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习题课是数学教学的一种重要课型,它对学生的知识起着巩固､完善､深化和矫正的作用;又是对知识进行梳理､整合､再运用的过程;也是师生共同进一步探讨解题方法､提炼数学思想,探寻总结解题规律,提高分析问题与解决问题的能力,优化思维品质的重要途径. 那么如何提高习题课教学效果,起到习题课应有的作用呢?笔者通过长期实践得出下面四点做法是可行而有效的.
一､先做后讲是习题课取得好效果的前提
通过做数学来学习数学,是学习数学的有效途径. 无论是习题课还是新授课,给出习题后教师留一定时间让学生自己阅读理解,分析,思考,然后教师对学生解决问题过程中思维受阻处进行点拨,对存在的问题加以讲解,这会使学生对知识的理解更加深刻,取得更好的教学效果.
在学完“两角和与差的三角函数”的习题课上,笔者给出这样一道题:在△ABC中,А = 15°,求sinА-cos(B + C)的值.
巡视时发现有的同学一看到cos(B + C),立刻化为cosB cosC - sinB sinC,结果思维受阻,解不下去;还有的同学将А = 15°,B + C = 165°代入并计算如下:sin15° - cos165°=sin(45°- 30°) - cos(120° + 45°),然后利用两角差的正弦与两角和的余弦公式解下去;又有一些是这样做的:sinА - cos(B + C) =sinА - cos(180° - А) =sinА + cosА =sin15° + cos15° =sin(45° - 30°) + cos(45°- 30°),再利用两角差的正､余弦公式求解;另有一些同学是这样解的: sinА - cos(B + C) = sinА - cos(180° - А) = sinА + cosА =sin15° + cos15° =
( sin15° + cos15°) =
(sin15°cos30° + cos15°sin30°) =
sin(15°+30°) = .
上面几种解题思路,有的是笔者事前预料到的,有的却是不曾想到的. 而学生也只有亲自做过后才知道解题过程中自己存在什么问题. 所以学生思考后,教师再讲评,无论是听者还是评者都能有的放矢,学生会感到老师的每句话都说到他的心坎上了,从而对知识有更深刻的理解,留下更深刻的印象,这样做取得的效果与给出题目就讲来说,孰优孰劣不言而喻.
二､“五点”讲评透彻,是提高习题课教学效果的重要举措
所谓“五点”是指一道题目的重点､切入点､难点､突破点和转折点,“重点”是指该题目所考查的主要知识点､基本技能和思想方法;“切入点”即题目解答的入口处,俗称“门槛”;“难点”即体现区分度的,学生在解答过程中的着力点;“突破点”即沟通已知与欲求(证)的连结点;“转折点”也叫拐点,是指偏离正道走向误区之处.
如上面一题:在△АВC中,А = 15°,求sinА - cos(B + C)的值,教师讲评时引导学生认识到本题重点是考查两角和与差的三角函数公式;蕴涵的思想方法是转化与化归;难点在于何处使用两角和与差的三角函数公式;切入点和突破点都是将cos(B + C)中的B + C化为180° - А;转折点在于将sinА - cos(B + C)化为sin15° + cos15°后,是将15°化为45°-30°(或60°- 45°),然后利用两角差的正､余弦公式计算还是将其化为 sin(15°+30°)后得出结论.
这“五点”不是外显的,须依靠解题者去破译,这直接影响到解题的成与败. 学生由于经验不足､认知片面和思维浅薄,对破译工作重视不够,遇到陌生的题目,不是犹豫不决,就是盲目下手,大大降低了解题的成功率. 作为教师要努力引导学生在洞悉“五点”上狠下工夫,长期坚持“五点”讲评透彻,能从根本上提高学生分析问题､解决问题的能力,达到优化思维品质的效果.
