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[摘要]以微积分内容为载体，从内容选择、例题、问题情境开展等几个方面，分别阐述如何在微积分中开展探究性学习的措施。
[关键词]高等数学；微积分；探究性学习
1 微积分中的探究性学习
现代微积分有时作为“数学分析”的同义语，通常数学分析的概念很广，包括微积分、级数论、函数论、微分方程、积分方程、变分法和泛函分析等，这些学科又称“分析数学”，在古典意义下，微积分是微分学和积分学的合称，它不仅是分析学的基础部分，而且是现代数学的基础部分，微积分中蕴含的重要思想是极限思想，这是初等数学中从未涉及的，以“直”代“曲”，以“局部”研究“整体”，无穷分割等思想，使人类思维进入到无限小分析领域，使人类的视野由有限到无限，由静止到运动，由常量到变量，由孤立到发展，这种思维的探究有利于学生形成辩证逻辑思维，使复杂问题简单化，改变以往初等数学中认为数学只是静态的观点，认识数学所具有的动态方面，因此，微积分中的探究性学习定义为：微积分中的探究性学习是指学生围绕一定微积分中的问题、文本或材料，在教师的指导下，通过自主地参与发现问题、分析问题和解决问题等一系列探索微积分的活动或过程(其中包括思维、情感和动作等方面的活动)，来获得知识和技能、发展能力、培养情感体验为目的的一种学习方式和学习过程，目前微积分探究性学习在具体实施中存在诸多问题，开展情况不理想，主要原因是起主导作用的教师缺乏一套行之有效且操作性强的实施方式和措施，表现出其强烈的愿望与具体操作之间存在着矛盾，因此，建立一套操作性和适用性强的实施措施以解决这一矛盾，是目前微积分教学改革所必需的。
2 选择恰当的概念进行探究
概念学习的实质是掌握同类事物共同的关键特征，微积分的概念、定理等内容的提出，分析和论证过程，知识的发生、发展形成过程，思路的探索，方法及规律的概括过程等内容，都可设计为探究问题。概念形成是指学生从大量同类事物的不同例证中独立发现事物的关键特征，从而获得概念的过程，概念是微积分学习的重点与核心，是进行判断、推理和建立定理的基础，是思维的细胞、浓缩的知识点，清晰的概念是正确思维的前提，因此，重视学生概念形成的探究十分重要，微积分概念的形成是从具体到抽象的过程，具有复杂性和抽象性，学生对极限、导数、微分、积分等抽象概念的理解不够深刻，特别以“ε-N”，“ε-δ”语言这种高度抽象与概括描述居多，学生难以理解其定义，掌握其实质，学生获得概念的过程是抽象概括的过程，在教学中应关注概念的实际背景，探究知识的形成过程，克服机械记忆概念的学习方式。例如，极限概念以无限接近为主旨，而无限接近归结于有限线段的无限可分性，这是形象思维的典型，教学时通过具体实例，让学生体会极限能够反映实际事物的变化规律，为了使学生易于接受和掌握数学概念，教师应先创设学习概念的情境，设法唤起学生原有认知结构中的有关知识和经验，学习导数概念时，通过瞬时速度和切线的斜率引进和探究，提取函数的变化率问题，使学生经历感性认识到理性认识的飞跃，再用极限定义变化率的实质加深导数概念的理解。
3 选择恰当的例题进行探究
例题与习题是教学的有机组成部分，是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体。通过选择富于启迪，深浅程度与思维活动都符合学生个体发展需要和认知规律的例题与习题，应用特殊的数学思想方法，将其结论作推广或拓广的引申，从而作为探究的重要材料，能有效地启发学生思维，引导学生的探究热情，推广探究是对一个命题进行推广，培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，培养学生在某个基本解决问题的基础上提出新的问题，通过学生主动尝试、探索及分析研究，促进学生求异思维及发散思维的发展，利用恰当的例题与习题对其结论作推广探究，可以加深学生对原有结论的理解，并得到一些形式相似的结论。加强了学生的探究意识，历史上，由于牛顿和莱布尼兹等人未能认识无穷小的本质，造成了逻辑推演中的漏洞，错误的推导竟然得出正确有效的结果，从而激励人们为微积分建立严格的基础而努力，使得极限论获得了巨大的发展，伹要注意由片面感性认识而产生的错误，例如，由于有“b＞a”的观念，推导出“定积分∫baf(x))dx具有单调性”的错误论断，其原因是未能掌握定积分本质是二型曲线积分，而不是一型曲线积分的知识，从有限推广到无限仅注重形式而忽略本质也会产生错误，等等。
