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【摘要】无痕教育的基本内涵是让学生感觉不到在受教育，是顺其自然的一种教育方式，是一种理想的教育境界。实施无痕教育具有四种基本策略，春风化雨中提升是策略之四。要做到课堂教学在春风化雨中提升，可以通过注重思维训练、感悟数学思想、积累活动经验等几种方法具体实现。
【关键词】无痕教育 课堂策略 春风化雨 提升
无痕教育的基本内涵是让学生感觉不到教育的目的和意图，在暗示、熏陶、渗透、迂回等间接方式中水到渠成地得到良好的教育和发展。我们认为无痕教育理念下的课堂实施有四种基本策略：不知不觉中开始，潜移默化中理解，循序渐进中掌握，春风化雨中提升。本文以案例的方式解读第四种基本策略。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在附录中专门列出了描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”。其中，“运用”是指综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。如果说“了解”相当于我们常说的“知道”，“理解”相当于我们常说的“懂了”，那么“掌握”就相当于“会了”，而“运用”则相当于是在理解和掌握的基础上的一种灵活应用与升华发展，是超越知识与技能的思维发展与思想感悟，是获得丰富的数学活动经验与积极的情感态度。无痕教育理念观照下的课堂实践策略——春风化雨中提升，应着力关注如下三点：
一、提升儿童思维水平
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程目标里面明确指出“运用数学的思维方式进行思考”。我们知道，思维是“人脑对客观事物的一种概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映”。数学是思维的科学，思维是人内隐的心理活动，思维的发展是有阶段性的。我国思维科学的奠基人钱学森先生曾经指出思维的三种方式：形象（直感）思维、抽象（逻辑）思维、灵感（顿悟）思维。笔者以为小学生的思维方式主要有三种：动作思维、形象思维、逻辑思维。小学生的思维方式以具体形象思维为主，逐步过渡到抽象逻辑思维，而低年级学生尤其需要直观动作思维。
【教学片段1】二年级《鸡兔同笼》
通过故事情境引出例题：鸡和兔关在同一个笼子里，数它们的头共有5个，腿共有14条。鸡和兔各有多少只？
首先让学生理解题意并进行初步猜测，然后让学生动手画“数学画”，出现如下六种方法：（分别用表示鸡和兔）
方法一：先画1只鸡1只兔，再画1只鸡1只兔，再画1只鸡，一数正好是14条腿。笼子里有3只鸡2只兔。
方法二：先画两只鸡，再画两只兔，一数有了12条腿，还差2条，我就又画了1只鸡，正好14条腿。也发现有3只鸡2只兔。
方法三：先画1只兔1只鸡，再画1只兔1只鸡，再画1只兔，一数有16条腿，多了2条，就擦掉2条腿。这样就有3只鸡2只兔。
方法四：先把14条腿全部画好，再用头去套，套2条腿的就是鸡，套4条腿的就是兔，也能知道笼子里有3只鸡2只兔。
方法五：先全部画成鸡，二五一十，一算还少4条腿，就2条2条地添上，就是2只兔3只鸡。
方法六：先全部画成兔，四五二十，多了6条腿，就2条2条地擦去，这样也得到有3只鸡2只兔。
