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【摘要】本文阐述了数形结合思想的概念，并结合实际案例对数形结合思想的教学应用进行了深入分析.希望能够通过对数形结合教学案例的展示，帮助更多数学教师领悟教学方法、提高教学技能，提高学生的数学学科核心素养，提高其解决问题的能力.
【关键词】初中数学;教学方法;数形结合;案例分析
引 言
小学学段，随着课程教学的不断深入，小学生掌握了部分数学学科的基础知识.在初中学段，引导学生掌握数学思想、体会数学方法和了解数学知识的应用是数学教学过程中的核心内容.美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”.因此，领悟数学思想是帮助学生提高数学成绩、建立科学思维方式、形成创造性思维的有效途径.
一、我国初中数形结合教学存在的问题
（一）重视程度不足
部分数学教师对数形结合思想在初中数学教学过程中的应用的重视程度不足.在实际教学过程中，教师不仅需要讲解概念、定理、法则和公式等基础知识，还需要引导学生形成数形结合思想，提高自身数形结合的运用能力.例如，角平分线性质的定理就和数形结合思想紧密联系，需要教师在课堂教学环节明确指出并强化学生记忆.
（二）教学方法单一
在教學方法上，很多教师的教学形式过于单一，一味地追求“口述 板书”的传统教学形式.教师想通过这种简单的教学方式，使学生熟练地掌握数形结合思想，但是，多数学生基础知识掌握得不扎实、理解能力不过关，需要教师在传统教学的基础上灵活地运用多媒体课件进行教学，运用分组合作教学，为学生营造讨论氛围，使学生相互取长补短.例如，在学习平方差公式时，很多学生无法充分理解公式的几何意义.这时，教师应运用多媒体课件，运用分组合作的方式教学，降低学生的学习难度.
（三）忽视能力培养
部分教师过度重视培养学生解题技巧，忽视学生思维能力的培养.很多教师都希望能够通过课堂教学环节提高学生的数学成绩，一味地使用题海战术，忽略了学生是否真的从例题中获得启示，不关注学生是否形成了数形结合思想.这种教学方式下，学生仅初步了解了解题方式和基本思路.显然地，粗犷的题海战术无法渗透和训练学生的数学思想，甚至很多教师的这种教学理念直接导致学生不具备数形结合思想和能力.
二、数形结合教学开展的有效策略
教师需要明确数形结合思想是一种运动的思想，是一种变化的思想，同时也是一种在运用和计算的过程中需要不断转化的思想.教师应引导学生在动态思维模式下学习数形结合思想.例如，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满.在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图1所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是图中的哪一个？你能画出向另两个容器注水时水面高度h随时间t变化的图像（草图）吗？
如上题所示，运用动态思维方式研究这一例题，将每一个容器的形状和坐标系中的折线规律进行同步思考，更有利于学生理解数形结合思想的运用，同时可以有效加快学生的解题速度.在了解了O到A，A到B，B到C三段折线的角度之后，可以推导出B到C这一阶段液面高度增长速度最快，容器最顶层的体积最小.由此可以排除第2选项.再对比O到A，A到B两段可以得到第2层的液面上升速度最慢，由此可以排除1，最终答案为3号容器.此外，根据上述问题，学生在找出相对应的容器形状之后，还需要进行反向思维，运用坐标系中的折线反推出其他两个容器在注水时的液面高度.值得注意的是，在解题的全过程都需要学生保持动态思维模式.
（一）以数化形
在了解了数形结合思想是一种持续不断运动和变化的思维模式之后，数学教师就可以向学生渗透以数化形这一思维概念，让学生了解数字和图形之间的基本关系.
例如，平方差公式是初中数学课程教学中相对基础的知识点，而平方差的运用也是数形结合思想.运用的主要内容之一，比如，计算多项式 （x 1）（x-1）， （m 2）（m-2），（2x 1）（2x-1），通过计算并比较计算结果，找到其中存在的规律，从而计算出（a b）（a-b）.教师可以在结合多项式乘以多项式的法则基础上，运用几何图形来阐述这个知识点.根据教材内容，学生可以了解到（a b）（a-b）=a2-b2，根据几何公式，配合图2进行分析，可以得到a加b以及a减b的长度再利用图形面积的方式得到 a2，b2，2ab的面积由此计算出相应的平方差公式.
