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摘 要：计算教学中的算法和算理相辅相成、不可分割，算法能知其然，而算理能知其所以然。文章根据“两位数除以一位数（首位除有余数）”的教学实践，思考了如何在探索算法中让学生自然地理解算理，提高数学素养，发展思维水平，培养数学思想。
关键词：操作;探究;算理;算法
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2020-03-02 文章编号：1674-120X（2020）24-0073-02
一、各抒己见
今天C 老师教了新课“两位数除以一位数（首位除有余数）”（苏教版三年级上册），课堂练习不尽如人意，错算 “68÷4=12”的就有8个学生。例题以图文形式呈现“把52只羽毛球分给2个班，平均每班分得多少只？”围绕问题，办公室的教师你一言我一语，展开了激烈的讨论。
T：很明显，错误的算法是受了前面例题（百位、十位都能整除）的影响，个位直接用“8÷4” 的，我班也有。
C：课上讲例题时还反复强调，十位上的5除以2，余下来的1必须和2合起来除，但学生做题时却忘了。
X：我在课上是用分小棒的方法让学生理解这步的。先分整捆的，余下来的1捆可以表示10个1，和2的计数单位一样，就应该合起来组成12，否则有什么意义呢？操作活动是必需的，这个算理也自然而然。
C：我何尝没分过呢？新课就新在这“一小步”上。
Z（笔者）：或许我们认为很自然的“一小步”，却是学生难点突破的“一大步”。
讨论中教师用“肯定”“自然而然”等词语来加强算理的說服力，果真如此吗？或许有些问题上，教师嘴上的“自然而然”，在学生眼里却是另一番样子。如笔者所言，难点上每跨出的“一小步”都是一种飞跃。
二、课堂实践
针对错误，笔者进行了调查，学生回答“之前教师讲过，要一位一位地除”。这也验证了：小棒是分了，计算时却“涛声依旧”，反映在竖式计算上就是机械模仿、“油水分离”，算法和算理的内在关联未能真正打通。因为笔者间隔一天教学，所以有机会进行课堂的实践和再思考。
（一）借助操作理解算理
片段一：（注：例题中的“52只”改成“72只”）
师：同学们用竖式算出了结果，还验算证明36是正确的，真了不起！为什么这样算？能借助小棒（7整捆和零散2根）分一分吗？（小组活动后交流）
生1：我们小组是先分2根，每份有1根。然后把7捆平均分，每份3捆，还多出来1捆再分，每份是5根。一共是3捆加1根，再加5根，合起来36根。
生2：我们先将7捆分成两份，每份3捆。多出来的1捆再分，每份5根。最后分剩下的2根，每份1根。这样3个十、5个一、1个一加起来是36。
生3：我们觉得第二步可以把1捆10根与2根合成12根，平均分成两份，每份是6根。结果也是36。
师：哪种分法次数最少？同学们支持哪一种？
生4：我支持第三种，因为只要分两次。再说“12÷2”可以口算。
（也有支持前两种的，认为也简便的）
思考：有学生会列竖式计算，教师追问“为什么这样算”是为了让学生“知其所以然”，分小棒活动就提供了探究的时间和空间。“儿童的智慧在指尖。”操作活动让计算有了趣味性，为感悟算理提供了原型，算法便能落地生根。学生的分法多元化，但没有明显的优劣之分，为后面的优化做了铺垫。
（二）通过改编例题丰富算理
片段二：
师：还是这72只羽毛球，如果分给3个班，平均每班得多少只，你又怎么分呢？（小组再合作）
生4：我们组这样分，先把7捆平均分成3份，每份2捆，就分掉了6捆。再把剩下1捆与2根合成12根，12÷3=4。2捆加4根一共是24根。
师：那有没有谁先分零散的2根呢？（生答没有，师转而问生1的意见）
生1：我们小组也是先分7捆的，如果先分2根，分不了啊。
师：可不是嘛！那余下的1捆，你们是单独分，还是与2根合起来再分呢？（学生纷纷答“合起来分”）有不同意见吗？
生2：10根平均分成3份有余数，比较麻烦，和2根合起来一起分，正好每份4根。
生5：我发现整捆没分完，余下的1捆，和零头合起来分比较简便。
师：确实这样。这么多球，还可以平均分给几个班？（学生说：4个、6个…）谁愿意来试一试，看看每份多少只？
生6：我把7捆平均分成4份，每份1捆，这样就还余下3捆，与2合成32，32÷4=8，1捆加8根是18根。
…………
师：可以把72根小棒平均分成2份，还可以分成3份、4份…先分哪部分的小棒比较合理？如果有整捆的小棒余下来，怎么分才既简便又合理呢？