鸡兔同笼是中国著名的古典难题，一般的解法极其抽象难懂，如何能让二年级学生理解并解决呢？笔者利用数形结合的思想做过一次有趣的教学试验，发挥了三种思维方式的协同作用。上述教学片段中学生解决问题的方法，可以分为三类：第一类是动作思维方式，学生始终都在动手画图，在直观操作中进行嘗试与调整，从而真真切切地感受到画图的简单与方便;第二类是形象思维方式，学生有的先画鸡，有的先画兔，有的先画头，有的先画腿，更为重要的是学生画图后运用头脑中建立的鸡和兔的表象进行运演，从而得出结果;而第三类思维方式是逻辑思维，尤其是方法五和方法六，因为“假设全部是鸡就是10条腿，和14相比还少4条腿，就2条2条地添上，添2次就是2只兔”，因为“假设全部是兔就是20条腿，和14相比多了6条腿，就2条2条地擦去，擦3次就是3只兔”，这样的思考过程属于典型的抽象推理。
二、提升儿童数学思想
“数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想。”由此可见，数学思想是一种“隐性知识”，无法直接传递给学生，需要结合数学知识和技能的理解掌握的过程，进行渗透与熏陶，让学生感悟与提升。
史宁中教授指出，数学教学的最终目标是要让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。
1.数学抽象
【教学片段2】二年级《认识乘法》
（学生初步认识乘法的含义之后，结合例题图的电脑4个2变为8个2）
师：这间电脑教室现在有多少台电脑呢？是几个几？用加法和乘法你会列式吗？
生：8个2，加法是：2 2 2 2 2 2 2 2=16，乘法是2×8=16或8×2=16。
（课件再将电脑图变成100个2）
师：现在有多少个2？用加法怎样列式？
生：2 2 2 2 2 ……
（有的学生渐渐地不说了，有的叫了起来，还有的憋住气在继续说，脸涨得通红，终于也停了下来）
师：你们感觉求100个2用加法算，算式写起来怎样？
生1：要写很长时间，要写很长的算式，黑板不够写。
生2：太麻烦了！可以用我们刚学的乘法，写成100×2或2×100，快多了！
师：通过刚才的学习，你觉得乘法到底是怎么产生的？
生1：乘法是由加法变过来的。
生2：不是所有的加法都能变为乘法，要每次加的数相同。 生3：每次加的数相同，并且加数越多用乘法越简便。
数学在本质上研究的是抽象的东西，数学抽象是数学基本思想之一。如何让二年级学生理解抽象的乘法含义？如何让学生体验乘法的简便性？上述的教学设计，让学生在具体直观的几个几的基础上初步理解乘法含义后，进行两次变式：8个2用加法和乘法分别怎样写？100个2呢？学生在亲身体验和强烈反差对比中理解乘法产生的必要性。教师进一步提问“乘法怎么产生的？”学生再次回归认知过程，概括乘法含义，并学会用数学的眼光观察和表达周围的事物。
2.数学推理
【教学片段3】五年级《解决问题的策略：一一列举》
（飞镖游戏的三次应用）
师（出示飞镖靶纸）：如果全班每个同学投一次飞镖，每人得到的环数一共有多少种情况？
生：10环、8环、6环、0环。
师（巩固练习中，再次出示飞镖游戏场景）：如果小华投中两次，他得到的环数有几种不同的情况呢？
生：20环、18环、16环、14环、12环。
师（总结全课时，又一次针对飞镖游戏提问）：如果小华投了两次，他得到的环数又是什么情况？
生：20环、18环、16环、14环、12环、10环、8环、6环、0环。
认知策略是内部组织化的技能，它常常镶嵌于实践活动中，因此解决问题的策略教学，重在帮助学生形成策略意识。一一列举策略的应用，需要学生根据相应的条件进行严密的推理，尤其需要有序思维，才能做到不重复、不遗漏。上述教学片段，三次解决飞镖环数问题，由浅入深，循序渐进，从“投了1次”发展为“投中2次”，再发展为“投了2次”，情况越来越复杂，更加需要缜密的思维和有序的思考，学生逐步学会根据事情发生的多种可能性进行排列与组合，从而灵活解决问题。
3.数学模型
【教学片段4】三年级《画线段图解决问题》
（出示例题图，如下图）
师：根据题中的已知条件，你能提出什么样的问题？
生1：一件上衣多少元？
生2：一套衣服多少元？