这种计算方式能够结合教材内容，根据公式的几何背景，培养学生数形结合的思想，同时也能够让学生对代数知识的认识更加具体、形象，便于其观察和计算.另外，教师也可以用割补法讲解上述例题.割补法是我国古代数学最重要的发现之一，是通过图形面积来表示多项式关系的一种有效途径.用图形来解释公式更加直观、形象，也有利于学生接受和记忆.教师通过几何方法将代数运算具体化，是数形结合思想的基本体现.然而这种数形结合的教学方式，虽然能够降低教学难度，但同时也存在局限性.
（二）以形变数
对学生来说，图形更加直观、形象，其能够将抽象的数学关系以具体的形式表现出来.但是，由于图形只能表示相应的比例和区间，因此想要明确定量，还需要借助数字计算的过程.尤其是当学生在面对过于简单或过于复杂的图形时，很难通过直接观察得到需要的规律和结论.为此，教师需要在图形教学的基础上以数字作为标准，使图形具有几何意义，引导学生发现其中规律，将图形数字化，进而有效解决图形问题.
例如，在教学“角平分线的性质”这一知识点的过程中，如何使学生熟练掌握该知识点，这需要教师利用图形和教材向学生阐述平分角的性质，介绍平分角仪器，让学生熟悉其操作方法并根据其工作原理结合动手实践，了解角的平分线性质和定理，在推导过程中总结数形结合思想.最基础的教学方法是让学生折叠角，利用一个直角三角形来观察折痕数量和位置，从而得到角的平分线. （三）形数互变
如图3所示，平面直角坐标系是学生形成数形结合思想最关键的一种工具，平面直角坐标系不只能表示相应的位置关系，同时也是几何与代数两个大模块之间的重要桥梁.平面直角坐标系能够将有序实数对和平面上的点一一对应，通过图像的形式表述函数的关系，使学生能够用几何方法来表述代数关系或者运用代数方法来研究几何性质.尤其是在学习一次函数的过程中，所涉及的变量与函数概念是学生在未来学习更高难度数学知识的重要前提.函数、变量、图像在后续学段中的应用极其广泛，学习平面直角坐标系能够帮助学生有效解决各类问题.
例如，一次函数 y=kx b，k≠0.首先，可以确定的是k的正负值会决定直线在图像中的变化趋势，也可以说 k决定了函数y随x的变化規律.当了解上述情况后，教师就可以运用数形结合思想，将k>0，k<0两种方式进行推导并在这两种情况下分别观察 b>0，b=0，b<0三种情况，画出函数图像，确定其经过的象限，并最终得到直线的变化趋势.同时，教师还可以鼓励学生在解一次函数问题时构建思维导图，用核心词、箭头表述不同情况，从而得到精准的答案.数形结合思维让解题方式更简单有效，这也是学生未来学习更高难度函数知识的基础.
（四）数形结合的教学建议
为培养学生数形结合思想，教师需要在教学过程中结合教材内容，了解学生的身心发展特点和理解能力，在各个教学环节充分渗透数形结合思想.从课前预习、课上教学、课后复习、随堂小结、教学评价等环节不断强调数形结合思想的重要性，并循序渐进地提高自身数形结合思想能力.另外，由于初中学段部分知识点抽象性、综合性较强，因此需要教师注重对学生思维形式的培养，让学生能够发掘数轴、绝对值、坐标系、函数等知识点和数形结合思想之间的潜在联系.为了实现这一目标，教师需要着重培养学生对数字和图形的敏感度和联想能力，让学生在了解了形的特征和数字的定量关系之后，不断挖掘其存在的内在等式和不等式，了解不同数字、点、公式在图像上的运用方法，了解数字在图像中的特性，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.
结束语
综上所述，数形结合思想既是初中数学教学过程中最基础的数学能力之一，同时也是转化学生学习方式、学习理念的重要途径.无论在加深各知识点关联性，还是学习新知识点时都发挥着积极的作用.为了让学生更好地掌握数形结合思想，教师需要结合不同案例向学生渗透以数化形、以形变数、数形互变、数形结合等概念的实际应用方式，同时，强调各类知识点和数形结合思想潜在的逻辑关系，让学生能够将数形结合当成一种学习习惯，加强对数形结合思想的认知，深入挖掘教材，挖掘例题中蕴含的数学思想.为了让学生更加直观地了解数形结合在解题和实际生活中的运用，教师需要在课堂教学环节发挥互联网教学资源，运用信息化教学模式、多媒体教学方法和分组合作教学探究的特点，让学生充分讨论、积极联想，提高其思维灵活性和思维延展度.
【参考文献】
[1]王爱花.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析＼[J＼]. 中国校外教育，2017（05）：64.