生7（惊喜地）：我发现把72根小棒无论平均分成几份，都是先分7捆小棒，只要有余下来的，无论是1捆或者几捆，都和剩下的2根合起来，再分一次就可以了，这样分最简便，次数也最少。（学生鼓掌）
思考：要想让学生理解算理真正地自然而然，操作活动就不能简单地“走过场”。在活动中，笔者通过创设“把72只羽毛球平均分成3份、4份、6份，每份多少”的问题情境，让学生在观察、比较中体会到“余下的一或几捆和2根合起来再分”是合理、恰当的，为列竖式计算打好基础，以实现从“一小步”向“一大步”的跨越。
（三）用数学语言归纳算法
“语言是思维的外壳。”分小棒的每一步都需要学生用数学语言条理清晰地讲出来，先分什么，平均分成几份，每份多少，分去多少，还余多少，再怎么分？学生每说一步，笔者就启发学生在竖式计算旁边“注解”（见下式），按“一除、二乘、三减”的步骤，除到有余数时笔者追问：“余下的1表示多少？怎么继续除下去？”学生联想到刚才分小棒的过程，一致认为如果“有余数”，应该和个位的2合起来继续除，自然而然地加上一步“四合”后再除。每一步算法和分小棒（算理）达到一一对应。这样，算法清清楚楚，算理明明白白，更重要的是算法和算理能互相说明、水乳交融，显得自然而然，避免了算法的“生吞活剥”。 以“72÷2”为例：
（四）通过多层练习对比算法
通过专项练习、对比练习和改错练习等，突出算理，突破难点，明确算法。比如，针对上面的竖式，教師提问“竖式中的两个6有什么不同？分别表示多少？怎么得到的？”检验学生对算理是否清楚。设计对比题组，如“77÷7”和“91÷7”“96÷3”和“96÷6”等，比较每组题计算时的相同点和不同点，把算法和算理融合、夯实。作业反馈效果好、正确率高，也证明这是教学的自然之道。
三、教学反思
（一）完善“直观操作—表象操作—抽象分析” 的过程提升，为算法和算理提供思维支撑
算法和算理好比一枚硬币的两面，相辅相成、不可分离，尤其对理解能力不够强的学困生而言，操作活动对理解算理、掌握算法起到了支撑作用。在操作中借助“小棒”“计数器”等数学工具，调动学生手、脑、口等各种感官参与，将抽象的算理形象地显示出来，为算理的构建提供原型支撑，学生初步形成了形象化的算理认识，有效地突破了“余下的整捆小棒怎么分”这个难点。但教师不能仅限于此，要逐步引导学生摆脱对具体形象的依赖，向“表象操作”“思维表征”过渡，用数学语言将算理和算法勾连，在经历数学化的过程中，学会抽象地思考问题。从直观、表象再到抽象的过程中，实现形象和抽象双向互通式的结合，为学生真正理解算理、构建算法提供支撑。
（二）注重算理的迁移、类比与拓展，为算法的“再创造”提供平台
算法是计算的规则和程序，但不应作为一种“强势规定”塞给学生，只有合情合理的结论，才能以理服人。“小学生的数学学习是一个经验激活、利用、调整、积累和提升的过程，是建立在经验基础之上的一个主动建构的过程”（周玉仁）。本课建立在旧知“两、三位数除以一位数（百位、十位都能整除）”上，新在“首位除有余数”怎么办？笔者通过创设“平分72只羽毛球”的问题情境，让学生在活动中充分探索，在新旧知识间展开意义联结，主动迁移、类比推理算理，进而让学生认识到在计算中“十位余下的数与个位合起来再除”是合理的、恰当的，为有效形成“新算法”的“再造”，进行结构建模，提升运算能力助力。
（三）顺应学生“数学思维—数学思想”的发展脉络，实现计算教学的旨归
在探索算法中让学生自然地理解算理，进而提高数学素养，发展思维水平，丰富数学思想，才是计算教学的旨归。学生在操作活动中经历着一系列的观察、比较、分析、综合、抽象与概括的思维活动，培养了缜密思考、勇于批判、比较择优、综合分析的思维水平和理性精神，从中感受到数学运算的思想精髓和神奇奥秘，并不断推向更高的思想境界。
一是数形结合思想。加强直观操作让数形相结合，不仅是一种数学思想，也是分析问题、解决问题的一种策略，能帮助学生化难为易、掌握本质。二是对应思想。简洁的除法竖式里的每一步运算，与小棒均分的过程一一对应，更好地实现了从算理到算法、从表象到抽象、从感性到理性的进阶与融合。三是最优化思想。通过创设数学问题情境串，教师能让学生在不断思考中自然而然地理解算理，优化思维，培养和丰富数学思想。
参考文献：
[1]高 静.算理探究应与算法孕伏融为一体[J].小学教学研究·教师版，2009（8）：8.
