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对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的关系式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解得待定系数，从而使问题得以解决，这个方法叫待定系數法.此法在初中数学中有着广泛的应用，下面举例予以说明.
一、函数方面的应用
待定系数法最常见的就是在函数方面的应用，用以确定函数表达式.主要原因就是不管是一次函数、反比例函数还是二次函数都有其固定的形式，这为建立方程（组）提供了依据.
例1 已知二次函数的图像经过点（-1，
-6）、（1，-2）和（2，3）.求这个二次函数的关系式.
【分析】因为题中给的是图像过三个普通点，所以应该设二次函数的一般形式y=ax2 bx c（a，b，c为常数，a≠0），接着将点的横、纵坐标代入函数表达式，求出a，b，c的值.
解：设二次函数的解析式为y=ax2 bx c（a，b，c为常数，a≠0），
由题意得，[-6=a-b c，-2=a b c，3=4a 2b c，]解得[a=1，b=2，c=-5.]
解析式为：y=x2 2x-5.
【点评】本题主要考查的是如何用待定系数法确定函数的表达式，正确解答此题的关键是设出函数的一般形式，代入点的坐标，得到方程组，求出系数，即可求出函数表达式.
例2 已知关于x的一次函数y=kx b的图像平行于直线y=-3x 4，且其图像经过点（3，0），求此一次函数的解析式.
【分析】两个一次函数的图像互相平行，即k的值相同.
解：因为一次函数y=kx b的图像平行于直线y=-3x 4，所以k=-3，所求一次函数为y=-3x b，
把x=3，y=0代入y=-3x b中得0=-9 b，
∴b=9，
∴一次函数的解析式为y=-3x 9.
【点评】若一次函数y=k1x b1与y=k2x b2的图像互相平行，则k1=k2且b1≠b2.故求一次函数的解析式时，可先直接求出k的值，再找一个条件求出b的值即可.两个图像（直线）平移也属互相平行关系.
二、因式分解中的应用
例3 如果x3 ax2 bx 8有两个因式x 1和x 2，则a b=（ ）.
A.7 B.8 C.15 D.21
【分析】原多项式必能分解为三个一次因式的积，第三个因式应该是形如x c的一次二项式，故可以考虑用待定系数法求解本题.
解：可设x3 ax2 bx 8=（x 1）（x 2）（x c），展开等号右边部分得x3 ax2 bx 8=x3 （3 c）x2 （2 3c）x 2c，比较系数，
得[a=3 c，b=2 3c，8=2c，]求得[a=7，b=14，c=4.]
a b=21，故选D.
【点评】本题主要考查因式分解的概念，解决本题的关键是利用代数恒等式的定义，系数对应相等，从而求出待定的系数.
例4 分解因式x4 x3 4x2-3x 5.
【分析】这是一个关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法分解成两个二次三项式的乘积.
解：设x4 x3 4x2-3x 5
=（x2 ax 1）（x2 bx 5）
=x4 （a b）x3 （ab 6）x2 （5a b）x 5，
比较等式两边同次项的系数，
得[1=a b，①4=ab 6，②-3=5a b，③]
由①③式确定a=-1，b=2，代入②成立，
∴x4 x3 4x2-3x 5=（x2-x 1）（x2 2x 5）.
【点评】在上述过程中，又因为5=（-1）×（-5），若设原式=（x2 ax-1）（x2 bx-5），则得到关于a，b的方程组无解.故运用待定系数法时，有时需要用计算来排除某种分解不可能的情况.
三、用于拆分分式
例5 已知：[x2-x 2xx-3x 2]=[Ax] [Bx-3] [Cx 2]，求A，B，C的值.
【分析】可直接去分母，得x2-x 2=A（x-3）（x 2） Bx（x 2） Cx（x-3）=（A B C）x2 （-A 2B-3C）x-6A，比较等式两边同次项的系数，得[1=A B C，-1=-A 2B-3C，2=-6A，]
解这个方程组得[A=-13，B=815，C=45.]
【点评】本题主要考查将一个分式分成几个分式的和.解决本题首先应将分母去掉，这样形式上会简单很多，然后等号两边分别整理，利用代数恒等式的定义，得到关于系数的方程组，从而求出待定系数的值.
综上，待定系数法实质上是一种求未知系数的方法.经常将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个代数恒等式.然后根据代数恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式.
