道了正六边形是能够密铺的，而五边形却不能密铺. ”还有学生说，“我们学习数学，光有猜想不行，动手验证很重要. 动手操作可以检验自己的猜想. ”由于个个动手操作探究，学生人人获得体验. 反思回顾中，大家畅所欲言，极富个性化的活动经验像绚丽的花儿一样美丽绽放.
上述成功教学经验表明，在数学课堂教学中，教师要组织学生对参与的数学活动进行讨论和总结，引导学生重新审视学习过程，反思自己是怎样发现问题和解决问题的，运用了哪些基本的思考方法. 纵向思考，总结经验和教训，有利于自我领悟、及时提升数学活动经验.
在交流中互动：积累数学活动
经验的“外援”
对学生获得和积累数学活动经验，有的教师存在认识误区，认为活动经验一定全部是学生亲历所为所得. 其实，亲历是学生获得数学活动经验的重要方式，但不是唯一方式. 学习者之间的互动交流，也能促进学习者个体活动经验的积累与丰富. 教师在组织数学学习活动时，一方面要关注学生的个体差异，关注学生独立思考的过程和结果；另一方面要让学生积极参与小组合作学习活动，积极参与全班交流活动，让每个人的经验和智慧都成为班上其他人的经验资源得以分享，以此也可丰富、充实各个学习者个体的数学活动经验.
在“奇妙的图形密铺”这一课教学实践中，笔者安排六人一组的小组合作学习方式. 由于课堂时间有限，在前两次操作活动中，每位学生只能选择其中的一种图形进行操作. 第三次操作活动，每位学生也只能选择七巧板中两种不同的图形进行密铺. 为了达到积累、交流、分享和丰富活动经验的目的，笔者精心地设计每次学习活动，明确具体要求. 比如，第三次活动要求提出以下几点：
①想一想：选哪两种不同的图形能够密铺？
②铺一铺：请用这两种不同的图形密铺在一个平面上.
③说一说：小组内互相欣赏作品，每幅作品是用哪两种不同的图形密铺的？为什么能够密铺？
以上的活动要求，既给每位学生提供了独立思考和个性化操作的空间，又通过操作之后的小组以及全班的欣赏与合作交流，使得每位学生都开阔了眼界、打开了思路：除了自己的选法以外，还有多种不同的选法，甚至发现选法和自己相同，但由于组合方式的不同密铺成的图案也就不同；进而又使得学生深刻地认识到，无论选择哪两种不同的图形、怎么组合，只要能够转化成已经研究过的能够密铺的图形，那么这两种图形组合就能够密铺. 显然，这样的经验形成，属于较高层次、有一定深度的活动经验积累，仅仅依靠个体操作和思考难以实现. 学生有经过相互欣赏、交流，在同伴互动中再认识、再思考、再发现，共享经验智慧，才能实现经验在交流中重组、在分享中倍增的良好课堂状态.
总之，学生个体只有经历丰富的数学活动，才能积累起初步的数学活动经验；当积累了一定的数学活动经验时，通过深入的思考或反思，以便形成自身的感悟，让数学活动经验得以提升；而有了个体的活动经验之后，还得通过学生之间经验的交流和分享，促进个体的经验之“树”更加枝繁叶茂，开出璀璨的智慧之花.