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【摘要】：本文首先分析了高等数学难教难学的一些客观因素，接着给出了反证法的含义及在数学研究、数学教学中的作用，最后给出了反证法在高等数学教学中的应用.
【关键词】：反证法 数学教学 应用
一 引言
数学课程作为高等院校工科类学生专业必修课程，一般包含高等数学、线性代数和概率论与数理统计三门课程.与其他专业必修课程相比，这些数学课程经过几百年的发展和完善呈现的抽象化程度较高，学习时需要较强的抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，而这恰恰是大多数初学者所不足的.
高等数学作为大学第一门数学课程，这种对比表现的尤其明显.一方面是因为刚进校门的大学生的理性思维活动还主要是以对直觉和表象依赖性较强的形象思维为主，对数学的认识还停留在初等数学层面，不论是数学概念的抽象化还是逻辑推理的严密化，都还没有充足的认识；另一方面，就是高等数学课程本身而言，涉及到的数学内容比其他数学类课程更多更复杂，它所包含的思想方法和技巧是丰富多彩的，故而一般高校都将高等数学课程分为两个学期完成.
即使是这样，刚刚跨进大学校门的学生们要想在短短的一年时间内接受并消化人类历史上发展了几百年的高等数学的相关内容，还是相当困难的.再加上现行的教材基本上是按照西方人的思维以演绎法编写的教材，无法展现相关的概念和理论得到的背景和发展历史，这让习惯了通过发现归纳法进行学习的国内学生也相当不适应.
以上种种就造成了一种在高校中高等数学难学难教的普遍现象.从教育学的角度来讲，造成这种现象的根本原因就是教学中没有充分考虑国内学生的思维特点和现有的学习水平，没有根据“最近发展区”的思想来安排教学.
本文将以高等数学为例，展示反证法在教学中的应用。
反证法的含义及其作用
所谓反證法其基本思想就是“否定之否定为肯定”，所以反证法又称归谬法、背理法，是间接论证的方法之一。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。数学家阿达玛说过：“这种证法在于标明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”，这就是对反证法最精辟的概括。
反证法的论证过程如下：要证明某个定理，首先在承认定理条件的基础上，否定结论；接着将否定的结论作为新的条件按推理规则进行推演，得到与给定的条件相矛盾的结论；最后根据排中律，确定反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。
在数学中，反证法更是一种应用广泛的数学证明方法。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题很多都是用反证法来证明的。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而命题的否定则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。
早在古希腊时期，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》中就出现了反证法的身影。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。反证法在很多方面具有不可替代的作用。在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。
反证法在高等数学教学中的应用
高等数学经历几代人的努力，教学体系已比较成熟，很多定义定理已脱离了原有的产生背景，符号也相对比较简练抽象，其中的定理部分更是很多初学者望而生畏的部分.下面我们将着重展示反证法在数学定理教学中的应用。
高等数学作为大学生必修的专业基础课，不仅仅起到为后继的其他课程提供必要的知识储备的作用，更重要的要提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，让学生学会逻辑推理和证明。然而，很多学生在学习的时候出现重计算请理论的倾向，这样会让教育的质量大打折扣。所以理论证明教学第一课，如何在提高学生学习数学兴趣的同时让学生意识到理论推导、理论证明的重要性，显得尤为关键。通过学习，我们让要学生明白：学习知识不是目的，我们要通过知识的学习逐步提升自己的综合能力，那么数学的学习与其他学科相比提升能力的效果会更好。
通常我们会通过一次大家耳熟能详的例子“道旁苦李”（南朝·宋·刘义庆《世说新语·雅量第六》：“王戎七岁，尝与诸小儿游，看道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动。）引入反证法的思想。借助一个问题（故事中的王戎为什么会知道路旁边的李子是苦的？）引发学生进行深层次的思考，让学生对常见的证明方法有个感性认识，明白日常生活中如何利用反证法的思想进行理性的逻辑推理，从而引起学生学习数学的兴趣。
