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【摘要】“立体几何”在高考中是考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力，以及运算求解能力的重要知识载体。笔者对近几年的全国新课标卷的立体几何部分进行了详细的分析，除发现每份试题基本都包含了二道选填题与一道解答题，都涉及了锥体、柱体、旋转体等空间几何体，以及难度中等偏上等以外，还发现了很多隐性的命题特点。
【关键词】立体几何；三视图；逆向
某位全国新课标卷高考命题专家曾说过，“逻辑推理能力”是数学特有的，是与其它学科的一个重要区别，而“立体几何”中的证明体系说是考查逻辑推理能力的一个重要载体，同时，还可以通过它考查空间想象能力与运算求解能力，这是立体几何独有的特性。笔者认为，这就是造成立体几何部分得分偏低，考生普遍认为比“统计概率”难得分的重要原因。为此，笔者对近年全国新课标卷的立体几何部分进行了详细的分析，发现了很多隐性的命题特点，希望能对大家有所启发。
一、“平面几何”的常见结论随处可见
解题过程中除经常要用到“三角形的高、中线、角平分线、中位线、比例线段等对应的性质，勾股定理，菱形的对角线相互垂直”等知识外，以下结论也是随处可见：
结论一：如果一个三角形的一边是另一边的两倍（倍角三角形），且它们的夹角为60?，则此三角形为直角三角形。
【例1】（2013年全国Ⅰ卷文理第18题）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60?.
（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）略.
分析：取AB中点E，连结CE，A1B，A1E，则在△AA1E中，AA1=2AE，∠BAA1=60?，所以A1E⊥AB.
【例2】（2016年天津高考第18题）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，，DE=3，∠BAD=60?，G为BC的中点.
（Ⅰ）略；（Ⅱ）求证：平面BED⊥平面AED.
分析：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60?，所以BD⊥AD.由此可見，这个结论不仅在全国新课标卷常出现，在其它省份试题中也有体现.
结论二：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两端长度比都是2：1。
【例3】（2012年全国卷理科第11题）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
分析：题意如图，△ABC是边长为1的正三角形，D是其外接圆圆心，则D是△ABC的三条中线的交点，故ED：DC=1：2，即，然后再求其它量。
结论三：矩形的一边长是另一边长的两倍（方形），则较长边的中点与对边顶点的连线互相垂直。
【例4】（2012年全国卷文理第19题）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90?，，D是棱AA1的中点.
（I） 证明：平面BDC⊥平面BDC1（文）；
证明：DC1⊥BC（理）；（Ⅱ）略.
分析：在矩形ACC1A1中，D是AA1的中点，则有DC1⊥DC.
以上常见结论，考生在备考中要注意熟练运用，另外，还有一些结论，如：E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，则有AF⊥DE（图略），备考时也要注意。
二、“三视图”还原成“直观图”并不容易
“三视图”知识在小学与初中都出现过，高考中如何借用“三视图”考查考生的空间想象能力，全国新课标卷做了很好的典范，命题套路虽然还是“先给出三视图，再还原成直观图，然后再求其它量”，但是“还原成直观图”这一步考生若空间感觉不强是很难完成的。
【例5】（2015年全国Ⅱ卷文理第6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右，则截去部分体积和剩余部分体积的比值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
分析：初看题目，以为不难，寥寥几笔，而且拿正方体来截去一部分后剩下的几何体常常在考题中出现，但本题中被截去的部分究竟是哪一部分，笔者认为，临场时考生一定不容易想到是平面AB1D1（如图），若审题不清，考生可能会误认为要切去好几块后才能变成这样。
【例6】 （2015年全国Ⅰ卷文理第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16 20π，则r=（ ）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
分析：题目中只给出主视图与俯视图，但是由于事先告知该组合体是圆柱被一平面截去一部分后再与半球结合而成，通过充分的想象后才能确定该组合体为“一个半径为r的半球（圆面对着正前方）与底面半径为2r的半圆柱（截面向上）组成”，确实不容易想到.
【例7】（2016年全国III卷理科第9题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
（A） （B）
（C）90 （D）81
分析：由已知中的三视图可得，该几何体是斜四棱柱，其左右侧面的面积为：，前后侧面的面积为3×6×2这是最容易混淆的地方，很多考生第一反应拿4个侧面面积相等来计算。
笔者认为，提升考生的空间想象能力是解好“三视图”这道题的关键，备考时不能走马观花，要让考生把空间概念一步一步地建立起来。
三、“逆向求解”是其常用命题方式
传统的立体几何解答题通常会设置两个问题，第（1）问是证明平行或垂直，第（2）问是求解空间几何体的体积或空间角（包括异面直线所成的角、线面角或二面角），但近年来，第（2）问的设置越来越灵活，“逆向求解”成了其常用命题方式。 【例8】（2014年全国Ⅱ卷理科第18题） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点。
（Ⅰ）证明：BP∥平面 AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60?，AP=1，，求三棱锥E-ACD的体积。
分析：第（Ⅱ）问中把“二面角D-AE-C”当成已知条件，与传统的命题方式不同，但其实解答的思路还是没有太大变化，只是对考生分析问题与解决问题的能力要求明显要高一些。
【例9】（2015年全国Ⅰ卷文科第18题） 如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD。
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠BAA=120?，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积。
分析：第（2）问把“三棱锥E-ACD的体积”当成已知条件，通过它能求出菱形ABCD的边长与高BE，再来求三棱锥E-ACD的“侧面积”，考生平常训练最多的可能是“等体积法”，类似这样的题目要解答好，考生备考时就不要养成思维定势，要切实空间想象能力与运算求解能力提升上去。
四、“作好辅助线，建好坐标系”是解题的关键
笔者发现，无论文科还是理科，在要求证明“两直线异面垂直、线面平行或垂直”时常要求作好辅助线，如【例1】，而理科的第（2）问在需要建立空间直角坐标系时，则通常没有现成的三边。为了更好地考查考生的空间想象能力与运算求解能力，怎样建系才能更有利于求解，往往需要考生自已观察、思考，并作出判断。
【例10】（2016年全国1卷文科第18题）如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为E，连接PE并延长交AB于点G.