（作者单位：江苏省丰县初级中学）
一、函数方面的应用
待定系数法最常见的就是在函数方面的应用，用以确定函数表达式.主要原因就是不管是一次函数、反比例函数还是二次函数都有其固定的形式，这为建立方程（组）提供了依据.
例1 已知二次函数的图像经过点（-1，
-6）、（1，-2）和（2，3）.求这个二次函数的关系式.
【分析】因为题中给的是图像过三个普通点，所以应该设二次函数的一般形式y=ax2 bx c（a，b，c为常数，a≠0），接着将点的横、纵坐标代入函数表达式，求出a，b，c的值.
解：设二次函数的解析式为y=ax2 bx c（a，b，c为常数，a≠0），
由题意得，[-6=a-b c，-2=a b c，3=4a 2b c，]解得[a=1，b=2，c=-5.]
解析式为：y=x2 2x-5.
【点评】本题主要考查的是如何用待定系数法确定函数的表达式，正确解答此题的关键是设出函数的一般形式，代入点的坐标，得到方程组，求出系数，即可求出函数表达式.
例2 已知关于x的一次函数y=kx b的图像平行于直线y=-3x 4，且其图像经过点（3，0），求此一次函数的解析式.
【分析】两个一次函数的图像互相平行，即k的值相同.
解：因为一次函数y=kx b的图像平行于直线y=-3x 4，所以k=-3，所求一次函数为y=-3x b，
把x=3，y=0代入y=-3x b中得0=-9 b，
∴b=9，
∴一次函数的解析式为y=-3x 9.
【点评】若一次函数y=k1x b1与y=k2x b2的图像互相平行，则k1=k2且b1≠b2.故求一次函数的解析式时，可先直接求出k的值，再找一个条件求出b的值即可.两个图像（直线）平移也属互相平行关系.
二、因式分解中的应用
例3 如果x3 ax2 bx 8有两个因式x 1和x 2，则a b=（ ）.
A.7 B.8 C.15 D.21
【分析】原多项式必能分解为三个一次因式的积，第三个因式应该是形如x c的一次二项式，故可以考虑用待定系数法求解本题.
解：可设x3 ax2 bx 8=（x 1）（x 2）（x c），展开等号右边部分得x3 ax2 bx 8=x3 （3 c）x2 （2 3c）x 2c，比较系数，
得[a=3 c，b=2 3c，8=2c，]求得[a=7，b=14，c=4.]
a b=21，故选D.
【点评】本题主要考查因式分解的概念，解决本题的关键是利用代数恒等式的定义，系数对应相等，从而求出待定的系数.
例4 分解因式x4 x3 4x2-3x 5.
【分析】这是一个关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法分解成两个二次三项式的乘积.
解：设x4 x3 4x2-3x 5
=（x2 ax 1）（x2 bx 5）
=x4 （a b）x3 （ab 6）x2 （5a b）x 5，
比较等式两边同次项的系数，
得[1=a b，①4=ab 6，②-3=5a b，③]
由①③式确定a=-1，b=2，代入②成立，
∴x4 x3 4x2-3x 5=（x2-x 1）（x2 2x 5）.
【点评】在上述过程中，又因为5=（-1）×（-5），若设原式=（x2 ax-1）（x2 bx-5），则得到关于a，b的方程组无解.故运用待定系数法时，有时需要用计算来排除某种分解不可能的情况.
三、用于拆分分式
例5 已知：[x2-x 2xx-3x 2]=[Ax] [Bx-3] [Cx 2]，求A，B，C的值.
【分析】可直接去分母，得x2-x 2=A（x-3）（x 2） Bx（x 2） Cx（x-3）=（A B C）x2 （-A 2B-3C）x-6A，比较等式两边同次项的系数，得[1=A B C，-1=-A 2B-3C，2=-6A，]
解这个方程组得[A=-13，B=815，C=45.]
【点评】本题主要考查将一个分式分成几个分式的和.解决本题首先应将分母去掉，这样形式上会简单很多，然后等号两边分别整理，利用代数恒等式的定义，得到关于系数的方程组，从而求出待定系数的值.
综上，待定系数法实质上是一种求未知系数的方法.经常将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个代数恒等式.然后根据代数恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式.
（作者单位：江苏省丰县初级中学）