接着通过是无理数向大家初步展示反证法在数学理论证明中的具体方法和步骤，消除初学者接触证明的恐惧感。
具体过程为：
1、需要证明的结论：命题是无理数。
2、分析命题的条件（如果一个数等于）与命题的结论（则这个数是无理数）。
3、观察命题，如果直接证明，难度很大，确定选用反证法来证明。
4、证明第一步：否定结论，这个数不是无理数，根据实数理论，这个说法等价于这个数是有理数（这时要提示学生，这个命题有个隐含的大前提就是在实数范围内，这是逻辑思维严密性的表现之一，要把所有可能的情况都考虑进去。）。
5、证明第二步，以否定的结论作为新的条件开始进行逻辑推理。由于不是无理数，所有由实数的相关理论，不妨设，其中是互素的自然数；接着在这个式子的基础上开始推理：，所以是偶数，由此可得也必须是偶数（因为奇数的平方仍然为奇数）。由此可令，将此式子带入可得也为偶数，这时就有共同的公约数2，与最初的假设矛盾。
6、命题得证。
一般情况下，高等数学的研究对象可分为一元函数和多元函数。在高等数学的理论教学部分，我们遵循有简单到复杂，由特殊到一般的规律，逐步让学生接受并掌握反面证明的方法和思想。高等数学理论证明的教学部分大部分集中在高等数学上学期，具体包括极限存在的证明、极限理论的证明、连续性定理及应用、微积分中值定理的证明及相关应用等相关内容。
我们在学生了解并逐渐接受反证法的基础上，首先利用一些简单的极限存在问题反复利用反证法来解决问题，从而达到强化学生对这一方法的熟练掌握的目的。具体操作时，我们利用极限的唯一性这个定理向学生们展示了在相对比较困难的情况下，如何利用反证法证明结论。接着通过一个例题证明数列1，0，1，0，-----的极限不存在再次展示反证法的威力。最后选取了一些稍微困难一点儿的题目让学生们在模仿的基础上逐渐理解并掌握反证法的精髓。
高等数学一元函数部分理论证明的重点和难点主要集中在微分中值定理部分。这部分的命题或结论相对比较综合，我们在学生已经适应逻辑推理的基础上再次利用反证法展示复杂情况下如何反复利用反证法得到结论。实践证明，通过这一系列相对综合的证明题目的训练，学生的思维方式逐渐发展改变，能力也得到进一步提升。
除此之外，利用反证法证明数学命题或数学定理时，我们需要反复对命题或定理中的条件进行研究、对比，这样能让我们更清楚地明白命题或定理的内涵与外延，从而能引导学生多角度、多层面地去思考问题，在一定程度上促进了学生的能力的提升。
综上所述，在高等数学课程中尤其是理论证明部分引入反证法，不仅能加深学生对数学数学定理的内涵与外延的理解与掌握，还能打开学生眼界、激发学生学习兴趣，提高数学课程的教学效率与教学质量，更重要的是可以引导学生多方面、多角度的思考问题，优化学生的思维结构、培养学生的创新能力，提高学生的综合素质。因此，在高等数学课程教学尤其是理论部分教学中，广大教师应充分重视并恰当地应用反证法。
【参考文献】
【1】张顺燕 数学的思想、方法和应用[M] 北京：北京大学出版社，2009
【2】徐秀娟，反证法在高等数学证明题中的应用[J] 河北理工大学学报，2015（4）
【3】同济大学数学系，高等数学[M] 北京：高等教育出版社，2007
作者简介：张雁芳（1979-），女，湖北襄阳，副教授，硕士研究生，研究方向：高等教育
项目基金号：湖北省教学研究项目（2013469）；湖北省教育规划十二五课题（2014B379）
【关键词】：反证法 数学教学 应用
一 引言
数学课程作为高等院校工科类学生专业必修课程，一般包含高等数学、线性代数和概率论与数理统计三门课程.与其他专业必修课程相比，这些数学课程经过几百年的发展和完善呈现的抽象化程度较高，学习时需要较强的抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，而这恰恰是大多数初学者所不足的.
高等数学作为大学第一门数学课程，这种对比表现的尤其明显.一方面是因为刚进校门的大学生的理性思维活动还主要是以对直觉和表象依赖性较强的形象思维为主，对数学的认识还停留在初等数学层面，不论是数学概念的抽象化还是逻辑推理的严密化，都还没有充足的认识；另一方面，就是高等数学课程本身而言，涉及到的数学内容比其他数学类课程更多更复杂，它所包含的思想方法和技巧是丰富多彩的，故而一般高校都将高等数学课程分为两个学期完成.
即使是这样，刚刚跨进大学校门的学生们要想在短短的一年时间内接受并消化人类历史上发展了几百年的高等数学的相关内容，还是相当困难的.再加上现行的教材基本上是按照西方人的思维以演绎法编写的教材，无法展现相关的概念和理论得到的背景和发展历史，这让习惯了通过发现归纳法进行学习的国内学生也相当不适应.
以上种种就造成了一种在高校中高等数学难学难教的普遍现象.从教育学的角度来讲，造成这种现象的根本原因就是教学中没有充分考虑国内学生的思维特点和现有的学习水平，没有根据“最近发展区”的思想来安排教学.
