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[摘 要] 建构主义理论以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构. 本文结合“用待定系数法求二次函数解析式”一课的教学实例，通过教学过程中的“情境”“协作学习”“联系与思考”几方面，探讨建构主义理论在初中教学中的应用.
[关键词] 建构主义；初中数学；待定系数法
建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得. 前不久，在笔者所在学校组织的听课评课活动中的一节“用待定系数法求二次函数解析式”的课堂教学引起了听课教师的讨论，现将课堂实录展现如下.
教学实录
1. 复习引入，唤醒旧知
师：现在请同学们快速完成下列小题，并回顾一下所学的知识.
（1）二次函数y=2（x 3）2-1的图像的顶点坐标为______，经过点（0，___）；
（2）二次函数y =-x2 2x 3的图像的顶点坐标为______，与y轴的交点坐标为______，与x轴的交点坐标为______.
师：二次函数的一般式与顶点式有怎样的关系？
生：可以互相转换，顶点式更特殊，可直接得到顶点坐标.
师：很好！一般式与顶点式是二次函数解析式的两种不同的外在形式，而且两者可以相互转换.
点评 知识回顾是我们新授课的常规做法，即承接上节课的有关知识，又为新课做了铺垫. 建构主义认为，应当把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中生长新的知识经验，即“最近发展区”. 教师通过两道小题，梳理了知识，帮助学生获得了学习新知所需的经验和知识.
2.师生互动，探求新知
师：请看下面这道题——
（1）已知二次函数y=ax2的图像经过点（-2，8），求a的值.
生：因为二次函数y=ax2的图像经过点（-2，8），也就是说点（-2，8）的坐标适合函数解析式，代入后进行求解就可以了.
师：刚才的问题中需要求一个待定系数，那如果问题中出现了两个或三个待定系数，你会求吗？请看试题——
（2）已知二次函数y=ax2 c的图像经过点（-2，8）和（-1，5），求a，c的值；
（3）已知二次函数y=ax2 bx c的图像经过点（-3，6），（-2，-1）和（0，-3），求这个二次函数的表达式.
（学生板演，在解三元一次方程组时学生有点困难，教师及时组织学生讨论，并讲评）
师：通过刚才的题组，同学们能总结一下用待定系数法求二次函数解析式的关键吗？
生：关键是①确定待定系数；②点在函数图像上时，点的坐标满足此函数的解析式；③会解简单的三元一次方程组.
师：归纳得真不错！
点评 建构主义教学比传统教学要求学生承担更多的管理自己学习的机会；教师应当注意使机会永远处于“学生最近发展区”，并为学生提供一定的辅导. 学生要用探索法和发现法去建构知识的意义. 教师通过一组题组，由浅入深，由特殊到一般，引导学生在解决问题的过程中发现问题的规律，进行意义建构.
3. 运用知识，加深理解
（例题教学）
例1 已知二次函数的图像经过点（3，0），（-1，0）和（0，3），求这个二次函数的表达式.
例2 已知二次函数的图像顶点为（-3，-1），且经过点（0，17），求这个二次函数的表达式.
师：这两道题与上面的题组有什么不同？
生1：没有给出解析式的形式.
师：那应该怎么办？
生1：先将解析式设好.
师：例1的解析式如何设？
生2：可以设二次函数的一般式y=ax2 bx c（a≠0），通过二次函数经过三个点的坐标这个条件得到关于a，b，c的三元一次方程组，进而进行求解.
师：那例2呢？
生2：可以设成顶点式y=a（x-h）2 k（a≠0），由条件给出的顶点坐标，可以确定h，k的值，剩下的a可以由条件“二次函数经过点（0，17）”得到关于a的一元一次方程，求解即可.
（学生板演过程）
师：对于二次函数的两个表达式，该如何选择？
生3：当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y=ax2 bx c（a≠0）；当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y=a（x-h）2 k（a≠0）.
师：很好！选择合适的解析式形式可以提高我们的解题效率. 通过下面的练习，请同学们仔细体会.
1. 已知二次函数的图像经过原点，且当x=1时，y有最小值-1，求这个二次函数的表达式.
2. 已知二次函数的图像经过一次函数y=-1.5x 3的图像与x轴、y轴的交点，且经过点（1，1），求这个二次函数的表达式.
（当堂检测，教师批改）
点評 高效的训练来源于高效的问题，课例中并没有将学生淹没在大量的“题海”中，而是通过对比让学生体会到两种形式的恰当选择，变式练习让学生对知识的应用有了更深刻的理解. 另外，协作和交流是学生意义建构的重要手段，课例中教师应尽可能组织协作学习，展开讨论和交流，并对协作学习过程进行引导，使之朝有利于意义建构的方向发展.
4. 拓展提高，训练思维
师：下面再请同学们接受一下挑战——
已知抛物线y=x2 （m 1）x m.
（1）若抛物线经过原点，则m=______；
（2）若抛物线的对称轴为直线x=2，则m=______； （3）若抛物线的顶点在x 轴上，则m=______.
