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一、错误例题及分析
现高中数学课本选修1-2（北师大版文科）第73页例题，如下：求曲线f（ｘ）=ｘ+２ｘlnｘ过点（1，0）的切线方程。
解：首先求出函数f（ｘ）=ｘ+２ｘlnｘ过点（1，0）的导函数
f′（ｘ）=ｘ′+（2ｘ）′lnｘ+2ｘ（lnｘ）′=1+2ｘln2lnｘ+2ｘ／x
将ｘ=1代入f′（ｘ）中得所求切线斜率f′（ｘ）=1+2′·ln2ln1+2=3
∴曲线f（ｘ）=ｘ+2ｘlnｘ过点（1，0）的切线方程为：у=3（ｘ－1）
分析：将点（1，0）代入曲线方程f（ｘ）=ｘ+2ｘlnｘ中得f（1）=1，故（1，0）点不在曲线上，用导数几何意义来解过曲线外点（1，0）处的切线斜率为f′（1）是错误的,因而解法不对。
二、切线定义的扩展
学习圆的切线时,知道直线与圆有唯一公共点或者圆心到直线距离等于半径时,该直线是圆的切线,这是特殊几何图形的切线定义,而现在用割线的极限位置来定义了函数图象切线(切线的定义不必叙述),往往由于受于对图形切线定义的影响,而对函数图象切线定义出现误解,两者是特殊与一般的关系,显然用函数图象的切线定义去解决问题更一般性和科学性。
三、求过点P（ｘ０，ｙ0）的曲线的切线方程的方法
例1求过曲线f（ｘ）=2ｘ2－2ｘ+4上一点的切线方程
解：f′（ｘ）=4ｘ－2，又点P(1，4)在曲线上，因而把ｘ=1代入f′（ｘ）中，求得切线斜率f′（1）=2
∴所求切线方程为：у－4=2（ｘ－1），即2ｘ－у+2=0
评：求过曲线上且为切点时的切线方程,可直接应用导数几何意义先求得切线斜率,再代入公式:у-у0=f′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）
例2求过点P（２，３）与抛物线у=ｘ2相切的切线方程
解：∵点P（２，３）不在抛物线上
∴设过点P（２，３）作曲线у=ｘ2的切线的切点为（ｘ０，ｘ０２）
у′=2ｘ即y︳ｘ=ｘ０=2ｘ０
∵切线过点（２，３）及点（ｘ０，ｘ０２）
∴解得：ｘ０=1或ｘ０=3，则斜率为2或6
∴所求切线为：у－3=2（ｘ－2）或у－3=6（ｘ－2）
即2ｘ－у－1=0或6ｘ－у－9=0
评：求切线方程时，若已知点不是切点，则先求切点再应用导数几何意义求斜率，进而求出切线议程。
练习：1.已知曲线方程为y=x2
（1）求过点A（2，4）点且与曲线相切的直线方程；
（2）求过点B（3，5）点且与曲线相切的直线方程。
（参考答案：①4x-y-4=0②2x-y-1=0或10x-y-25=0）
2.已知曲线y=■ｘ３＋■
（1）求曲线点Ａ（２，４）处的切线方程；
（2）求过曲线上点P（2，4）处的切线方程。
四、与曲线有唯一公共点的直线并非都是曲线的切线
例3求曲线у=ｘ３-3x2+2ｘ在点（0，0）处的切线方程，并求曲线与切线有几个交点。
解：у′=3x2-6ｘ+2
у′︳ｘ=0=2
∴所求曲线切线方程为у=2ｘ
由ｙ＝２ｘｙ＝ｘ３-3x2+2ｘ得ｙ＝０ｘ＝０，ｙ＝３ｘ＝６
故所求交点有两个为（0，０），（3，6）
评：切线并非一定与曲线只有一个公共点，公共点也不一定是切点。
例4求过点P（0，1）且与抛物线у2=2χ只有一个公共点的直线方程。
解：（1）过P（0，1）的直线斜率不在，即у轴，其方程为ｘ=0，它与抛物线有一个公共点；
（2）若过P（0，1）的直线斜率存在，设斜率为к，则方程为у=кｘ+1，ｙ＝ｋｘ＋１ｙ２＝2ｘ，得ｋ２x2+（2ｋ－2）x+1=0
若ｋ=0，则直线у=1与抛物线有唯一交点（■，１ ）
若к≠0，而直线与抛物线有唯一交点，即ｋ２x2+2（ｋ-1）ｘ+1=0有相等实根，△=4（ｋ-1）2-4ｋ２=0 解得ｋ=■，此时，所求直线方程为 y =■x+1
综上所述，所求直线方程为ｘ=0或у=1或x-2y+2=0（如图）
评：通过本题看到与曲线有唯一公共点的直线有相切，也有相交，考虑求直线方程时也应注意有无斜率情况，由此看到有割线极限位置定义割线更为重要。
方法技巧小结
求直线与曲线f（ｘ）=0交点时可通过两种途径代数法和几何法
（1）代数法
设直线方程为Aｘ+Bｘ+C=0（A，B不同为零），由方程组Aｘ+Bｘ+C=0f（ｘ，ｙ）=0的解判断其交点情况。
（2）几何法
借助图象直观地解决直线与曲线的交点，必需时辅以计算。
练习3：若曲线у2=ax与直线у=（a+1）x-1恰有一个公共点求实数a的取值范围。
综上所述，曲线у=f（ｘ）在点P处的切线（１）与点P的位置有关；（２）要依据过P的割线是否存在极限位置来判定求解,如存在,则在此点有切线,且切线是唯一的;若不存在则在此点无切线；（３）当函数在ｘ０处的导数不存在,只能说明曲线在这点的斜率不存在,但切线不一定不存在。（4）与曲线与唯一公共点的直线可能是切线也可能不是，要依据函数切线定义去判定。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
现高中数学课本选修1-2（北师大版文科）第73页例题，如下：求曲线f（ｘ）=ｘ+２ｘlnｘ过点（1，0）的切线方程。
解：首先求出函数f（ｘ）=ｘ+２ｘlnｘ过点（1，0）的导函数
f′（ｘ）=ｘ′+（2ｘ）′lnｘ+2ｘ（lnｘ）′=1+2ｘln2lnｘ+2ｘ／x
将ｘ=1代入f′（ｘ）中得所求切线斜率f′（ｘ）=1+2′·ln2ln1+2=3
∴曲线f（ｘ）=ｘ+2ｘlnｘ过点（1，0）的切线方程为：у=3（ｘ－1）
分析：将点（1，0）代入曲线方程f（ｘ）=ｘ+2ｘlnｘ中得f（1）=1，故（1，0）点不在曲线上，用导数几何意义来解过曲线外点（1，0）处的切线斜率为f′（1）是错误的,因而解法不对。
二、切线定义的扩展
学习圆的切线时,知道直线与圆有唯一公共点或者圆心到直线距离等于半径时,该直线是圆的切线,这是特殊几何图形的切线定义,而现在用割线的极限位置来定义了函数图象切线(切线的定义不必叙述),往往由于受于对图形切线定义的影响,而对函数图象切线定义出现误解,两者是特殊与一般的关系,显然用函数图象的切线定义去解决问题更一般性和科学性。
三、求过点P（ｘ０，ｙ0）的曲线的切线方程的方法
例1求过曲线f（ｘ）=2ｘ2－2ｘ+4上一点的切线方程
解：f′（ｘ）=4ｘ－2，又点P(1，4)在曲线上，因而把ｘ=1代入f′（ｘ）中，求得切线斜率f′（1）=2
∴所求切线方程为：у－4=2（ｘ－1），即2ｘ－у+2=0