4 选择问题情景开展探究
探究的对象本身既是问题，同时又是研究的出发点和焦点，微积分发展史启示我们，问题是微积分建立和发展的起点和动力，微积分产生的背景是四类问题，正是在解决这些问题的努力中产生了微积分，而微积分探究性学习是以问题的形式引导学生经历知识的发生、发展过程，微积分问题情景的创设对于探究性学习具有重要的意义，它是第一步，也是最关键的一步，因此，教师要努力创设问题情景开展探究，培养学生敢探、肯探、好探问题，激发学生思维的积极性，例如，学习“二型曲面积分”时，提出“由和式极限导出的积分有哪些，它们是否具备单调性”的问题。经过思考，学生们列举出定积分、重积分及一型、二型曲线曲面积分之后，关于单调性问题出现了不同意见的争论。课堂气氛十分活跃，教师及时组织课堂讨论，并逐步引导学生从积分表示形式人手，抓住确定一个积分单调性的最本质的东西——积分中的微元，于是得出结论：“除二型曲线、曲面积分(定积分是二型曲线积分之特例)外，上述几种积分均具有单调性，而二型曲线(曲面)积分不具单调性，其原因在于有向微元dx(有向面积元dxdy)未必大于零”。
5 利用几何直观开展探究
微积分的基本属性之一是抽象，大学生头脑中形象的东西比较多，有比较扎实的基本功，这为他们理解微积分中的抽象概念及理论提供了形象的实例，有利于对抽象概念的理解数学家把点与数对应、曲线与方程对应的思想进一步推广，探究出函数与点、函数集与空间相对应的思想，在此基础上创立了泛函分析这一新的数学分支，再如，对不等式“sinx＜x＜tanx”用几何图像进行探究非常直观；学习“函数f(x)在区间一致连续”的概念时，结合具体例子借图形理解定义，以达到真懂的境界；在三类可积函数的学习中，“若f(x)在[a，b]连续，则f(x)在[a，b]可积”的定理在学习时可从几何直观进行探究，根据可积准则的几何意义把要证问题转化为几何问题较为直观；函数极限性质中的保序性定理，闭区间连续函数性质定理的证明以及一些例题等均可借助几何直观探究学习，教师从推演细节中探究出证明的中心思想，借助几何直观讲解定理，以此提高学生分析和解决抽象问题的能力。
[参考文献]
[1]郑隆忻，高等师范数学教育研究[M].武汉：华中科技大学出版社，2001.
[2]吴亚萍，基于新基础教育的探究性学习：以数学力主例[J].课程·教材·教法，2004(2).
[关键词]高等数学；微积分；探究性学习
1 微积分中的探究性学习
现代微积分有时作为“数学分析”的同义语，通常数学分析的概念很广，包括微积分、级数论、函数论、微分方程、积分方程、变分法和泛函分析等，这些学科又称“分析数学”，在古典意义下，微积分是微分学和积分学的合称，它不仅是分析学的基础部分，而且是现代数学的基础部分，微积分中蕴含的重要思想是极限思想，这是初等数学中从未涉及的，以“直”代“曲”，以“局部”研究“整体”，无穷分割等思想，使人类思维进入到无限小分析领域，使人类的视野由有限到无限，由静止到运动，由常量到变量，由孤立到发展，这种思维的探究有利于学生形成辩证逻辑思维，使复杂问题简单化，改变以往初等数学中认为数学只是静态的观点，认识数学所具有的动态方面，因此，微积分中的探究性学习定义为：微积分中的探究性学习是指学生围绕一定微积分中的问题、文本或材料，在教师的指导下，通过自主地参与发现问题、分析问题和解决问题等一系列探索微积分的活动或过程(其中包括思维、情感和动作等方面的活动)，来获得知识和技能、发展能力、培养情感体验为目的的一种学习方式和学习过程，目前微积分探究性学习在具体实施中存在诸多问题，开展情况不理想，主要原因是起主导作用的教师缺乏一套行之有效且操作性强的实施方式和措施，表现出其强烈的愿望与具体操作之间存在着矛盾，因此，建立一套操作性和适用性强的实施措施以解决这一矛盾，是目前微积分教学改革所必需的。
2 选择恰当的概念进行探究
