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胡灵芝，河南省特级教师，全国初中数学竞赛高级教练员，河南电视台和郑州教育电视台数学教育节目主讲教师.河南省教研室录制其多种教学光盘向全省推广，并参与编写多种学习指导类专著.承担省级教研课题并获得省科研成果一等奖，担任两项国家级科研课题实验学校项目负责人.
一、选择题
1. 如图1，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD的大小是（）．
Ａ. 150° Ｂ． 300° Ｃ． 210° Ｄ． 330°
2. 如图2所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）.
A． 邻边不等的矩形 B． 等腰梯形
C． 有一个角是锐角的菱形 D． 正方形
3. 如图3，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF，GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）.
A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对
4. 如图4，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）.
A． S=2B． S=2.4C． S=4D． S与BE长度有关
5. 如图5，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2 cm，则梯形ABCD的面积为（）．
A. 3cm2 B. 6 cm2 C. 6cm2 D. 12 cm2
6. 如图6，矩形ABCG（AB A． 0B． 1C． 2D． 3
7. 如图7，将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放（只画出前几个），点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）.
A． cm2B． cm2C． cm2D．n cm2
8. 如图8，菱形ABCD的周长为40 cm，DE⊥AB，垂足为E， = .有下列结论：① DE=6 cm；② BE=2 cm；③ 菱形面积为60 cm2；④ BD=4cm.其中正确的结论有（）.
Ａ． 1个Ｂ． 2个Ｃ． 3个Ｄ． 4个
二、填空题
9. 如图9，菱形ABCD（B点与原点O重合）的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______.
10. 如图10，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H在DC边上，且GH= DC．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为______．
11. 如图11，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC＝2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是______.
12. 如图12，在周长为20 cm的?荀ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为______.
13. 如图13，菱形ABCD的周长为4 cm，点O是对角线AC的中点，将这个菱形沿AC方向平移一个AO的长度得到菱形OB′C′D′，则四边形OECF的周长是______.
14. 已知矩形ABCD，分别以AD和CD为一边向矩形外作正三角形ADE和正三角形CDF，连接BE和BF，则BE ∶ BF的值等于______.
15. 如图14，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=58°，那么∠BEG的大小为______.
16. 如图15，在直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．
（1） 当AE=5时，点P落在线段CD上时，PD=______.
（2） 当点P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于______.
三、解答题
17. 如图16，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1） 求证：△ABF≌△EDF.
（2） 若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．
18. 如图17，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，BE和CF.
（1） 请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明.
（2） 判断四边形ABDF的形状，并说明理由.
（3） 若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积.
19. 如图18，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．
（1） 以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明互相垂直的理由.
（2） 若正方形的边长为2 cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为cm2，求旋转的角度n．
20. 如图19，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
（1） 求证：四边形ADCE为矩形.
（2） 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
21. 如图20，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.
（1） 请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）.
（2） 求BP ∶ PQ ∶ QR.
22. 【尝试】如图21，把一个等腰直角△ABC沿斜边上的中线CD（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A′BCD，如图.（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）
（1） 猜一猜：四边形A′BCD一定是______.
（2） 试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图21不同的四边形，并画出示意图.
【探究】在等腰直角△ABC中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.
（3） 想一想：你能拼得的特殊四边形分别是______.（写出两种）
（4） 画一画：请分别画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图.
【拓广】在等腰直角△ABC中，请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.
（5）变一变：你确定的裁剪线是______（写出一种），拼得的特殊四边形是______.
（6）拼一拼：请画出你拼得的这个特殊四边形的示意图.
参考答案
一、1. B 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C 7. C 8. C
二、9. （2＋ ， ） 10. 35 11. S2=S1+S3 12. 10 cm 13. 2 cm 14. 1∶1
15. 64° 16. （1） 2 （2） 4 -8
三、17. （1） 略. （2） 四边形BMDF是菱形，理由略.
18. （1） △BDE ≌△FEC.由△DEC和△AEF都是等边三角形，可得CE=DE，BD=AE=EF，∠BDE=∠CEF. （2） 平行四边形.可证AF=BD，AB=AE+EC=FE+ED=FD.
（3） 10 .
19. （1） AO⊥DE. 证Rt△ADO≌Rt△AEO.（GD⊥BE也成立）
（2） 30°.由S△ADO = = ，可得DO= .
所以∠DAO=30°，则∠EAB=30°.
20. （1） 由AD和AE分别是△BAC顶点A处的内外角平分线，可知AD⊥AE.
（2） 例如，当AD= BC（或∠ACB=45°）时，四边形ADCE是正方形.证明略.
21. （1） △BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.
（2）= ， = = = ，所以QR=2PQ.显然BP=PR=PQ+QR=3PQ，所以BP ∶ PQ ∶ QR=3 ∶ 1 ∶ 2.
22. （1） 平行四边形 （2） 如图22（1）所示 （3） 矩形、平行四边形或者等腰梯形（答其中两个即可） （4） 如图22（2）、（3）、（4）、（5）所示.（画其中两个与题对应的即可） （5） 将斜边绕其中点逆时针旋转小于180°的任意角度所得的直线，或者将平行于BC边（直角边）的中位线平移与AC交于点D，使AD ∶ DC= ∶1的直线；或者将平行于AB边（斜边）的中位线平移与AC交于点D，使AD ∶ DC= ∶1的直线 直角梯形 （6） 图略.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、选择题
1. 如图1，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD的大小是（）．
Ａ. 150° Ｂ． 300° Ｃ． 210° Ｄ． 330°
2. 如图2所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）.