生3：一件上衣比一条裤子贵多少元？
生4：一条裤子比一件上衣便宜多少元？
师：我们首先解决第一个问题。怎样用线段图表示出已知条件和所求的问题呢？
（生列式解答：48×3=144元）
师：如果要解决“一套衣服多少元”，怎样在原来的线段图的基础上用橡皮擦一擦，表示出所求的问题呢？
（生用橡皮擦一擦，修改为如下图）
（生尝试解决问题，师指名板演，师生交流）
生1：48×3=144（元），48 144=192（元）。
生2：3 1=4，48×4=192（元）。
师：如果要求“一件上衣比一条裤子贵多少元”，怎样用橡皮擦一擦表示出所求问题？
（生用橡皮擦一擦，修改为如下图，并列式解决）
生1：48×3=144（元），144-48=96（元）。
生2：3-1=2，48×2=96（元）。
师：大家比较一下，刚才的三道题，有哪些相同的地方？有哪些不同的地方？你有哪些解题的经验？
数学模型是用数学的语言描述现实世界所依赖的思想，模型思想的建立是学生体会和理解与外部世界联系的基本途径。上述教学片段主要建立的数学模型是几倍求和（差）问题的结构，教师采用的是画线段图的方式帮助学生建立模型。尤其是引导学生两次主动使用橡皮擦一擦：第一次擦拭后把求一件上衣的价钱改为求一套衣服的价钱，第二次擦拭后把求一套衣服的价钱改为求一件上衣比一条裤子贵的价钱。每个学生实际动手擦拭与修改线段图，看上去有些笨拙，其实正是这样的直观操作逐步帮助每个学生分析数量关系，产生解题思路，并由线段图的直观性引发不同的解题方法，再通过回顾与反思，比较三题的异同点，建构起几倍求和（差）的问题结构，并且为今后学習和倍问题、和差问题、差倍问题等典型问题的分析和建构打下良好的基础。
三、提升儿童情感态度
作为数学课程目标的情感态度主要包括学生学习数学的积极性、好奇心、求知欲、自信心、意志力、学习习惯和科学态度等方面。其中尤其重要的是学生学习的积极性问题。有研究认为，学生学习数学的积极性分为广义积极性和狭义积极性。所谓广义积极性，与学生在其他学科学习过程中的积极性没有本质的区别，它是一般的积极思维活动;所谓狭义积极性，是带有数学特点的特殊积极性，是具有一定结构的思维活动。因此，我们在培养学生学习积极性、提升情感态度时，要更多地以数学本身的魅力去吸引学生。
【教学片段5】四年级《平均数》
（在学生理解了平均数的含义并逐步形成技能后，出示“模拟当经理”情境练习题）
师：请问各位经理，上周本店哪一天生意最好？哪一天生意最不好？
生：星期五生意最好，星期一生意最不好。
师：一般经理都能看出来。聪明经理还能推测原因呢！谁是聪明经理？
生1：星期五生意好的原因可能是周末放假，人们有时间休闲了。
生2：星期一大人要上班，小孩要上学，比较忙。
生3：星期五买的水果多，周末两天还没吃完，所以周一生意不大好。
师：厉害的经理面对这样的状况会采取哪些经营手段呢？
生1：星期一降价促销或者打折。
生2：星期一买一送一搞些活动。
生3：星期五也可以适当涨价。
师：各位经理，仓库里没货了。根据上周两种水果销售情况，你觉得哪一种水果好卖一些就吩咐员工多进一些这种水果，不过请用数据说话。
生1：苹果好卖。因为苹果5天平均每天销售8箱，橘子平均每天销售7箱。
生2：我也认为苹果好卖，不过不必算平均数，都是5天，算综合也可以，苹果5天卖出40箱，橘子5天卖出35箱。
师：那么，下周一定还是苹果好卖吗？谁说了算？
生：不一定还是苹果好卖。顾客说了算，因为顾客是上帝。
本来，平均数是十分抽象的统计量，要让四年级学生理解平均数的含义并灵活进行问题解决，尤其需要教师选择合适的素材，设计精巧的问题，让学生饶有趣味地积极投入数学活动中去。上述片段中教师设计的几个问题都是生活问题（哪天生意好与不好、生意好与不好的原因、采用哪些经营手段、进货的数据支撑、推测下周销售情况等），这些问题距离学生的生活比较贴近，而学生则根据前面学习平均数时积累的活动经验，自觉地把这些生活问题转化为数学问题，并且结合生活实际大胆思考与决策，充分体现了数据的力量，有效发展了数据分析观念。