点评 题目形式的改变提高了学生思维的深度，若能顺利解决，可以使学生在变化的过程中体会“万变不离其宗”，使思维得到有效训练.
5. 归纳总结，完善知识
（1）待定系数法的一般步骤和方法；
（2）两种表达式的恰当使用；
（3）计算中的注意点.
反思与建议
1. 创设情境，建构意义
建构主义要求教师通过创设符合教学内容要求的情境和提示新旧知识之间联系的线索，帮助学生建构当前所学知识的意义. 课例中的教师根据学生的“最近发展区”建立一个个支架，不停地将学生的智力从一个水平引向另一个更高的水平. 但课例中也有值得改进的情境，复习引入中两个小题的第（2）小题要求抛物线与坐标轴的交点坐标，这部分内容对学生建构本节课所学知识的意义没有直接帮助，如果能用一个用待定系数法求一次函数解析式的问题，用类比的方法引入课题，就更有利于学生建构自己的知识意义.
2. 以生为本，协作学习
建构主义提倡在教师指导下，以学习者为中心. 为了使意义建构更有效，教师应在可能的条件下组织协作学习（开展讨论与交流），并对协作学习过程进行引导，使之朝有利于意义建构的方向发展. 课例中，教师通过不同的方法进行引导：提出适当的问题以引起學生的思考和讨论；在讨论中设法把问题一步步引向深入，以加深学生对所学内容的理解；启发并诱导学生自己去发现规律、自己去纠正和补充错误的认识与片面的认识.
3. 联系知识，激发思考
课例中，教师首先通过一个题组从易到难，从特殊到一般，让学生通过问题解决发现问题的规律和方法，正是让学生充分“联系”与“思考”，进行了高效的意义建构. 而课例中最后的拓展问题，学生没有很好地解决，究其原因，是学生的定式思维阻碍了他们：要求待定系数，就要有点的坐标代入组成方程（组）进行求解. 题目给出的是二次函数的一般式，而要求的系数却与顶点坐标有关. 但其根本其实是在例题教学中针对两个表达式学生没有进行充分“联系”与“思考”. 若在学生思考例1的时候，教师能够引导一下，即能否设顶点式来解决以激发学生的思考兴趣，学生在联系自己的旧知时，就能发现可以通过一般式下的顶点坐标公式得到关于一般式待定系数的另外两个方程以组成三元一次方程组，进而求解. 理解原来在用待定系数法求二次函数解析式的求解过程中的方程不一定必须要用点坐标代入得到，这样既消除了学生的定式思维，又能让学生深刻理解两种表达式的联系. 同样的，例2也可以这样处理. 如果学生通过这样的“联系”与“思考”，那后面的拓展问题也可以得到很好地解决.
[关键词] 建构主义；初中数学；待定系数法
建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得. 前不久，在笔者所在学校组织的听课评课活动中的一节“用待定系数法求二次函数解析式”的课堂教学引起了听课教师的讨论，现将课堂实录展现如下.
教学实录
1. 复习引入，唤醒旧知
师：现在请同学们快速完成下列小题，并回顾一下所学的知识.
（1）二次函数y=2（x 3）2-1的图像的顶点坐标为______，经过点（0，___）；
（2）二次函数y =-x2 2x 3的图像的顶点坐标为______，与y轴的交点坐标为______，与x轴的交点坐标为______.
师：二次函数的一般式与顶点式有怎样的关系？
生：可以互相转换，顶点式更特殊，可直接得到顶点坐标.
师：很好！一般式与顶点式是二次函数解析式的两种不同的外在形式，而且两者可以相互转换.
点评 知识回顾是我们新授课的常规做法，即承接上节课的有关知识，又为新课做了铺垫. 建构主义认为，应当把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中生长新的知识经验，即“最近发展区”. 教师通过两道小题，梳理了知识，帮助学生获得了学习新知所需的经验和知识.
2.师生互动，探求新知
师：请看下面这道题——
（1）已知二次函数y=ax2的图像经过点（-2，8），求a的值.
生：因为二次函数y=ax2的图像经过点（-2，8），也就是说点（-2，8）的坐标适合函数解析式，代入后进行求解就可以了.
师：刚才的问题中需要求一个待定系数，那如果问题中出现了两个或三个待定系数，你会求吗？请看试题——
（2）已知二次函数y=ax2 c的图像经过点（-2，8）和（-1，5），求a，c的值；
（3）已知二次函数y=ax2 bx c的图像经过点（-3，6），（-2，-1）和（0，-3），求这个二次函数的表达式.
（学生板演，在解三元一次方程组时学生有点困难，教师及时组织学生讨论，并讲评）
师：通过刚才的题组，同学们能总结一下用待定系数法求二次函数解析式的关键吗？
生：关键是①确定待定系数；②点在函数图像上时，点的坐标满足此函数的解析式；③会解简单的三元一次方程组.
师：归纳得真不错！
点评 建构主义教学比传统教学要求学生承担更多的管理自己学习的机会；教师应当注意使机会永远处于“学生最近发展区”，并为学生提供一定的辅导. 学生要用探索法和发现法去建构知识的意义. 教师通过一组题组，由浅入深，由特殊到一般，引导学生在解决问题的过程中发现问题的规律，进行意义建构.