[2]伍斌.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析＼[J＼]. 中国校外教育，2017（11）：60.
[3]张学虎，魏倩.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析＼[J＼]. 数学学习与研究，2019（24）：98..
【关键词】初中数学;教学方法;数形结合;案例分析
引 言
小学学段，随着课程教学的不断深入，小学生掌握了部分数学学科的基础知识.在初中学段，引导学生掌握数学思想、体会数学方法和了解数学知识的应用是数学教学过程中的核心内容.美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”.因此，领悟数学思想是帮助学生提高数学成绩、建立科学思维方式、形成创造性思维的有效途径.
一、我国初中数形结合教学存在的问题
（一）重视程度不足
部分数学教师对数形结合思想在初中数学教学过程中的应用的重视程度不足.在实际教学过程中，教师不仅需要讲解概念、定理、法则和公式等基础知识，还需要引导学生形成数形结合思想，提高自身数形结合的运用能力.例如，角平分线性质的定理就和数形结合思想紧密联系，需要教师在课堂教学环节明确指出并强化学生记忆.
（二）教学方法单一
在教學方法上，很多教师的教学形式过于单一，一味地追求“口述 板书”的传统教学形式.教师想通过这种简单的教学方式，使学生熟练地掌握数形结合思想，但是，多数学生基础知识掌握得不扎实、理解能力不过关，需要教师在传统教学的基础上灵活地运用多媒体课件进行教学，运用分组合作教学，为学生营造讨论氛围，使学生相互取长补短.例如，在学习平方差公式时，很多学生无法充分理解公式的几何意义.这时，教师应运用多媒体课件，运用分组合作的方式教学，降低学生的学习难度.
（三）忽视能力培养
部分教师过度重视培养学生解题技巧，忽视学生思维能力的培养.很多教师都希望能够通过课堂教学环节提高学生的数学成绩，一味地使用题海战术，忽略了学生是否真的从例题中获得启示，不关注学生是否形成了数形结合思想.这种教学方式下，学生仅初步了解了解题方式和基本思路.显然地，粗犷的题海战术无法渗透和训练学生的数学思想，甚至很多教师的这种教学理念直接导致学生不具备数形结合思想和能力.
二、数形结合教学开展的有效策略
教师需要明确数形结合思想是一种运动的思想，是一种变化的思想，同时也是一种在运用和计算的过程中需要不断转化的思想.教师应引导学生在动态思维模式下学习数形结合思想.例如，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满.在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图1所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是图中的哪一个？你能画出向另两个容器注水时水面高度h随时间t变化的图像（草图）吗？
如上题所示，运用动态思维方式研究这一例题，将每一个容器的形状和坐标系中的折线规律进行同步思考，更有利于学生理解数形结合思想的运用，同时可以有效加快学生的解题速度.在了解了O到A，A到B，B到C三段折线的角度之后，可以推导出B到C这一阶段液面高度增长速度最快，容器最顶层的体积最小.由此可以排除第2选项.再对比O到A，A到B两段可以得到第2层的液面上升速度最慢，由此可以排除1，最终答案为3号容器.此外，根据上述问题，学生在找出相对应的容器形状之后，还需要进行反向思维，运用坐标系中的折线反推出其他两个容器在注水时的液面高度.值得注意的是，在解题的全过程都需要学生保持动态思维模式.
（一）以数化形
在了解了数形结合思想是一种持续不断运动和变化的思维模式之后，数学教师就可以向学生渗透以数化形这一思维概念，让学生了解数字和图形之间的基本关系.
例如，平方差公式是初中数学课程教学中相对基础的知识点，而平方差的运用也是数形结合思想.运用的主要内容之一，比如，计算多项式 （x 1）（x-1）， （m 2）（m-2），（2x 1）（2x-1），通过计算并比较计算结果，找到其中存在的规律，从而计算出（a b）（a-b）.教师可以在结合多项式乘以多项式的法则基础上，运用几何图形来阐述这个知识点.根据教材内容，学生可以了解到（a b）（a-b）=a2-b2，根据几何公式，配合图2进行分析，可以得到a加b以及a减b的长度再利用图形面积的方式得到 a2，b2，2ab的面积由此计算出相应的平方差公式.
这种计算方式能够结合教材内容，根据公式的几何背景，培养学生数形结合的思想，同时也能够让学生对代数知识的认识更加具体、形象，便于其观察和计算.另外，教师也可以用割补法讲解上述例题.割补法是我国古代数学最重要的发现之一，是通过图形面积来表示多项式关系的一种有效途径.用图形来解释公式更加直观、形象，也有利于学生接受和记忆.教师通过几何方法将代数运算具体化，是数形结合思想的基本体现.然而这种数形结合的教学方式，虽然能够降低教学难度，但同时也存在局限性.