【关键词】无痕教育 课堂策略 春风化雨 提升
无痕教育的基本内涵是让学生感觉不到教育的目的和意图，在暗示、熏陶、渗透、迂回等间接方式中水到渠成地得到良好的教育和发展。我们认为无痕教育理念下的课堂实施有四种基本策略：不知不觉中开始，潜移默化中理解，循序渐进中掌握，春风化雨中提升。本文以案例的方式解读第四种基本策略。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在附录中专门列出了描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”。其中，“运用”是指综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。如果说“了解”相当于我们常说的“知道”，“理解”相当于我们常说的“懂了”，那么“掌握”就相当于“会了”，而“运用”则相当于是在理解和掌握的基础上的一种灵活应用与升华发展，是超越知识与技能的思维发展与思想感悟，是获得丰富的数学活动经验与积极的情感态度。无痕教育理念观照下的课堂实践策略——春风化雨中提升，应着力关注如下三点：
一、提升儿童思维水平
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程目标里面明确指出“运用数学的思维方式进行思考”。我们知道，思维是“人脑对客观事物的一种概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映”。数学是思维的科学，思维是人内隐的心理活动，思维的发展是有阶段性的。我国思维科学的奠基人钱学森先生曾经指出思维的三种方式：形象（直感）思维、抽象（逻辑）思维、灵感（顿悟）思维。笔者以为小学生的思维方式主要有三种：动作思维、形象思维、逻辑思维。小学生的思维方式以具体形象思维为主，逐步过渡到抽象逻辑思维，而低年级学生尤其需要直观动作思维。
【教学片段1】二年级《鸡兔同笼》
通过故事情境引出例题：鸡和兔关在同一个笼子里，数它们的头共有5个，腿共有14条。鸡和兔各有多少只？
首先让学生理解题意并进行初步猜测，然后让学生动手画“数学画”，出现如下六种方法：（分别用表示鸡和兔）
方法一：先画1只鸡1只兔，再画1只鸡1只兔，再画1只鸡，一数正好是14条腿。笼子里有3只鸡2只兔。
方法二：先画两只鸡，再画两只兔，一数有了12条腿，还差2条，我就又画了1只鸡，正好14条腿。也发现有3只鸡2只兔。
方法三：先画1只兔1只鸡，再画1只兔1只鸡，再画1只兔，一数有16条腿，多了2条，就擦掉2条腿。这样就有3只鸡2只兔。
方法四：先把14条腿全部画好，再用头去套，套2条腿的就是鸡，套4条腿的就是兔，也能知道笼子里有3只鸡2只兔。
方法五：先全部画成鸡，二五一十，一算还少4条腿，就2条2条地添上，就是2只兔3只鸡。
方法六：先全部画成兔，四五二十，多了6条腿，就2条2条地擦去，这样也得到有3只鸡2只兔。
鸡兔同笼是中国著名的古典难题，一般的解法极其抽象难懂，如何能让二年级学生理解并解决呢？笔者利用数形结合的思想做过一次有趣的教学试验，发挥了三种思维方式的协同作用。上述教学片段中学生解决问题的方法，可以分为三类：第一类是动作思维方式，学生始终都在动手画图，在直观操作中进行嘗试与调整，从而真真切切地感受到画图的简单与方便;第二类是形象思维方式，学生有的先画鸡，有的先画兔，有的先画头，有的先画腿，更为重要的是学生画图后运用头脑中建立的鸡和兔的表象进行运演，从而得出结果;而第三类思维方式是逻辑思维，尤其是方法五和方法六，因为“假设全部是鸡就是10条腿，和14相比还少4条腿，就2条2条地添上，添2次就是2只兔”，因为“假设全部是兔就是20条腿，和14相比多了6条腿，就2条2条地擦去，擦3次就是3只兔”，这样的思考过程属于典型的抽象推理。