（I）证明G是AB的中点；
（II）作出点E在平面PAC内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积.
分析：第（II）问中，在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为点E在平面PAC内的正投影，本题是通过线线垂直、线面垂直，点在面上的正投影等知识，考查考生空间想象能力，推理论证能力，其中理解题意并作好辅助线是解决本题的关键。
【例11】（2015年全国Ⅰ卷理科第18题） 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120?，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
分析：第（1）问证明面面垂直并不是常用的由线面垂直到面面垂直，而是连结BD，设其交点为O，再连结OE、OF，证明∠EOF=90?，要作三条辅助线；而第（2）问的建系过程中，由于“四边形ABCD为菱形，∠BAA=120?”，所以AB、BC、BE不能自动成系。考生可能会最初会想到“以B为原点，BC为x轴，过B且垂直于BC的直线为y轴，BE为z轴建立坐标系”，但是这样建系的计算量较大。最好的办法是“以O为原点，AC与BD分别是x、y轴，过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立坐标系”，计算量不大，而且运用了第（1）问的辅助线。所以，考生解题过程中不要急于动笔，要把最佳的建系方法找到，减少运算量，增加成功率。
总之，对“立体几何”的备考切忌“急功近利，好高骛远”，而是要“扎扎实实，脚踏实地”，考生要通过备考时解答每一道题，把几种必须的能力素养都提升上来，而不是猜题、押题。当然，如果在此基础上，我们还能深刻地领悟到不同试卷的命题特点，那就更是如虎添翼，百战百胜了。
参考文献：
[1]洪其強.立体几何热点和考点预测 [J].中学数学研究，2016，8.
【关键词】立体几何；三视图；逆向
某位全国新课标卷高考命题专家曾说过，“逻辑推理能力”是数学特有的，是与其它学科的一个重要区别，而“立体几何”中的证明体系说是考查逻辑推理能力的一个重要载体，同时，还可以通过它考查空间想象能力与运算求解能力，这是立体几何独有的特性。笔者认为，这就是造成立体几何部分得分偏低，考生普遍认为比“统计概率”难得分的重要原因。为此，笔者对近年全国新课标卷的立体几何部分进行了详细的分析，发现了很多隐性的命题特点，希望能对大家有所启发。
一、“平面几何”的常见结论随处可见
解题过程中除经常要用到“三角形的高、中线、角平分线、中位线、比例线段等对应的性质，勾股定理，菱形的对角线相互垂直”等知识外，以下结论也是随处可见：
结论一：如果一个三角形的一边是另一边的两倍（倍角三角形），且它们的夹角为60?，则此三角形为直角三角形。
【例1】（2013年全国Ⅰ卷文理第18题）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60?.
（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）略.
分析：取AB中点E，连结CE，A1B，A1E，则在△AA1E中，AA1=2AE，∠BAA1=60?，所以A1E⊥AB.
【例2】（2016年天津高考第18题）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，，DE=3，∠BAD=60?，G为BC的中点.
（Ⅰ）略；（Ⅱ）求证：平面BED⊥平面AED.
分析：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60?，所以BD⊥AD.由此可見，这个结论不仅在全国新课标卷常出现，在其它省份试题中也有体现.
结论二：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两端长度比都是2：1。
【例3】（2012年全国卷理科第11题）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
分析：题意如图，△ABC是边长为1的正三角形，D是其外接圆圆心，则D是△ABC的三条中线的交点，故ED：DC=1：2，即，然后再求其它量。
结论三：矩形的一边长是另一边长的两倍（方形），则较长边的中点与对边顶点的连线互相垂直。
【例4】（2012年全国卷文理第19题）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90?，，D是棱AA1的中点.
（I） 证明：平面BDC⊥平面BDC1（文）；
证明：DC1⊥BC（理）；（Ⅱ）略.
分析：在矩形ACC1A1中，D是AA1的中点，则有DC1⊥DC.