（二）以形变数
对学生来说，图形更加直观、形象，其能够将抽象的数学关系以具体的形式表现出来.但是，由于图形只能表示相应的比例和区间，因此想要明确定量，还需要借助数字计算的过程.尤其是当学生在面对过于简单或过于复杂的图形时，很难通过直接观察得到需要的规律和结论.为此，教师需要在图形教学的基础上以数字作为标准，使图形具有几何意义，引导学生发现其中规律，将图形数字化，进而有效解决图形问题.
例如，在教学“角平分线的性质”这一知识点的过程中，如何使学生熟练掌握该知识点，这需要教师利用图形和教材向学生阐述平分角的性质，介绍平分角仪器，让学生熟悉其操作方法并根据其工作原理结合动手实践，了解角的平分线性质和定理，在推导过程中总结数形结合思想.最基础的教学方法是让学生折叠角，利用一个直角三角形来观察折痕数量和位置，从而得到角的平分线. （三）形数互变
如图3所示，平面直角坐标系是学生形成数形结合思想最关键的一种工具，平面直角坐标系不只能表示相应的位置关系，同时也是几何与代数两个大模块之间的重要桥梁.平面直角坐标系能够将有序实数对和平面上的点一一对应，通过图像的形式表述函数的关系，使学生能够用几何方法来表述代数关系或者运用代数方法来研究几何性质.尤其是在学习一次函数的过程中，所涉及的变量与函数概念是学生在未来学习更高难度数学知识的重要前提.函数、变量、图像在后续学段中的应用极其广泛，学习平面直角坐标系能够帮助学生有效解决各类问题.
例如，一次函数 y=kx b，k≠0.首先，可以确定的是k的正负值会决定直线在图像中的变化趋势，也可以说 k决定了函数y随x的变化規律.当了解上述情况后，教师就可以运用数形结合思想，将k>0，k<0两种方式进行推导并在这两种情况下分别观察 b>0，b=0，b<0三种情况，画出函数图像，确定其经过的象限，并最终得到直线的变化趋势.同时，教师还可以鼓励学生在解一次函数问题时构建思维导图，用核心词、箭头表述不同情况，从而得到精准的答案.数形结合思维让解题方式更简单有效，这也是学生未来学习更高难度函数知识的基础.
（四）数形结合的教学建议
为培养学生数形结合思想，教师需要在教学过程中结合教材内容，了解学生的身心发展特点和理解能力，在各个教学环节充分渗透数形结合思想.从课前预习、课上教学、课后复习、随堂小结、教学评价等环节不断强调数形结合思想的重要性，并循序渐进地提高自身数形结合思想能力.另外，由于初中学段部分知识点抽象性、综合性较强，因此需要教师注重对学生思维形式的培养，让学生能够发掘数轴、绝对值、坐标系、函数等知识点和数形结合思想之间的潜在联系.为了实现这一目标，教师需要着重培养学生对数字和图形的敏感度和联想能力，让学生在了解了形的特征和数字的定量关系之后，不断挖掘其存在的内在等式和不等式，了解不同数字、点、公式在图像上的运用方法，了解数字在图像中的特性，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.
结束语
综上所述，数形结合思想既是初中数学教学过程中最基础的数学能力之一，同时也是转化学生学习方式、学习理念的重要途径.无论在加深各知识点关联性，还是学习新知识点时都发挥着积极的作用.为了让学生更好地掌握数形结合思想，教师需要结合不同案例向学生渗透以数化形、以形变数、数形互变、数形结合等概念的实际应用方式，同时，强调各类知识点和数形结合思想潜在的逻辑关系，让学生能够将数形结合当成一种学习习惯，加强对数形结合思想的认知，深入挖掘教材，挖掘例题中蕴含的数学思想.为了让学生更加直观地了解数形结合在解题和实际生活中的运用，教师需要在课堂教学环节发挥互联网教学资源，运用信息化教学模式、多媒体教学方法和分组合作教学探究的特点，让学生充分讨论、积极联想，提高其思维灵活性和思维延展度.
【参考文献】
[1]王爱花.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析＼[J＼]. 中国校外教育，2017（05）：64.
[2]伍斌.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析＼[J＼]. 中国校外教育，2017（11）：60.
[3]张学虎，魏倩.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析＼[J＼]. 数学学习与研究，2019（24）：98..