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中图分类号:G42文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)1120158-01
解题策略就是解决数学问题的思想,是为了实现解题目标而采取的方针。良好的解题策略可以优化解题过程,精简解题步骤,节省搜索信息的时间,增大成功机会。近年的中考试题中,应用题出现的地方比较多,在选择、填空、解答三种题型中均有出现。尤其解答题中的应用题,学生都很发怵,拿到题目之后无从下手,到处乱撞。因此,探究数学应用题解题策略就显得很有必要和非常迫切。应用解题策略主要体现在两个方面:即阅读理解与数学建模。
一、点面阅读,准确理解
数学应用题的阅读理解是解题的第一级台阶进程,因此,必须过好阅读关。应用题的题干一般比较长,涉及名词、概念比较多,而且数量关系隐蔽,可采取以下策略熟悉题意:
(一)目的明确,节省信息的搜索时间。抓住题目中的关键字、词、句、式、数,有目的的阅读,有助于快速收集信息,短时间内弄清题目中讲的是什么,给了什么,自己应做到什么。
(二)摘其精华,减少题目的干扰内容。由于应用题描述水平和书面语言规范的要求及问题本身特点等的影响,常使其内容表达不甚简单扼要,导致学生读题过程中将题意部分遗忘或曲解。为解决这一问题,现提供以下策略以飨读者,就读方家。
1.摘其精华,文表结合。例1:某汽车经销。公司计划经销A、B两种品牌的轿车50辆,该公司经销这50辆车的成本不少1240万元,但不超过1244万元,两种轿车的成本和售价如右表。
问:该公司经销这两种品牌的轿车有几种方案?哪种方案获利最大?最大利润是多少?
摘出其中的关键词、句、数等,同时将图表语言转化成简短的文字语言:A的成本为每辆24万元,售价为每辆27万元,B的成本为每辆26万元,售价每辆30万元。
问题,增添了“催化剂”带来很大方便,在调配问题中也经常用到这种解题策略。
2.摘其精华,排列信息。例2:利达经销店为某工代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)当每吨售价为260元时,月销售量为45吨,该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销,经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加速7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料的售价为X(元),该经销店的月利润为Y(元)。
求:(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量
(2)Y与X的函数关系式(不要求写出X范围)
摘其要点,将信息按一定的逻辑顺序排列下来:
(1)每吨售价为260元时,月销售量45吨;(2)每吨下降雨量10元时,月销售量增加油站45吨;(3)一吨的成本费用100元;(4)售价为X元,月利润为Y元。
联想公式:利润=售价-成本
解略。
评注:摘出信息,按序排列,一般适用于内容比较繁杂的题目,具体操作为:边读题,边摘要素,再按逻辑顺序排列下来,结合题目全面求解。
3.类比分析,降低题目的陌生度。例3:停电时,小王点起了两只蜡烛,这两只蜡烛一样长,但不一样粗,粗蜡烛可点燃2小时,细蜡烛可点1小时,来电后小王吹灭了两只蜡烛,此时发现粗蜡烛长度是细蜡烛长度的2倍,你知道停电多长时间吗?
分析:因为蜡烛原来的长度相同,易想到工程问题,从而悟出设出蜡烛原来的长度及停电时间,就不难解答。
评注:一般在解决陌生问题、非常规问题复杂问题时,通常可联想我们熟悉的、常规的简单的问题作为样本,这样便有例可仿,可以说类分析为解决这类问题起到了“比猫画虎”的作用。
总之,阅读的策略化有助于正确的理解题意,有时候一个问题可能需要运用不止一种阅读策略,要根据需要,灵活的选用恰当的方法。
二、全面整合、科学建模
阅读是为了理解题意,列式是为了表达题意,列式是解决应用题的关键,它是对文字、图象的抽象概括,建模的过程是将文字语言,符号语言、图表语言向数学语言转化的过程。一般来说可采用下列策略来建立数学模型。
(一)双向推理、交叉列式
例4:某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站,三栋在同一条直线上,顺次为A楼、B楼、C楼,其中A楼与B楼之间的距离为40米,B楼与C楼之间的距离为60米,已知A楼每天有20人取奶,B楼每天有70人取奶,C楼每天有60人取奶,取奶公司提出两种建站方案。
方案一:让每天所有取奶的人到奶站的距离最小。
方案二:让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所的取奶的人到奶站的距离之和。
若按照方案一建站,取奶站应建在什么位置?