3. 运用知识，加深理解
（例题教学）
例1 已知二次函数的图像经过点（3，0），（-1，0）和（0，3），求这个二次函数的表达式.
例2 已知二次函数的图像顶点为（-3，-1），且经过点（0，17），求这个二次函数的表达式.
师：这两道题与上面的题组有什么不同？
生1：没有给出解析式的形式.
师：那应该怎么办？
生1：先将解析式设好.
师：例1的解析式如何设？
生2：可以设二次函数的一般式y=ax2 bx c（a≠0），通过二次函数经过三个点的坐标这个条件得到关于a，b，c的三元一次方程组，进而进行求解.
师：那例2呢？
生2：可以设成顶点式y=a（x-h）2 k（a≠0），由条件给出的顶点坐标，可以确定h，k的值，剩下的a可以由条件“二次函数经过点（0，17）”得到关于a的一元一次方程，求解即可.
（学生板演过程）
师：对于二次函数的两个表达式，该如何选择？
生3：当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y=ax2 bx c（a≠0）；当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y=a（x-h）2 k（a≠0）.
师：很好！选择合适的解析式形式可以提高我们的解题效率. 通过下面的练习，请同学们仔细体会.
1. 已知二次函数的图像经过原点，且当x=1时，y有最小值-1，求这个二次函数的表达式.
2. 已知二次函数的图像经过一次函数y=-1.5x 3的图像与x轴、y轴的交点，且经过点（1，1），求这个二次函数的表达式.
（当堂检测，教师批改）
点評 高效的训练来源于高效的问题，课例中并没有将学生淹没在大量的“题海”中，而是通过对比让学生体会到两种形式的恰当选择，变式练习让学生对知识的应用有了更深刻的理解. 另外，协作和交流是学生意义建构的重要手段，课例中教师应尽可能组织协作学习，展开讨论和交流，并对协作学习过程进行引导，使之朝有利于意义建构的方向发展.
4. 拓展提高，训练思维
师：下面再请同学们接受一下挑战——
已知抛物线y=x2 （m 1）x m.
（1）若抛物线经过原点，则m=______；
（2）若抛物线的对称轴为直线x=2，则m=______； （3）若抛物线的顶点在x 轴上，则m=______.
点评 题目形式的改变提高了学生思维的深度，若能顺利解决，可以使学生在变化的过程中体会“万变不离其宗”，使思维得到有效训练.
5. 归纳总结，完善知识
（1）待定系数法的一般步骤和方法；
（2）两种表达式的恰当使用；
（3）计算中的注意点.
反思与建议
1. 创设情境，建构意义
建构主义要求教师通过创设符合教学内容要求的情境和提示新旧知识之间联系的线索，帮助学生建构当前所学知识的意义. 课例中的教师根据学生的“最近发展区”建立一个个支架，不停地将学生的智力从一个水平引向另一个更高的水平. 但课例中也有值得改进的情境，复习引入中两个小题的第（2）小题要求抛物线与坐标轴的交点坐标，这部分内容对学生建构本节课所学知识的意义没有直接帮助，如果能用一个用待定系数法求一次函数解析式的问题，用类比的方法引入课题，就更有利于学生建构自己的知识意义.
2. 以生为本，协作学习
建构主义提倡在教师指导下，以学习者为中心. 为了使意义建构更有效，教师应在可能的条件下组织协作学习（开展讨论与交流），并对协作学习过程进行引导，使之朝有利于意义建构的方向发展. 课例中，教师通过不同的方法进行引导：提出适当的问题以引起學生的思考和讨论；在讨论中设法把问题一步步引向深入，以加深学生对所学内容的理解；启发并诱导学生自己去发现规律、自己去纠正和补充错误的认识与片面的认识.
3. 联系知识，激发思考
课例中，教师首先通过一个题组从易到难，从特殊到一般，让学生通过问题解决发现问题的规律和方法，正是让学生充分“联系”与“思考”，进行了高效的意义建构. 而课例中最后的拓展问题，学生没有很好地解决，究其原因，是学生的定式思维阻碍了他们：要求待定系数，就要有点的坐标代入组成方程（组）进行求解. 题目给出的是二次函数的一般式，而要求的系数却与顶点坐标有关. 但其根本其实是在例题教学中针对两个表达式学生没有进行充分“联系”与“思考”. 若在学生思考例1的时候，教师能够引导一下，即能否设顶点式来解决以激发学生的思考兴趣，学生在联系自己的旧知时，就能发现可以通过一般式下的顶点坐标公式得到关于一般式待定系数的另外两个方程以组成三元一次方程组，进而求解. 理解原来在用待定系数法求二次函数解析式的求解过程中的方程不一定必须要用点坐标代入得到，这样既消除了学生的定式思维，又能让学生深刻理解两种表达式的联系. 同样的，例2也可以这样处理. 如果学生通过这样的“联系”与“思考”，那后面的拓展问题也可以得到很好地解决.