三､思想方法的总结提炼,是提高习题课教学效果不可缺少的一步
如果习题课只是就题论题,只能让学生获得一些知识的碎片,充其量学到解题的一招一式,达不到叶圣淘先生说的“讲是为了不讲,教是为了不教”的目的. 但如果能引导学生对思想方法进行总结提炼,就可达到举一反三,触类旁通的效果,思维品质也能得以提升. 罗增儒老师曾提到的一个案例充分证明了数学思想方法的提炼是提高习题课教学效果不可缺少的一步.
案例是关于求“四边形内角和”的,分两步叙述:
1. 教师在两个水平相当的班上所进行的学习活动是一样的,都组织学生去探究,找出解题途径也大体相同. 如图所示:
教师总结评讲后,在一个班(记为A班)增加了一个环节,组织学生讨论在这“一题多解”的背后,有什么共同的地方——“化归为三角形的内角和”;而另一个班(记为B班)没有这个环节.
2.25天后,组织了一次测试,求图7中各角之和(凹五边形内角和),结果,A班有89 %的学生能够完成,B班有25 %的学生能够完成. 完成的学生多数是连接两条辅助线EB,EC,如图8,转化为三个三角形内角和来解决.
这个简明而富于启发的案例告诉我们,思想方法的总结提炼是提高习题课效果不可缺少的一步. 这个案例是一题多解,如果不是一题多解应如何提炼数学思想方法呢?罗增儒老师告诉我们:“如果遇到一题一解可以通过分析解题的过程与步骤,找出每一步的内容与作用,组织为整体的内容与作用等,提炼出数学实质与逻辑结构. 于是内在的思想方法就有机会浮出水面了,不浮出水面也能作为隐性知识渗透在学生的思想里. 关键在于行动,有提炼数学思想方法的自觉性. ”
四､科学合理的习题设计,能使习题课效果发生质的飞跃
科学合理的习题设计不仅要达到夯实基础知识,训练基本技能,培养理性思维的作用,又要达到体现数学思想方法,培养学生创新意识和应用意识的作用,还应有助于学生形成清晰的知识链,构建合理的知识网络,从而使习题课效果发生质的飞跃.
上完《导数应用》一章,笔者上了如下一节习题课:
首先引导学生梳理《导数》和《导数应用》两章所学知识,并画出知识框图,然后让学生完成下面习题:
1. 求函数f(x) = x +(x > 0)的最小值.
2. 求函数f(x) = x +(x∈(0,1])的最小值.
3. 求函数f(x) = x +的单调区间,极值,并描绘出大致图像.
题1可用均值不等式,也可用导数判断单调性再求解;题2因x∈(0,1],不能用均值不等式,只能先判断(0,1)上的单调性,再确定最值. 这时教师引导学生总结:求函数最值时,必须考虑其定义域,若用均值不等式求函数最值时,对应自变量的值必须在定义域内,否则要考虑通过判断函数单调性来解决;题3画出图像后,引导学生推广到f(x) = x + ,其中a > 0,并引导学生利用图像总结其性质,特别注意函数在(0,a)上递减,在(a,+∞)上递增,函数在x = a时取到极小值,当x > 0时,在该处取到最小值. 为了巩固这类题的重要信息,做下面两道巩固练习:
1. 求函数y = sinx + ,x∈(0,π)的最小值.
2. 求函数f(x) =的最值,并画出函数的图像.
解得第2题最大值为 ,最小值为- ,这时教师引导学生进一步认识最大､最小值的概念,并写出:- ≤ ≤ ,接着问:“如果要将题2改编,你会怎样改编呢?”学生说出很多种改编方式,其中一种是:“证明:对任意x∈R,不等式- ≤ ≤恒成立. ”教师问:“如果要证明这个不等式,你们会证明吗?”学生:“会,只要求出函数f(x) =的最大､最小值即可. ”到此,通过构造函数,然后求函数最值的方法来证明不等式就水到渠成了.