[2]纪玉洁.在计算教学中寻找“理”与“法”的平衡点[J].辽宁教育，2017（23）：39-40.
关键词：操作;探究;算理;算法
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2020-03-02 文章编号：1674-120X（2020）24-0073-02
一、各抒己见
今天C 老师教了新课“两位数除以一位数（首位除有余数）”（苏教版三年级上册），课堂练习不尽如人意，错算 “68÷4=12”的就有8个学生。例题以图文形式呈现“把52只羽毛球分给2个班，平均每班分得多少只？”围绕问题，办公室的教师你一言我一语，展开了激烈的讨论。
T：很明显，错误的算法是受了前面例题（百位、十位都能整除）的影响，个位直接用“8÷4” 的，我班也有。
C：课上讲例题时还反复强调，十位上的5除以2，余下来的1必须和2合起来除，但学生做题时却忘了。
X：我在课上是用分小棒的方法让学生理解这步的。先分整捆的，余下来的1捆可以表示10个1，和2的计数单位一样，就应该合起来组成12，否则有什么意义呢？操作活动是必需的，这个算理也自然而然。
C：我何尝没分过呢？新课就新在这“一小步”上。
Z（笔者）：或许我们认为很自然的“一小步”，却是学生难点突破的“一大步”。
讨论中教师用“肯定”“自然而然”等词语来加强算理的說服力，果真如此吗？或许有些问题上，教师嘴上的“自然而然”，在学生眼里却是另一番样子。如笔者所言，难点上每跨出的“一小步”都是一种飞跃。
二、课堂实践
针对错误，笔者进行了调查，学生回答“之前教师讲过，要一位一位地除”。这也验证了：小棒是分了，计算时却“涛声依旧”，反映在竖式计算上就是机械模仿、“油水分离”，算法和算理的内在关联未能真正打通。因为笔者间隔一天教学，所以有机会进行课堂的实践和再思考。
（一）借助操作理解算理
片段一：（注：例题中的“52只”改成“72只”）
师：同学们用竖式算出了结果，还验算证明36是正确的，真了不起！为什么这样算？能借助小棒（7整捆和零散2根）分一分吗？（小组活动后交流）
生1：我们小组是先分2根，每份有1根。然后把7捆平均分，每份3捆，还多出来1捆再分，每份是5根。一共是3捆加1根，再加5根，合起来36根。
生2：我们先将7捆分成两份，每份3捆。多出来的1捆再分，每份5根。最后分剩下的2根，每份1根。这样3个十、5个一、1个一加起来是36。
生3：我们觉得第二步可以把1捆10根与2根合成12根，平均分成两份，每份是6根。结果也是36。
师：哪种分法次数最少？同学们支持哪一种？
生4：我支持第三种，因为只要分两次。再说“12÷2”可以口算。
（也有支持前两种的，认为也简便的）
思考：有学生会列竖式计算，教师追问“为什么这样算”是为了让学生“知其所以然”，分小棒活动就提供了探究的时间和空间。“儿童的智慧在指尖。”操作活动让计算有了趣味性，为感悟算理提供了原型，算法便能落地生根。学生的分法多元化，但没有明显的优劣之分，为后面的优化做了铺垫。
（二）通过改编例题丰富算理
片段二：
师：还是这72只羽毛球，如果分给3个班，平均每班得多少只，你又怎么分呢？（小组再合作）
生4：我们组这样分，先把7捆平均分成3份，每份2捆，就分掉了6捆。再把剩下1捆与2根合成12根，12÷3=4。2捆加4根一共是24根。
师：那有没有谁先分零散的2根呢？（生答没有，师转而问生1的意见）
生1：我们小组也是先分7捆的，如果先分2根，分不了啊。
师：可不是嘛！那余下的1捆，你们是单独分，还是与2根合起来再分呢？（学生纷纷答“合起来分”）有不同意见吗？
生2：10根平均分成3份有余数，比较麻烦，和2根合起来一起分，正好每份4根。
生5：我发现整捆没分完，余下的1捆，和零头合起来分比较简便。
师：确实这样。这么多球，还可以平均分给几个班？（学生说：4个、6个…）谁愿意来试一试，看看每份多少只？
生6：我把7捆平均分成4份，每份1捆，这样就还余下3捆，与2合成32，32÷4=8，1捆加8根是18根。
…………
师：可以把72根小棒平均分成2份，还可以分成3份、4份…先分哪部分的小棒比较合理？如果有整捆的小棒余下来，怎么分才既简便又合理呢？
生7（惊喜地）：我发现把72根小棒无论平均分成几份，都是先分7捆小棒，只要有余下来的，无论是1捆或者几捆，都和剩下的2根合起来，再分一次就可以了，这样分最简便，次数也最少。（学生鼓掌）