分析:本题应抓住结果到奶站的距离和最小可初步确定为函数的最值问题,正向推理可知自变量为奶站距A(或B、C)楼的距离X米,函数为三楼到奶站的距离之和Y米。
评注:顺向推理可联想有关公式、概念等,逆向思维可以明确方向,所以双向推理有助于顿悟或灵感的突然出现有效地缩短了已知与结果的距离,有助于我们在心理视野“看到”题目的列式路径。
(二)借助数模、直接列式
例5:某企业信息部进行市场调查发现:
信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润y万元与投资金额x万元之间存在正比例函数关系:y=kx,并且当投资金5万元时可获利润2万元;
信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润 y万元与投资金额x万元之间存在二次函数关系:y=ax2+by,并且当投资2万元时,可获利润率2.4万元;当投资4万元时,可获利3.2万元。
请分别求出两函数的表达式。
分析:利用待定系数法,套用正比例函数和二次函数的模型,构造关于k、a、b的方程就可求解。
评注:初中常见的模型有:平均增长率、行程、工程、浓度等问题,可以建立方程(组)或不等式(组)模型;拱桥、炮弹发射、飞机投物、投铅球、篮球等问题可建立二次函数模型;测量中求影高、身高、不能直接得到物体的高度等问题可建立直角三角形模型等。
中考题型千变万化,解题策略只是提供了一个相对稳定的样本,即不是万能,也不能一成不变,遇到一个新的更深刻的现实问题或非常规的问题时我们还需要转化,分步进行求解,还需要对模型加以纵横联想以方便应用,同时我们要创造更多和更高层次的模型,逐渐进入得心应手的境界。
解题策略就是解决数学问题的思想,是为了实现解题目标而采取的方针。良好的解题策略可以优化解题过程,精简解题步骤,节省搜索信息的时间,增大成功机会。近年的中考试题中,应用题出现的地方比较多,在选择、填空、解答三种题型中均有出现。尤其解答题中的应用题,学生都很发怵,拿到题目之后无从下手,到处乱撞。因此,探究数学应用题解题策略就显得很有必要和非常迫切。应用解题策略主要体现在两个方面:即阅读理解与数学建模。
一、点面阅读,准确理解
数学应用题的阅读理解是解题的第一级台阶进程,因此,必须过好阅读关。应用题的题干一般比较长,涉及名词、概念比较多,而且数量关系隐蔽,可采取以下策略熟悉题意:
(一)目的明确,节省信息的搜索时间。抓住题目中的关键字、词、句、式、数,有目的的阅读,有助于快速收集信息,短时间内弄清题目中讲的是什么,给了什么,自己应做到什么。
(二)摘其精华,减少题目的干扰内容。由于应用题描述水平和书面语言规范的要求及问题本身特点等的影响,常使其内容表达不甚简单扼要,导致学生读题过程中将题意部分遗忘或曲解。为解决这一问题,现提供以下策略以飨读者,就读方家。
1.摘其精华,文表结合。例1:某汽车经销。公司计划经销A、B两种品牌的轿车50辆,该公司经销这50辆车的成本不少1240万元,但不超过1244万元,两种轿车的成本和售价如右表。
问:该公司经销这两种品牌的轿车有几种方案?哪种方案获利最大?最大利润是多少?