二、提升儿童数学思想
“数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想。”由此可见，数学思想是一种“隐性知识”，无法直接传递给学生，需要结合数学知识和技能的理解掌握的过程，进行渗透与熏陶，让学生感悟与提升。
史宁中教授指出，数学教学的最终目标是要让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。
1.数学抽象
【教学片段2】二年级《认识乘法》
（学生初步认识乘法的含义之后，结合例题图的电脑4个2变为8个2）
师：这间电脑教室现在有多少台电脑呢？是几个几？用加法和乘法你会列式吗？
生：8个2，加法是：2 2 2 2 2 2 2 2=16，乘法是2×8=16或8×2=16。
（课件再将电脑图变成100个2）
师：现在有多少个2？用加法怎样列式？
生：2 2 2 2 2 ……
（有的学生渐渐地不说了，有的叫了起来，还有的憋住气在继续说，脸涨得通红，终于也停了下来）
师：你们感觉求100个2用加法算，算式写起来怎样？
生1：要写很长时间，要写很长的算式，黑板不够写。
生2：太麻烦了！可以用我们刚学的乘法，写成100×2或2×100，快多了！
师：通过刚才的学习，你觉得乘法到底是怎么产生的？
生1：乘法是由加法变过来的。
生2：不是所有的加法都能变为乘法，要每次加的数相同。 生3：每次加的数相同，并且加数越多用乘法越简便。
数学在本质上研究的是抽象的东西，数学抽象是数学基本思想之一。如何让二年级学生理解抽象的乘法含义？如何让学生体验乘法的简便性？上述的教学设计，让学生在具体直观的几个几的基础上初步理解乘法含义后，进行两次变式：8个2用加法和乘法分别怎样写？100个2呢？学生在亲身体验和强烈反差对比中理解乘法产生的必要性。教师进一步提问“乘法怎么产生的？”学生再次回归认知过程，概括乘法含义，并学会用数学的眼光观察和表达周围的事物。
2.数学推理
【教学片段3】五年级《解决问题的策略：一一列举》
（飞镖游戏的三次应用）
师（出示飞镖靶纸）：如果全班每个同学投一次飞镖，每人得到的环数一共有多少种情况？
生：10环、8环、6环、0环。
师（巩固练习中，再次出示飞镖游戏场景）：如果小华投中两次，他得到的环数有几种不同的情况呢？
生：20环、18环、16环、14环、12环。
师（总结全课时，又一次针对飞镖游戏提问）：如果小华投了两次，他得到的环数又是什么情况？
生：20环、18环、16环、14环、12环、10环、8环、6环、0环。
认知策略是内部组织化的技能，它常常镶嵌于实践活动中，因此解决问题的策略教学，重在帮助学生形成策略意识。一一列举策略的应用，需要学生根据相应的条件进行严密的推理，尤其需要有序思维，才能做到不重复、不遗漏。上述教学片段，三次解决飞镖环数问题，由浅入深，循序渐进，从“投了1次”发展为“投中2次”，再发展为“投了2次”，情况越来越复杂，更加需要缜密的思维和有序的思考，学生逐步学会根据事情发生的多种可能性进行排列与组合，从而灵活解决问题。
3.数学模型
【教学片段4】三年级《画线段图解决问题》
（出示例题图，如下图）
师：根据题中的已知条件，你能提出什么样的问题？
生1：一件上衣多少元？
生2：一套衣服多少元？
生3：一件上衣比一条裤子贵多少元？
生4：一条裤子比一件上衣便宜多少元？
师：我们首先解决第一个问题。怎样用线段图表示出已知条件和所求的问题呢？
（生列式解答：48×3=144元）