本文将以高等数学为例，展示反证法在教学中的应用。
反证法的含义及其作用
所谓反證法其基本思想就是“否定之否定为肯定”，所以反证法又称归谬法、背理法，是间接论证的方法之一。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。数学家阿达玛说过：“这种证法在于标明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”，这就是对反证法最精辟的概括。
反证法的论证过程如下：要证明某个定理，首先在承认定理条件的基础上，否定结论；接着将否定的结论作为新的条件按推理规则进行推演，得到与给定的条件相矛盾的结论；最后根据排中律，确定反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。
在数学中，反证法更是一种应用广泛的数学证明方法。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题很多都是用反证法来证明的。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而命题的否定则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。
早在古希腊时期，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》中就出现了反证法的身影。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。反证法在很多方面具有不可替代的作用。在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。
反证法在高等数学教学中的应用
高等数学经历几代人的努力，教学体系已比较成熟，很多定义定理已脱离了原有的产生背景，符号也相对比较简练抽象，其中的定理部分更是很多初学者望而生畏的部分.下面我们将着重展示反证法在数学定理教学中的应用。
高等数学作为大学生必修的专业基础课，不仅仅起到为后继的其他课程提供必要的知识储备的作用，更重要的要提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，让学生学会逻辑推理和证明。然而，很多学生在学习的时候出现重计算请理论的倾向，这样会让教育的质量大打折扣。所以理论证明教学第一课，如何在提高学生学习数学兴趣的同时让学生意识到理论推导、理论证明的重要性，显得尤为关键。通过学习，我们让要学生明白：学习知识不是目的，我们要通过知识的学习逐步提升自己的综合能力，那么数学的学习与其他学科相比提升能力的效果会更好。
通常我们会通过一次大家耳熟能详的例子“道旁苦李”（南朝·宋·刘义庆《世说新语·雅量第六》：“王戎七岁，尝与诸小儿游，看道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动。）引入反证法的思想。借助一个问题（故事中的王戎为什么会知道路旁边的李子是苦的？）引发学生进行深层次的思考，让学生对常见的证明方法有个感性认识，明白日常生活中如何利用反证法的思想进行理性的逻辑推理，从而引起学生学习数学的兴趣。
接着通过是无理数向大家初步展示反证法在数学理论证明中的具体方法和步骤，消除初学者接触证明的恐惧感。
具体过程为：
1、需要证明的结论：命题是无理数。
2、分析命题的条件（如果一个数等于）与命题的结论（则这个数是无理数）。
3、观察命题，如果直接证明，难度很大，确定选用反证法来证明。
4、证明第一步：否定结论，这个数不是无理数，根据实数理论，这个说法等价于这个数是有理数（这时要提示学生，这个命题有个隐含的大前提就是在实数范围内，这是逻辑思维严密性的表现之一，要把所有可能的情况都考虑进去。）。
5、证明第二步，以否定的结论作为新的条件开始进行逻辑推理。由于不是无理数，所有由实数的相关理论，不妨设，其中是互素的自然数；接着在这个式子的基础上开始推理：，所以是偶数，由此可得也必须是偶数（因为奇数的平方仍然为奇数）。由此可令，将此式子带入可得也为偶数，这时就有共同的公约数2，与最初的假设矛盾。
6、命题得证。
一般情况下，高等数学的研究对象可分为一元函数和多元函数。在高等数学的理论教学部分，我们遵循有简单到复杂，由特殊到一般的规律，逐步让学生接受并掌握反面证明的方法和思想。高等数学理论证明的教学部分大部分集中在高等数学上学期，具体包括极限存在的证明、极限理论的证明、连续性定理及应用、微积分中值定理的证明及相关应用等相关内容。
我们在学生了解并逐渐接受反证法的基础上，首先利用一些简单的极限存在问题反复利用反证法来解决问题，从而达到强化学生对这一方法的熟练掌握的目的。具体操作时，我们利用极限的唯一性这个定理向学生们展示了在相对比较困难的情况下，如何利用反证法证明结论。接着通过一个例题证明数列1，0，1，0，-----的极限不存在再次展示反证法的威力。最后选取了一些稍微困难一点儿的题目让学生们在模仿的基础上逐渐理解并掌握反证法的精髓。
高等数学一元函数部分理论证明的重点和难点主要集中在微分中值定理部分。这部分的命题或结论相对比较综合，我们在学生已经适应逻辑推理的基础上再次利用反证法展示复杂情况下如何反复利用反证法得到结论。实践证明，通过这一系列相对综合的证明题目的训练，学生的思维方式逐渐发展改变，能力也得到进一步提升。
除此之外，利用反证法证明数学命题或数学定理时，我们需要反复对命题或定理中的条件进行研究、对比，这样能让我们更清楚地明白命题或定理的内涵与外延，从而能引导学生多角度、多层面地去思考问题，在一定程度上促进了学生的能力的提升。
综上所述，在高等数学课程中尤其是理论证明部分引入反证法，不仅能加深学生对数学数学定理的内涵与外延的理解与掌握，还能打开学生眼界、激发学生学习兴趣，提高数学课程的教学效率与教学质量，更重要的是可以引导学生多方面、多角度的思考问题，优化学生的思维结构、培养学生的创新能力，提高学生的综合素质。因此，在高等数学课程教学尤其是理论部分教学中，广大教师应充分重视并恰当地应用反证法。
【参考文献】
【1】张顺燕 数学的思想、方法和应用[M] 北京：北京大学出版社，2009
【2】徐秀娟，反证法在高等数学证明题中的应用[J] 河北理工大学学报，2015（4）
【3】同济大学数学系，高等数学[M] 北京：高等教育出版社，2007
作者简介：张雁芳（1979-），女，湖北襄阳，副教授，硕士研究生，研究方向：高等教育
项目基金号：湖北省教学研究项目（2013469）；湖北省教育规划十二五课题（2014B379）