概念学习的实质是掌握同类事物共同的关键特征，微积分的概念、定理等内容的提出，分析和论证过程，知识的发生、发展形成过程，思路的探索，方法及规律的概括过程等内容，都可设计为探究问题。概念形成是指学生从大量同类事物的不同例证中独立发现事物的关键特征，从而获得概念的过程，概念是微积分学习的重点与核心，是进行判断、推理和建立定理的基础，是思维的细胞、浓缩的知识点，清晰的概念是正确思维的前提，因此，重视学生概念形成的探究十分重要，微积分概念的形成是从具体到抽象的过程，具有复杂性和抽象性，学生对极限、导数、微分、积分等抽象概念的理解不够深刻，特别以“ε-N”，“ε-δ”语言这种高度抽象与概括描述居多，学生难以理解其定义，掌握其实质，学生获得概念的过程是抽象概括的过程，在教学中应关注概念的实际背景，探究知识的形成过程，克服机械记忆概念的学习方式。例如，极限概念以无限接近为主旨，而无限接近归结于有限线段的无限可分性，这是形象思维的典型，教学时通过具体实例，让学生体会极限能够反映实际事物的变化规律，为了使学生易于接受和掌握数学概念，教师应先创设学习概念的情境，设法唤起学生原有认知结构中的有关知识和经验，学习导数概念时，通过瞬时速度和切线的斜率引进和探究，提取函数的变化率问题，使学生经历感性认识到理性认识的飞跃，再用极限定义变化率的实质加深导数概念的理解。
3 选择恰当的例题进行探究
例题与习题是教学的有机组成部分，是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体。通过选择富于启迪，深浅程度与思维活动都符合学生个体发展需要和认知规律的例题与习题，应用特殊的数学思想方法，将其结论作推广或拓广的引申，从而作为探究的重要材料，能有效地启发学生思维，引导学生的探究热情，推广探究是对一个命题进行推广，培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，培养学生在某个基本解决问题的基础上提出新的问题，通过学生主动尝试、探索及分析研究，促进学生求异思维及发散思维的发展，利用恰当的例题与习题对其结论作推广探究，可以加深学生对原有结论的理解，并得到一些形式相似的结论。加强了学生的探究意识，历史上，由于牛顿和莱布尼兹等人未能认识无穷小的本质，造成了逻辑推演中的漏洞，错误的推导竟然得出正确有效的结果，从而激励人们为微积分建立严格的基础而努力，使得极限论获得了巨大的发展，伹要注意由片面感性认识而产生的错误，例如，由于有“b＞a”的观念，推导出“定积分∫baf(x))dx具有单调性”的错误论断，其原因是未能掌握定积分本质是二型曲线积分，而不是一型曲线积分的知识，从有限推广到无限仅注重形式而忽略本质也会产生错误，等等。
4 选择问题情景开展探究
探究的对象本身既是问题，同时又是研究的出发点和焦点，微积分发展史启示我们，问题是微积分建立和发展的起点和动力，微积分产生的背景是四类问题，正是在解决这些问题的努力中产生了微积分，而微积分探究性学习是以问题的形式引导学生经历知识的发生、发展过程，微积分问题情景的创设对于探究性学习具有重要的意义，它是第一步，也是最关键的一步，因此，教师要努力创设问题情景开展探究，培养学生敢探、肯探、好探问题，激发学生思维的积极性，例如，学习“二型曲面积分”时，提出“由和式极限导出的积分有哪些，它们是否具备单调性”的问题。经过思考，学生们列举出定积分、重积分及一型、二型曲线曲面积分之后，关于单调性问题出现了不同意见的争论。课堂气氛十分活跃，教师及时组织课堂讨论，并逐步引导学生从积分表示形式人手，抓住确定一个积分单调性的最本质的东西——积分中的微元，于是得出结论：“除二型曲线、曲面积分(定积分是二型曲线积分之特例)外，上述几种积分均具有单调性，而二型曲线(曲面)积分不具单调性，其原因在于有向微元dx(有向面积元dxdy)未必大于零”。
5 利用几何直观开展探究
微积分的基本属性之一是抽象，大学生头脑中形象的东西比较多，有比较扎实的基本功，这为他们理解微积分中的抽象概念及理论提供了形象的实例，有利于对抽象概念的理解数学家把点与数对应、曲线与方程对应的思想进一步推广，探究出函数与点、函数集与空间相对应的思想，在此基础上创立了泛函分析这一新的数学分支，再如，对不等式“sinx＜x＜tanx”用几何图像进行探究非常直观；学习“函数f(x)在区间一致连续”的概念时，结合具体例子借图形理解定义，以达到真懂的境界；在三类可积函数的学习中，“若f(x)在[a，b]连续，则f(x)在[a，b]可积”的定理在学习时可从几何直观进行探究，根据可积准则的几何意义把要证问题转化为几何问题较为直观；函数极限性质中的保序性定理，闭区间连续函数性质定理的证明以及一些例题等均可借助几何直观探究学习，教师从推演细节中探究出证明的中心思想，借助几何直观讲解定理，以此提高学生分析和解决抽象问题的能力。
[参考文献]
[1]郑隆忻，高等师范数学教育研究[M].武汉：华中科技大学出版社，2001.
[2]吴亚萍，基于新基础教育的探究性学习：以数学力主例[J].课程·教材·教法，2004(2).