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【中图分类号】O435.1 【文献标识码】B 【文章编号】1009-9646(2009)12-0032-02
【摘要】利用数学中的罗尔中值定理及光路的可逆性原理证明了三棱镜获得最小偏向角的条件,即单色光线的入射角等于出射角。同时采用MATLAB软件模拟分析了三棱镜偏向角随光线入射角的变化规律,结果表明入射角在0到π/2的范围内,偏向角有唯一的最小值。论文的理论研究及模拟结果为学生的学习及其他同行的教学研究提供了宝贵的借鉴。
【关键词】罗尔中值定理;光路可逆性原理;最小值;偏向角
【Abstract】The conditions of acquisition of minimum deviation is proved by means of Rolle’s Theorem and the reversibility principle of beam path for triple prism, it is that the angle of incidence is equal to the angle of emergence for monochromatic incident beam. At the same time, the variable curve of the angle of deviation as the incident angle is simulated by software MATLAB. simulation results show that the angle of deviation has unique minimum value in variation range of incidence angle from 0 to π/2. The study results provided new understanding and valuable references for learning of student and teaching study of other experts.
【Key words】Rolle’s Theorem, reversibility principle of beam path, minimum value, angle of deviation
1引言
光学三棱镜是由两个不平行的折射平面所围成的透明介质元件,其主要作用是使通过它的光线的出射方向相对于入射方向发生偏折。当所研究的单色光线在主截面内折射时,出射光线和入射光线之间的夹角被定义为偏向角。目前,大多数《光学》教材[1-4]对于三棱镜的最小偏向角都有一致的叙述:随着入射角α的改变,偏向角δ也发生变化,但是,当入射角α变到某一值时,有一个最小偏向角δmin存在,但关于最小偏向角的证明,有的采用极值法证明,有的则没有证明。英文教材[5-6]对于棱镜的最小偏向角叙述较为详细,但也都是采用极值法证明的。本文利用数学中的罗尔中值定理证明了:对于单色光线入射三棱镜,当入射角与出射角相等时,偏向角最小,同时利用软件模拟了偏向角随入射角的变化曲线。
2理论推导
2.1罗尔中值定理:若函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),则一定存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0。
2.2罗尔中值定理推导三棱镜取得最小偏向角的条件:如图1所示,棱镜放在空气中,α,β分别为单色光线的入射角和出射角,i1,i2分别为光线在三棱镜内的折射角,δ为光线的偏向角,A为三棱镜的顶角。由图1可得:
【摘要】利用数学中的罗尔中值定理及光路的可逆性原理证明了三棱镜获得最小偏向角的条件,即单色光线的入射角等于出射角。同时采用MATLAB软件模拟分析了三棱镜偏向角随光线入射角的变化规律,结果表明入射角在0到π/2的范围内,偏向角有唯一的最小值。论文的理论研究及模拟结果为学生的学习及其他同行的教学研究提供了宝贵的借鉴。
【关键词】罗尔中值定理;光路可逆性原理;最小值;偏向角
【Abstract】The conditions of acquisition of minimum deviation is proved by means of Rolle’s Theorem and the reversibility principle of beam path for triple prism, it is that the angle of incidence is equal to the angle of emergence for monochromatic incident beam. At the same time, the variable curve of the angle of deviation as the incident angle is simulated by software MATLAB. simulation results show that the angle of deviation has unique minimum value in variation range of incidence angle from 0 to π/2. The study results provided new understanding and valuable references for learning of student and teaching study of other experts.
【Key words】Rolle’s Theorem, reversibility principle of beam path, minimum value, angle of deviation
1引言
光学三棱镜是由两个不平行的折射平面所围成的透明介质元件,其主要作用是使通过它的光线的出射方向相对于入射方向发生偏折。当所研究的单色光线在主截面内折射时,出射光线和入射光线之间的夹角被定义为偏向角。目前,大多数《光学》教材[1-4]对于三棱镜的最小偏向角都有一致的叙述:随着入射角α的改变,偏向角δ也发生变化,但是,当入射角α变到某一值时,有一个最小偏向角δmin存在,但关于最小偏向角的证明,有的采用极值法证明,有的则没有证明。英文教材[5-6]对于棱镜的最小偏向角叙述较为详细,但也都是采用极值法证明的。本文利用数学中的罗尔中值定理证明了:对于单色光线入射三棱镜,当入射角与出射角相等时,偏向角最小,同时利用软件模拟了偏向角随入射角的变化曲线。
2理论推导
2.1罗尔中值定理:若函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),则一定存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0。
2.2罗尔中值定理推导三棱镜取得最小偏向角的条件:如图1所示,棱镜放在空气中,α,β分别为单色光线的入射角和出射角,i1,i2分别为光线在三棱镜内的折射角,δ为光线的偏向角,A为三棱镜的顶角。由图1可得: