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记得老师说过要完美地解答一道题目，不仅需要好的分析方法，还要能一题多解，从中来寻求精炼简便的方法.下面我们就以老师布置的一道题为例，谈谈我解这道题的过程和经历.
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E.
（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC边中点，AC AB=2时，求
OF OE的值.
题目中的第1小题很好证明，但第2小题有点困难了，一开始难住了我，但是经过长时间的努力，也算出了最终结果.我是通过直接计算OF和OE的长来求比值.
解法1 ：如图1,设AB=1，则AC=2，由勾股定理可求出OB=
2，BC=5，再由△ABD∽△BCA，求出BD=
5 5，
又因为Rt△BDF∽Rt△BOE，所以
DF OE=BD BO，由此比例式可得DF=
10 10OE.
由（1）有△ABF∽△COE，因为AC=2AB，O是AC边的中点，所以AB=OC=OA，
所以△ABF≌△COE，即BF=OE.
在Rt△BDF中BF2=BD2+DF2，所以OE2=BD2+DF2,
即OE2=1 5+
1 10OE2，求得OE=
2 3，所以OF=OB-BF=OB-OE=
22 3，所以
OF OE=2.
老师说当解决一个问题有困难时，我们应善于联想，如题目中的比值能否用两个三角形相似来解决呢？由于OE=BF，所以要求
OF OE的值不就是求
BF OE的值嘛，同时联想到相似三角形中典型的“A型和X型”模型，不难想出辅助线的添法.
解法2 ：如图2，作OG⊥AC，交AD的延长线于G，
因为∠BAD+∠DAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
所以∠DAC=∠ABD，
又∠BAC=∠AOG=90°，AB=OA，
所以△ABC≌△OAG，
所以OG=AC=2AB，
因为OG⊥OA，
所以AB∥OG，
所以△ABF∽△GOF，
所以OF BF=OG AB，
前面已证BF=OE，
所以OF OE=
OF BF=OG AB=2.
后来老师问我们还有其他的解法吗？经过我们激烈的小组讨论，得出以下解法.
解法3 ：如图3,作 FG⊥AB于G, FH⊥AC于H，则AHFG为矩形，△BGF为等腰直角三角形，
所以 BG=GF=AH，
因为 GF∥AO，
所以OF BF=
AG BG=AG GF
因为∠GAF=∠C,
所以 Rt△AGF∽Rt△CAB，
所以OF BF
=AC AB=2.
前面已证BF=OE,
所以OF OE=OF BF=2.
该解法和上一解法都是利用了OE=BF，构造出相似三角形来解.就在我们得意洋洋时，老师突然将题目改成了：当O为AC边中点，
AC AB=n时，求
OF OE的值.
怎么做呢？此时我们发现OE和BF不相等了，但△ABF和△COE还是相似的，所以我们还是利用两相似三角形之间的比例关系，借助BF这条线段，结合
OF BF和BF OE也还是做出来了.
老师又问能不能利用相似直接求出
OF OE呢？那辅助线又该如何作呢？看看如果我这么做，可不可以？
解法4 ：如图4,过O作AC垂线并交BC于H,
因为∠AFB=∠OEC,
所以∠AFO=∠HEO.
因为∠BAF=∠ECO,
所以∠FAO=∠EHO.
所以△OEH∽△OFA,
所以∠FAO=∠EHO.所以△OEH∽△OFA.
所以OF OE=OA OH=AB OH=2.
一题多解可以让我们从不同的角度去分析、解决问题，我们也应该从多种解法中来寻求精炼简便的方法.数学的魅力是无穷的，需要我们去积极探索发现，我们应为解好每一道数学题而认真思考.
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E.
（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC边中点，AC AB=2时，求
OF OE的值.
题目中的第1小题很好证明，但第2小题有点困难了，一开始难住了我，但是经过长时间的努力，也算出了最终结果.我是通过直接计算OF和OE的长来求比值.
解法1 ：如图1,设AB=1，则AC=2，由勾股定理可求出OB=
2，BC=5，再由△ABD∽△BCA，求出BD=
5 5，
又因为Rt△BDF∽Rt△BOE，所以
DF OE=BD BO，由此比例式可得DF=
10 10OE.
由（1）有△ABF∽△COE，因为AC=2AB，O是AC边的中点，所以AB=OC=OA，
所以△ABF≌△COE，即BF=OE.
在Rt△BDF中BF2=BD2+DF2，所以OE2=BD2+DF2,
即OE2=1 5+
1 10OE2，求得OE=
2 3，所以OF=OB-BF=OB-OE=
22 3，所以
OF OE=2.
老师说当解决一个问题有困难时，我们应善于联想，如题目中的比值能否用两个三角形相似来解决呢？由于OE=BF，所以要求
OF OE的值不就是求
BF OE的值嘛，同时联想到相似三角形中典型的“A型和X型”模型，不难想出辅助线的添法.
解法2 ：如图2，作OG⊥AC，交AD的延长线于G，
因为∠BAD+∠DAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
所以∠DAC=∠ABD，
又∠BAC=∠AOG=90°，AB=OA，
所以△ABC≌△OAG，
所以OG=AC=2AB，
因为OG⊥OA，
所以AB∥OG，
所以△ABF∽△GOF，
所以OF BF=OG AB，
前面已证BF=OE，
所以OF OE=
OF BF=OG AB=2.
后来老师问我们还有其他的解法吗？经过我们激烈的小组讨论，得出以下解法.
解法3 ：如图3,作 FG⊥AB于G, FH⊥AC于H，则AHFG为矩形，△BGF为等腰直角三角形，
所以 BG=GF=AH，
因为 GF∥AO，
所以OF BF=
AG BG=AG GF
因为∠GAF=∠C,
所以 Rt△AGF∽Rt△CAB，
所以OF BF
=AC AB=2.
前面已证BF=OE,
所以OF OE=OF BF=2.
该解法和上一解法都是利用了OE=BF，构造出相似三角形来解.就在我们得意洋洋时，老师突然将题目改成了：当O为AC边中点，
AC AB=n时，求
OF OE的值.
怎么做呢？此时我们发现OE和BF不相等了，但△ABF和△COE还是相似的，所以我们还是利用两相似三角形之间的比例关系，借助BF这条线段，结合
OF BF和BF OE也还是做出来了.
老师又问能不能利用相似直接求出
OF OE呢？那辅助线又该如何作呢？看看如果我这么做，可不可以？
解法4 ：如图4,过O作AC垂线并交BC于H,
因为∠AFB=∠OEC,
所以∠AFO=∠HEO.
因为∠BAF=∠ECO,
所以∠FAO=∠EHO.
所以△OEH∽△OFA,
所以∠FAO=∠EHO.所以△OEH∽△OFA.
所以OF OE=OA OH=AB OH=2.
一题多解可以让我们从不同的角度去分析、解决问题，我们也应该从多种解法中来寻求精炼简便的方法.数学的魅力是无穷的，需要我们去积极探索发现，我们应为解好每一道数学题而认真思考.