A． 邻边不等的矩形 B． 等腰梯形
C． 有一个角是锐角的菱形 D． 正方形
3. 如图3，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF，GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）.
A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对
4. 如图4，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）.
A． S=2B． S=2.4C． S=4D． S与BE长度有关
5. 如图5，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2 cm，则梯形ABCD的面积为（）．
A. 3cm2 B. 6 cm2 C. 6cm2 D. 12 cm2
6. 如图6，矩形ABCG（AB
7. 如图7，将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放（只画出前几个），点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）.
A． cm2B． cm2C． cm2D．n cm2
8. 如图8，菱形ABCD的周长为40 cm，DE⊥AB，垂足为E， = .有下列结论：① DE=6 cm；② BE=2 cm；③ 菱形面积为60 cm2；④ BD=4cm.其中正确的结论有（）.
Ａ． 1个Ｂ． 2个Ｃ． 3个Ｄ． 4个
二、填空题
9. 如图9，菱形ABCD（B点与原点O重合）的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______.
10. 如图10，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H在DC边上，且GH= DC．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为______．
11. 如图11，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC＝2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是______.
12. 如图12，在周长为20 cm的?荀ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为______.
13. 如图13，菱形ABCD的周长为4 cm，点O是对角线AC的中点，将这个菱形沿AC方向平移一个AO的长度得到菱形OB′C′D′，则四边形OECF的周长是______.
14. 已知矩形ABCD，分别以AD和CD为一边向矩形外作正三角形ADE和正三角形CDF，连接BE和BF，则BE ∶ BF的值等于______.
15. 如图14，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=58°，那么∠BEG的大小为______.
16. 如图15，在直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．
（1） 当AE=5时，点P落在线段CD上时，PD=______.
（2） 当点P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于______.
三、解答题
17. 如图16，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1） 求证：△ABF≌△EDF.
（2） 若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．
18. 如图17，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，BE和CF.
（1） 请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明.
（2） 判断四边形ABDF的形状，并说明理由.
（3） 若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积.
19. 如图18，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．
（1） 以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明互相垂直的理由.
（2） 若正方形的边长为2 cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为cm2，求旋转的角度n．
20. 如图19，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
（1） 求证：四边形ADCE为矩形.
（2） 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
21. 如图20，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.
（1） 请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）.
（2） 求BP ∶ PQ ∶ QR.
22. 【尝试】如图21，把一个等腰直角△ABC沿斜边上的中线CD（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A′BCD，如图.（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）
（1） 猜一猜：四边形A′BCD一定是______.
（2） 试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图21不同的四边形，并画出示意图.
【探究】在等腰直角△ABC中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.
（3） 想一想：你能拼得的特殊四边形分别是______.（写出两种）
（4） 画一画：请分别画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图.
【拓广】在等腰直角△ABC中，请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.
（5）变一变：你确定的裁剪线是______（写出一种），拼得的特殊四边形是______.
（6）拼一拼：请画出你拼得的这个特殊四边形的示意图.
参考答案
一、1. B 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C 7. C 8. C
二、9. （2＋ ， ） 10. 35 11. S2=S1+S3 12. 10 cm 13. 2 cm 14. 1∶1
15. 64° 16. （1） 2 （2） 4 -8
三、17. （1） 略. （2） 四边形BMDF是菱形，理由略.
18. （1） △BDE ≌△FEC.由△DEC和△AEF都是等边三角形，可得CE=DE，BD=AE=EF，∠BDE=∠CEF. （2） 平行四边形.可证AF=BD，AB=AE+EC=FE+ED=FD.
（3） 10 .
19. （1） AO⊥DE. 证Rt△ADO≌Rt△AEO.（GD⊥BE也成立）
（2） 30°.由S△ADO = = ，可得DO= .
所以∠DAO=30°，则∠EAB=30°.
20. （1） 由AD和AE分别是△BAC顶点A处的内外角平分线，可知AD⊥AE.
（2） 例如，当AD= BC（或∠ACB=45°）时，四边形ADCE是正方形.证明略.
21. （1） △BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.
（2）= ， = = = ，所以QR=2PQ.显然BP=PR=PQ+QR=3PQ，所以BP ∶ PQ ∶ QR=3 ∶ 1 ∶ 2.
22. （1） 平行四边形 （2） 如图22（1）所示 （3） 矩形、平行四边形或者等腰梯形（答其中两个即可） （4） 如图22（2）、（3）、（4）、（5）所示.（画其中两个与题对应的即可） （5） 将斜边绕其中点逆时针旋转小于180°的任意角度所得的直线，或者将平行于BC边（直角边）的中位线平移与AC交于点D，使AD ∶ DC= ∶1的直线；或者将平行于AB边（斜边）的中位线平移与AC交于点D，使AD ∶ DC= ∶1的直线 直角梯形 （6） 图略.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文