以上常见结论，考生在备考中要注意熟练运用，另外，还有一些结论，如：E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，则有AF⊥DE（图略），备考时也要注意。
二、“三视图”还原成“直观图”并不容易
“三视图”知识在小学与初中都出现过，高考中如何借用“三视图”考查考生的空间想象能力，全国新课标卷做了很好的典范，命题套路虽然还是“先给出三视图，再还原成直观图，然后再求其它量”，但是“还原成直观图”这一步考生若空间感觉不强是很难完成的。
【例5】（2015年全国Ⅱ卷文理第6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右，则截去部分体积和剩余部分体积的比值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
分析：初看题目，以为不难，寥寥几笔，而且拿正方体来截去一部分后剩下的几何体常常在考题中出现，但本题中被截去的部分究竟是哪一部分，笔者认为，临场时考生一定不容易想到是平面AB1D1（如图），若审题不清，考生可能会误认为要切去好几块后才能变成这样。
【例6】 （2015年全国Ⅰ卷文理第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16 20π，则r=（ ）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
分析：题目中只给出主视图与俯视图，但是由于事先告知该组合体是圆柱被一平面截去一部分后再与半球结合而成，通过充分的想象后才能确定该组合体为“一个半径为r的半球（圆面对着正前方）与底面半径为2r的半圆柱（截面向上）组成”，确实不容易想到.
【例7】（2016年全国III卷理科第9题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
（A） （B）
（C）90 （D）81
分析：由已知中的三视图可得，该几何体是斜四棱柱，其左右侧面的面积为：，前后侧面的面积为3×6×2这是最容易混淆的地方，很多考生第一反应拿4个侧面面积相等来计算。
笔者认为，提升考生的空间想象能力是解好“三视图”这道题的关键，备考时不能走马观花，要让考生把空间概念一步一步地建立起来。
三、“逆向求解”是其常用命题方式
传统的立体几何解答题通常会设置两个问题，第（1）问是证明平行或垂直，第（2）问是求解空间几何体的体积或空间角（包括异面直线所成的角、线面角或二面角），但近年来，第（2）问的设置越来越灵活，“逆向求解”成了其常用命题方式。 【例8】（2014年全国Ⅱ卷理科第18题） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点。
（Ⅰ）证明：BP∥平面 AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60?，AP=1，，求三棱锥E-ACD的体积。
分析：第（Ⅱ）问中把“二面角D-AE-C”当成已知条件，与传统的命题方式不同，但其实解答的思路还是没有太大变化，只是对考生分析问题与解决问题的能力要求明显要高一些。
【例9】（2015年全国Ⅰ卷文科第18题） 如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD。
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠BAA=120?，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积。
分析：第（2）问把“三棱锥E-ACD的体积”当成已知条件，通过它能求出菱形ABCD的边长与高BE，再来求三棱锥E-ACD的“侧面积”，考生平常训练最多的可能是“等体积法”，类似这样的题目要解答好，考生备考时就不要养成思维定势，要切实空间想象能力与运算求解能力提升上去。
四、“作好辅助线，建好坐标系”是解题的关键
笔者发现，无论文科还是理科，在要求证明“两直线异面垂直、线面平行或垂直”时常要求作好辅助线，如【例1】，而理科的第（2）问在需要建立空间直角坐标系时，则通常没有现成的三边。为了更好地考查考生的空间想象能力与运算求解能力，怎样建系才能更有利于求解，往往需要考生自已观察、思考，并作出判断。
【例10】（2016年全国1卷文科第18题）如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为E，连接PE并延长交AB于点G.
（I）证明G是AB的中点；
（II）作出点E在平面PAC内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积.
分析：第（II）问中，在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为点E在平面PAC内的正投影，本题是通过线线垂直、线面垂直，点在面上的正投影等知识，考查考生空间想象能力，推理论证能力，其中理解题意并作好辅助线是解决本题的关键。
【例11】（2015年全国Ⅰ卷理科第18题） 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120?，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
分析：第（1）问证明面面垂直并不是常用的由线面垂直到面面垂直，而是连结BD，设其交点为O，再连结OE、OF，证明∠EOF=90?，要作三条辅助线；而第（2）问的建系过程中，由于“四边形ABCD为菱形，∠BAA=120?”，所以AB、BC、BE不能自动成系。考生可能会最初会想到“以B为原点，BC为x轴，过B且垂直于BC的直线为y轴，BE为z轴建立坐标系”，但是这样建系的计算量较大。最好的办法是“以O为原点，AC与BD分别是x、y轴，过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立坐标系”，计算量不大，而且运用了第（1）问的辅助线。所以，考生解题过程中不要急于动笔，要把最佳的建系方法找到，减少运算量，增加成功率。
总之，对“立体几何”的备考切忌“急功近利，好高骛远”，而是要“扎扎实实，脚踏实地”，考生要通过备考时解答每一道题，把几种必须的能力素养都提升上来，而不是猜题、押题。当然，如果在此基础上，我们还能深刻地领悟到不同试卷的命题特点，那就更是如虎添翼，百战百胜了。
参考文献：
[1]洪其強.立体几何热点和考点预测 [J].中学数学研究，2016，8.