师：如果要解决“一套衣服多少元”，怎样在原来的线段图的基础上用橡皮擦一擦，表示出所求的问题呢？
（生用橡皮擦一擦，修改为如下图）
（生尝试解决问题，师指名板演，师生交流）
生1：48×3=144（元），48 144=192（元）。
生2：3 1=4，48×4=192（元）。
师：如果要求“一件上衣比一条裤子贵多少元”，怎样用橡皮擦一擦表示出所求问题？
（生用橡皮擦一擦，修改为如下图，并列式解决）
生1：48×3=144（元），144-48=96（元）。
生2：3-1=2，48×2=96（元）。
师：大家比较一下，刚才的三道题，有哪些相同的地方？有哪些不同的地方？你有哪些解题的经验？
数学模型是用数学的语言描述现实世界所依赖的思想，模型思想的建立是学生体会和理解与外部世界联系的基本途径。上述教学片段主要建立的数学模型是几倍求和（差）问题的结构，教师采用的是画线段图的方式帮助学生建立模型。尤其是引导学生两次主动使用橡皮擦一擦：第一次擦拭后把求一件上衣的价钱改为求一套衣服的价钱，第二次擦拭后把求一套衣服的价钱改为求一件上衣比一条裤子贵的价钱。每个学生实际动手擦拭与修改线段图，看上去有些笨拙，其实正是这样的直观操作逐步帮助每个学生分析数量关系，产生解题思路，并由线段图的直观性引发不同的解题方法，再通过回顾与反思，比较三题的异同点，建构起几倍求和（差）的问题结构，并且为今后学習和倍问题、和差问题、差倍问题等典型问题的分析和建构打下良好的基础。
三、提升儿童情感态度
作为数学课程目标的情感态度主要包括学生学习数学的积极性、好奇心、求知欲、自信心、意志力、学习习惯和科学态度等方面。其中尤其重要的是学生学习的积极性问题。有研究认为，学生学习数学的积极性分为广义积极性和狭义积极性。所谓广义积极性，与学生在其他学科学习过程中的积极性没有本质的区别，它是一般的积极思维活动;所谓狭义积极性，是带有数学特点的特殊积极性，是具有一定结构的思维活动。因此，我们在培养学生学习积极性、提升情感态度时，要更多地以数学本身的魅力去吸引学生。
【教学片段5】四年级《平均数》
（在学生理解了平均数的含义并逐步形成技能后，出示“模拟当经理”情境练习题）
师：请问各位经理，上周本店哪一天生意最好？哪一天生意最不好？
生：星期五生意最好，星期一生意最不好。
师：一般经理都能看出来。聪明经理还能推测原因呢！谁是聪明经理？
生1：星期五生意好的原因可能是周末放假，人们有时间休闲了。
生2：星期一大人要上班，小孩要上学，比较忙。
生3：星期五买的水果多，周末两天还没吃完，所以周一生意不大好。
师：厉害的经理面对这样的状况会采取哪些经营手段呢？
生1：星期一降价促销或者打折。
生2：星期一买一送一搞些活动。
生3：星期五也可以适当涨价。
师：各位经理，仓库里没货了。根据上周两种水果销售情况，你觉得哪一种水果好卖一些就吩咐员工多进一些这种水果，不过请用数据说话。
生1：苹果好卖。因为苹果5天平均每天销售8箱，橘子平均每天销售7箱。
生2：我也认为苹果好卖，不过不必算平均数，都是5天，算综合也可以，苹果5天卖出40箱，橘子5天卖出35箱。
师：那么，下周一定还是苹果好卖吗？谁说了算？
生：不一定还是苹果好卖。顾客说了算，因为顾客是上帝。
本来，平均数是十分抽象的统计量，要让四年级学生理解平均数的含义并灵活进行问题解决，尤其需要教师选择合适的素材，设计精巧的问题，让学生饶有趣味地积极投入数学活动中去。上述片段中教师设计的几个问题都是生活问题（哪天生意好与不好、生意好与不好的原因、采用哪些经营手段、进货的数据支撑、推测下周销售情况等），这些问题距离学生的生活比较贴近，而学生则根据前面学习平均数时积累的活动经验，自觉地把这些生活问题转化为数学问题，并且结合生活实际大胆思考与决策，充分体现了数据的力量，有效发展了数据分析观念。