习题课坚持上述几种做法,有助于培养学生阅读理解和触类旁通的能力;有助于学生进一步掌握和巩固知识的相互联系,形成合理的知识结构网络;有助于提高学生数学思维能力,从而大大提高习题课教学效果,并为学生持续发展奠定坚实的基础.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
一､先做后讲是习题课取得好效果的前提
通过做数学来学习数学,是学习数学的有效途径. 无论是习题课还是新授课,给出习题后教师留一定时间让学生自己阅读理解,分析,思考,然后教师对学生解决问题过程中思维受阻处进行点拨,对存在的问题加以讲解,这会使学生对知识的理解更加深刻,取得更好的教学效果.
在学完“两角和与差的三角函数”的习题课上,笔者给出这样一道题:在△ABC中,А = 15°,求sinА-cos(B + C)的值.
巡视时发现有的同学一看到cos(B + C),立刻化为cosB cosC - sinB sinC,结果思维受阻,解不下去;还有的同学将А = 15°,B + C = 165°代入并计算如下:sin15° - cos165°=sin(45°- 30°) - cos(120° + 45°),然后利用两角差的正弦与两角和的余弦公式解下去;又有一些是这样做的:sinА - cos(B + C) =sinА - cos(180° - А) =sinА + cosА =sin15° + cos15° =sin(45° - 30°) + cos(45°- 30°),再利用两角差的正､余弦公式求解;另有一些同学是这样解的: sinА - cos(B + C) = sinА - cos(180° - А) = sinА + cosА =sin15° + cos15° =
( sin15° + cos15°) =
(sin15°cos30° + cos15°sin30°) =
sin(15°+30°) = .
上面几种解题思路,有的是笔者事前预料到的,有的却是不曾想到的. 而学生也只有亲自做过后才知道解题过程中自己存在什么问题. 所以学生思考后,教师再讲评,无论是听者还是评者都能有的放矢,学生会感到老师的每句话都说到他的心坎上了,从而对知识有更深刻的理解,留下更深刻的印象,这样做取得的效果与给出题目就讲来说,孰优孰劣不言而喻.
二､“五点”讲评透彻,是提高习题课教学效果的重要举措
所谓“五点”是指一道题目的重点､切入点､难点､突破点和转折点,“重点”是指该题目所考查的主要知识点､基本技能和思想方法;“切入点”即题目解答的入口处,俗称“门槛”;“难点”即体现区分度的,学生在解答过程中的着力点;“突破点”即沟通已知与欲求(证)的连结点;“转折点”也叫拐点,是指偏离正道走向误区之处.
如上面一题:在△АВC中,А = 15°,求sinА - cos(B + C)的值,教师讲评时引导学生认识到本题重点是考查两角和与差的三角函数公式;蕴涵的思想方法是转化与化归;难点在于何处使用两角和与差的三角函数公式;切入点和突破点都是将cos(B + C)中的B + C化为180° - А;转折点在于将sinА - cos(B + C)化为sin15° + cos15°后,是将15°化为45°-30°(或60°- 45°),然后利用两角差的正､余弦公式计算还是将其化为 sin(15°+30°)后得出结论.
这“五点”不是外显的,须依靠解题者去破译,这直接影响到解题的成与败. 学生由于经验不足､认知片面和思维浅薄,对破译工作重视不够,遇到陌生的题目,不是犹豫不决,就是盲目下手,大大降低了解题的成功率. 作为教师要努力引导学生在洞悉“五点”上狠下工夫,长期坚持“五点”讲评透彻,能从根本上提高学生分析问题､解决问题的能力,达到优化思维品质的效果.
三､思想方法的总结提炼,是提高习题课教学效果不可缺少的一步
如果习题课只是就题论题,只能让学生获得一些知识的碎片,充其量学到解题的一招一式,达不到叶圣淘先生说的“讲是为了不讲,教是为了不教”的目的. 但如果能引导学生对思想方法进行总结提炼,就可达到举一反三,触类旁通的效果,思维品质也能得以提升. 罗增儒老师曾提到的一个案例充分证明了数学思想方法的提炼是提高习题课教学效果不可缺少的一步.