评：求过曲线上且为切点时的切线方程,可直接应用导数几何意义先求得切线斜率,再代入公式:у-у0=f′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）
例2求过点P（２，３）与抛物线у=ｘ2相切的切线方程
解：∵点P（２，３）不在抛物线上
∴设过点P（２，３）作曲线у=ｘ2的切线的切点为（ｘ０，ｘ０２）
у′=2ｘ即y︳ｘ=ｘ０=2ｘ０
∵切线过点（２，３）及点（ｘ０，ｘ０２）
∴解得：ｘ０=1或ｘ０=3，则斜率为2或6
∴所求切线为：у－3=2（ｘ－2）或у－3=6（ｘ－2）
即2ｘ－у－1=0或6ｘ－у－9=0
评：求切线方程时，若已知点不是切点，则先求切点再应用导数几何意义求斜率，进而求出切线议程。
练习：1.已知曲线方程为y=x2
（1）求过点A（2，4）点且与曲线相切的直线方程；
（2）求过点B（3，5）点且与曲线相切的直线方程。
（参考答案：①4x-y-4=0②2x-y-1=0或10x-y-25=0）
2.已知曲线y=■ｘ３＋■
（1）求曲线点Ａ（２，４）处的切线方程；
（2）求过曲线上点P（2，4）处的切线方程。
四、与曲线有唯一公共点的直线并非都是曲线的切线
例3求曲线у=ｘ３-3x2+2ｘ在点（0，0）处的切线方程，并求曲线与切线有几个交点。
解：у′=3x2-6ｘ+2
у′︳ｘ=0=2
∴所求曲线切线方程为у=2ｘ
由ｙ＝２ｘｙ＝ｘ３-3x2+2ｘ得ｙ＝０ｘ＝０，ｙ＝３ｘ＝６
故所求交点有两个为（0，０），（3，6）
评：切线并非一定与曲线只有一个公共点，公共点也不一定是切点。
例4求过点P（0，1）且与抛物线у2=2χ只有一个公共点的直线方程。
解：（1）过P（0，1）的直线斜率不在，即у轴，其方程为ｘ=0，它与抛物线有一个公共点；
（2）若过P（0，1）的直线斜率存在，设斜率为к，则方程为у=кｘ+1，ｙ＝ｋｘ＋１ｙ２＝2ｘ，得ｋ２x2+（2ｋ－2）x+1=0
若ｋ=0，则直线у=1与抛物线有唯一交点（■，１ ）
若к≠0，而直线与抛物线有唯一交点，即ｋ２x2+2（ｋ-1）ｘ+1=0有相等实根，△=4（ｋ-1）2-4ｋ２=0 解得ｋ=■，此时，所求直线方程为 y =■x+1
综上所述，所求直线方程为ｘ=0或у=1或x-2y+2=0（如图）
评：通过本题看到与曲线有唯一公共点的直线有相切，也有相交，考虑求直线方程时也应注意有无斜率情况，由此看到有割线极限位置定义割线更为重要。
方法技巧小结
求直线与曲线f（ｘ）=0交点时可通过两种途径代数法和几何法
（1）代数法
设直线方程为Aｘ+Bｘ+C=0（A，B不同为零），由方程组Aｘ+Bｘ+C=0f（ｘ，ｙ）=0的解判断其交点情况。
（2）几何法
借助图象直观地解决直线与曲线的交点，必需时辅以计算。
练习3：若曲线у2=ax与直线у=（a+1）x-1恰有一个公共点求实数a的取值范围。
综上所述，曲线у=f（ｘ）在点P处的切线（１）与点P的位置有关；（２）要依据过P的割线是否存在极限位置来判定求解,如存在,则在此点有切线,且切线是唯一的;若不存在则在此点无切线；（３）当函数在ｘ０处的导数不存在,只能说明曲线在这点的斜率不存在,但切线不一定不存在。（4）与曲线与唯一公共点的直线可能是切线也可能不是，要依据函数切线定义去判定。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”