思考：要想让学生理解算理真正地自然而然，操作活动就不能简单地“走过场”。在活动中，笔者通过创设“把72只羽毛球平均分成3份、4份、6份，每份多少”的问题情境，让学生在观察、比较中体会到“余下的一或几捆和2根合起来再分”是合理、恰当的，为列竖式计算打好基础，以实现从“一小步”向“一大步”的跨越。
（三）用数学语言归纳算法
“语言是思维的外壳。”分小棒的每一步都需要学生用数学语言条理清晰地讲出来，先分什么，平均分成几份，每份多少，分去多少，还余多少，再怎么分？学生每说一步，笔者就启发学生在竖式计算旁边“注解”（见下式），按“一除、二乘、三减”的步骤，除到有余数时笔者追问：“余下的1表示多少？怎么继续除下去？”学生联想到刚才分小棒的过程，一致认为如果“有余数”，应该和个位的2合起来继续除，自然而然地加上一步“四合”后再除。每一步算法和分小棒（算理）达到一一对应。这样，算法清清楚楚，算理明明白白，更重要的是算法和算理能互相说明、水乳交融，显得自然而然，避免了算法的“生吞活剥”。 以“72÷2”为例：
（四）通过多层练习对比算法
通过专项练习、对比练习和改错练习等，突出算理，突破难点，明确算法。比如，针对上面的竖式，教師提问“竖式中的两个6有什么不同？分别表示多少？怎么得到的？”检验学生对算理是否清楚。设计对比题组，如“77÷7”和“91÷7”“96÷3”和“96÷6”等，比较每组题计算时的相同点和不同点，把算法和算理融合、夯实。作业反馈效果好、正确率高，也证明这是教学的自然之道。
三、教学反思
（一）完善“直观操作—表象操作—抽象分析” 的过程提升，为算法和算理提供思维支撑
算法和算理好比一枚硬币的两面，相辅相成、不可分离，尤其对理解能力不够强的学困生而言，操作活动对理解算理、掌握算法起到了支撑作用。在操作中借助“小棒”“计数器”等数学工具，调动学生手、脑、口等各种感官参与，将抽象的算理形象地显示出来，为算理的构建提供原型支撑，学生初步形成了形象化的算理认识，有效地突破了“余下的整捆小棒怎么分”这个难点。但教师不能仅限于此，要逐步引导学生摆脱对具体形象的依赖，向“表象操作”“思维表征”过渡，用数学语言将算理和算法勾连，在经历数学化的过程中，学会抽象地思考问题。从直观、表象再到抽象的过程中，实现形象和抽象双向互通式的结合，为学生真正理解算理、构建算法提供支撑。
（二）注重算理的迁移、类比与拓展，为算法的“再创造”提供平台
算法是计算的规则和程序，但不应作为一种“强势规定”塞给学生，只有合情合理的结论，才能以理服人。“小学生的数学学习是一个经验激活、利用、调整、积累和提升的过程，是建立在经验基础之上的一个主动建构的过程”（周玉仁）。本课建立在旧知“两、三位数除以一位数（百位、十位都能整除）”上，新在“首位除有余数”怎么办？笔者通过创设“平分72只羽毛球”的问题情境，让学生在活动中充分探索，在新旧知识间展开意义联结，主动迁移、类比推理算理，进而让学生认识到在计算中“十位余下的数与个位合起来再除”是合理的、恰当的，为有效形成“新算法”的“再造”，进行结构建模，提升运算能力助力。
（三）顺应学生“数学思维—数学思想”的发展脉络，实现计算教学的旨归
在探索算法中让学生自然地理解算理，进而提高数学素养，发展思维水平，丰富数学思想，才是计算教学的旨归。学生在操作活动中经历着一系列的观察、比较、分析、综合、抽象与概括的思维活动，培养了缜密思考、勇于批判、比较择优、综合分析的思维水平和理性精神，从中感受到数学运算的思想精髓和神奇奥秘，并不断推向更高的思想境界。
一是数形结合思想。加强直观操作让数形相结合，不仅是一种数学思想，也是分析问题、解决问题的一种策略，能帮助学生化难为易、掌握本质。二是对应思想。简洁的除法竖式里的每一步运算，与小棒均分的过程一一对应，更好地实现了从算理到算法、从表象到抽象、从感性到理性的进阶与融合。三是最优化思想。通过创设数学问题情境串，教师能让学生在不断思考中自然而然地理解算理，优化思维，培养和丰富数学思想。
参考文献：
[1]高 静.算理探究应与算法孕伏融为一体[J].小学教学研究·教师版，2009（8）：8.
[2]纪玉洁.在计算教学中寻找“理”与“法”的平衡点[J].辽宁教育，2017（23）：39-40.