摘出其中的关键词、句、数等,同时将图表语言转化成简短的文字语言:A的成本为每辆24万元,售价为每辆27万元,B的成本为每辆26万元,售价每辆30万元。
问题,增添了“催化剂”带来很大方便,在调配问题中也经常用到这种解题策略。
2.摘其精华,排列信息。例2:利达经销店为某工代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)当每吨售价为260元时,月销售量为45吨,该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销,经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加速7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料的售价为X(元),该经销店的月利润为Y(元)。
求:(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量
(2)Y与X的函数关系式(不要求写出X范围)
摘其要点,将信息按一定的逻辑顺序排列下来:
(1)每吨售价为260元时,月销售量45吨;(2)每吨下降雨量10元时,月销售量增加油站45吨;(3)一吨的成本费用100元;(4)售价为X元,月利润为Y元。
联想公式:利润=售价-成本
解略。
评注:摘出信息,按序排列,一般适用于内容比较繁杂的题目,具体操作为:边读题,边摘要素,再按逻辑顺序排列下来,结合题目全面求解。
3.类比分析,降低题目的陌生度。例3:停电时,小王点起了两只蜡烛,这两只蜡烛一样长,但不一样粗,粗蜡烛可点燃2小时,细蜡烛可点1小时,来电后小王吹灭了两只蜡烛,此时发现粗蜡烛长度是细蜡烛长度的2倍,你知道停电多长时间吗?
分析:因为蜡烛原来的长度相同,易想到工程问题,从而悟出设出蜡烛原来的长度及停电时间,就不难解答。
评注:一般在解决陌生问题、非常规问题复杂问题时,通常可联想我们熟悉的、常规的简单的问题作为样本,这样便有例可仿,可以说类分析为解决这类问题起到了“比猫画虎”的作用。
总之,阅读的策略化有助于正确的理解题意,有时候一个问题可能需要运用不止一种阅读策略,要根据需要,灵活的选用恰当的方法。
二、全面整合、科学建模
阅读是为了理解题意,列式是为了表达题意,列式是解决应用题的关键,它是对文字、图象的抽象概括,建模的过程是将文字语言,符号语言、图表语言向数学语言转化的过程。一般来说可采用下列策略来建立数学模型。
(一)双向推理、交叉列式
例4:某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站,三栋在同一条直线上,顺次为A楼、B楼、C楼,其中A楼与B楼之间的距离为40米,B楼与C楼之间的距离为60米,已知A楼每天有20人取奶,B楼每天有70人取奶,C楼每天有60人取奶,取奶公司提出两种建站方案。
方案一:让每天所有取奶的人到奶站的距离最小。
方案二:让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所的取奶的人到奶站的距离之和。
若按照方案一建站,取奶站应建在什么位置?
分析:本题应抓住结果到奶站的距离和最小可初步确定为函数的最值问题,正向推理可知自变量为奶站距A(或B、C)楼的距离X米,函数为三楼到奶站的距离之和Y米。
评注:顺向推理可联想有关公式、概念等,逆向思维可以明确方向,所以双向推理有助于顿悟或灵感的突然出现有效地缩短了已知与结果的距离,有助于我们在心理视野“看到”题目的列式路径。
(二)借助数模、直接列式
例5:某企业信息部进行市场调查发现:
信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润y万元与投资金额x万元之间存在正比例函数关系:y=kx,并且当投资金5万元时可获利润2万元;
信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润 y万元与投资金额x万元之间存在二次函数关系:y=ax2+by,并且当投资2万元时,可获利润率2.4万元;当投资4万元时,可获利3.2万元。
请分别求出两函数的表达式。
分析:利用待定系数法,套用正比例函数和二次函数的模型,构造关于k、a、b的方程就可求解。
评注:初中常见的模型有:平均增长率、行程、工程、浓度等问题,可以建立方程(组)或不等式(组)模型;拱桥、炮弹发射、飞机投物、投铅球、篮球等问题可建立二次函数模型;测量中求影高、身高、不能直接得到物体的高度等问题可建立直角三角形模型等。
中考题型千变万化,解题策略只是提供了一个相对稳定的样本,即不是万能,也不能一成不变,遇到一个新的更深刻的现实问题或非常规的问题时我们还需要转化,分步进行求解,还需要对模型加以纵横联想以方便应用,同时我们要创造更多和更高层次的模型,逐渐进入得心应手的境界。