案例是关于求“四边形内角和”的,分两步叙述:
1. 教师在两个水平相当的班上所进行的学习活动是一样的,都组织学生去探究,找出解题途径也大体相同. 如图所示:
教师总结评讲后,在一个班(记为A班)增加了一个环节,组织学生讨论在这“一题多解”的背后,有什么共同的地方——“化归为三角形的内角和”;而另一个班(记为B班)没有这个环节.
2.25天后,组织了一次测试,求图7中各角之和(凹五边形内角和),结果,A班有89 %的学生能够完成,B班有25 %的学生能够完成. 完成的学生多数是连接两条辅助线EB,EC,如图8,转化为三个三角形内角和来解决.
这个简明而富于启发的案例告诉我们,思想方法的总结提炼是提高习题课效果不可缺少的一步. 这个案例是一题多解,如果不是一题多解应如何提炼数学思想方法呢?罗增儒老师告诉我们:“如果遇到一题一解可以通过分析解题的过程与步骤,找出每一步的内容与作用,组织为整体的内容与作用等,提炼出数学实质与逻辑结构. 于是内在的思想方法就有机会浮出水面了,不浮出水面也能作为隐性知识渗透在学生的思想里. 关键在于行动,有提炼数学思想方法的自觉性. ”
四､科学合理的习题设计,能使习题课效果发生质的飞跃
科学合理的习题设计不仅要达到夯实基础知识,训练基本技能,培养理性思维的作用,又要达到体现数学思想方法,培养学生创新意识和应用意识的作用,还应有助于学生形成清晰的知识链,构建合理的知识网络,从而使习题课效果发生质的飞跃.
上完《导数应用》一章,笔者上了如下一节习题课:
首先引导学生梳理《导数》和《导数应用》两章所学知识,并画出知识框图,然后让学生完成下面习题:
1. 求函数f(x) = x +(x > 0)的最小值.
2. 求函数f(x) = x +(x∈(0,1])的最小值.
3. 求函数f(x) = x +的单调区间,极值,并描绘出大致图像.
题1可用均值不等式,也可用导数判断单调性再求解;题2因x∈(0,1],不能用均值不等式,只能先判断(0,1)上的单调性,再确定最值. 这时教师引导学生总结:求函数最值时,必须考虑其定义域,若用均值不等式求函数最值时,对应自变量的值必须在定义域内,否则要考虑通过判断函数单调性来解决;题3画出图像后,引导学生推广到f(x) = x + ,其中a > 0,并引导学生利用图像总结其性质,特别注意函数在(0,a)上递减,在(a,+∞)上递增,函数在x = a时取到极小值,当x > 0时,在该处取到最小值. 为了巩固这类题的重要信息,做下面两道巩固练习:
1. 求函数y = sinx + ,x∈(0,π)的最小值.
2. 求函数f(x) =的最值,并画出函数的图像.
解得第2题最大值为 ,最小值为- ,这时教师引导学生进一步认识最大､最小值的概念,并写出:- ≤ ≤ ,接着问:“如果要将题2改编,你会怎样改编呢?”学生说出很多种改编方式,其中一种是:“证明:对任意x∈R,不等式- ≤ ≤恒成立. ”教师问:“如果要证明这个不等式,你们会证明吗?”学生:“会,只要求出函数f(x) =的最大､最小值即可. ”到此,通过构造函数,然后求函数最值的方法来证明不等式就水到渠成了.
习题课坚持上述几种做法,有助于培养学生阅读理解和触类旁通的能力;有助于学生进一步掌握和巩固知识的相互联系,形成合理的知识结构网络;有助于提高学生数学思维能力,从而大大提高习题课教学效果,并为学生持续发展奠定坚实的基础.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”