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摘 要: 错误是中学生在学习中普遍存在的现象,本文作者结合学生实际和教学经验,归纳总结了概念理解不到位、计算能力不过关、方法选择不习惯三种常见的错误根源,并针对错误根源给出了教学策略:重视概念教学、培养计算能力、培养选择方法的意识、从错误中寻找资源。
关键词: 高中数学错误 类型 成因 教学策略
什么是错误?传统观念认为是学生在学习过程中所产生的各种不同于“标准观念”或“标准答案”的想法(或作法)。小学生学数学常犯错,中学生随着数学知识的拓展、加深,随着逻辑性、抽象性和应用性的增强,错误更是五花八门,难以预料。错误就像学生的影子,赶也赶不走。下面我们一起探讨归纳高中数学错误的类型,分析错误的成因,寻找教学策略。
一、错误的类型及成因
1.概念理解不到位
心理学研究表明:中学生大多是从功用性定义或具体形象描述水平向接近本质定义或具体解释水平转化。掌握抽象概念有一定困难,在一定程度上要依靠主观的、具体的内容,特别是比较复杂的抽象概念,还抓不住其本质属性,分不清主次的特征,所以学生做题时经常出错。举例如下:函数的定义域是函数的灵魂,而学生往往视而不见,例如在求二次函数、三角函数的值域时,往往忽略定义域,在求函数的单调区间,特别是求对数的复合函数的单调区间时,把定义域抛到了九霄云外。又如“空集”是一个抽象概念,学生更是该想着的时候没想着。举例如下:已知集合A是集合B的子集,B={-1,1},A={x |ax 1=0},求a的值。很多同学的解法如下:
解:因为A是B的子集,所以A={-1}或A={1}或A={-1,1}。
又因为ax 1=0不可能有两个解,所以A={-1,1}舍去。
当A={-1}时,解得a=1;当A={1}时,解得a=-1,
所以的a值为-1或1。
这个解题过程显然忽略了集合A是“空集”的时候。
2.计算能力不过关
运算准确是对运算能力的基本要求,它要求根据算理和题目的运算要求,有根有据地一步一步地实施运算。在运算过程中使用的概念、公式、法则要准确无误,最终才能保证运算结果的正确性,只要运算的全过程的某一环节出现问题,就会导致整个运算的错误。一些学生不太注重运算错误,认为那只是一时疏忽。其实运算出错并不能简单地归结为粗心,往往是由于跳步或者公式、法则运用不合理等造成的。再加上高中阶段,有些教师只重视解题思路的分析,计算过程通常是留给学生课后解决,但是由于高中学生学习任务重,空闲时间少,练就成了纸上谈兵,久而久之,一些学生养成了只列式不运算,重思路、轻运算的,以看代算的不良习惯。
3.方法选择不习惯
在高中数学学习的过程中,“学知”与“学做”总是密不可分的,学习完新知识以后,往往必须通过“学做”去验证。可是在这个“做”的过程中,往往伴随着许多问题,教师经常遇到的是:学生反映在“学知”时看似已经掌握的知识,但到自己解题时,总是一看便做,一做就错,或者解题很繁琐。有时,在考完试或者讲解完一道题后,常常看到学生拍脑袋:“唉,这么简单!我怎么就想不到呢?”事实上,学生并不是因为这些问题太难解答或是其知识面上的缺失,而是在解题中缺乏整体酝酿、选择方法的习惯。这种意识的缺失,有的是来自于教师教学中的疏漏,而更多的则来自于学生自身。这就要求教师在平时教学中注重指导和培养学生选择和优化解题方法的意识。
二、教学策略
1.重视概念教学
概念教学是基础知识和基本技能教学的核心,正确理解概念是学好数学的基础,学好概念是学好数学最重要的一环。在一些学生数学之所以差,概念不清往往是最直接的原因,特别是普通中学的学生,数学素养的差异关键是对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此,我认为抓好概念教学是提高教学质量的带有根本性意义的一环。教师在教学过程中如果能够充分考虑到这一因素,抓住有限的概念教学的契机,提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的。同时,数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件和必要保障。通过研究和实践,我觉得数学概念的教学可以在如下方面作些努力与探索。
(1)教师要清醒地认识到所教概念的重要性,以及其在整个数学体系中的地位和作用。
概念教学不能简单地处理为“看懂—背诵—理解—运用”的模式。目前,对中学数学概念教学,有两种不同的观点:一种观点是要“淡化概念,注重实质”,另一种观点是要保持概念阐述的科学性和严谨性。对这一问题的处理教师应该“轻其所轻,重其所重”,不能一概而论。提出“淡化概念,注重实质”是有针对性的,它指出了教材和教学中的一些弊端。一些次要和学生一时难以深刻理解但又必须引入的概念,在教学中教师必须对其定义作淡化的处理;但一些重要概念的定义还是应该以比较严格的形式给出为妥,否则学生容易对概念产生误解和歧义。例如高中数学课程中的函数的概念,函数单调性的概念,等等,它们在数学学科体系中有重要的地位和作用。对这类概念,教师不但不能作淡化处理,而且要花大力气处理好,让学生对概念能较好地理解和掌握。总之,对于数学概念的处理,要取慎重的态度,继承和改革都不能偏废。
(2)教师对教学过程要作好充分地分析与思考。
首先,概念教学应该讲清概念的来源、形成。由于概念本身具有的严密性、抽象性和概括性,教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性,在方式上以“告诉”为主,让学生“占有”新概念,置学生于被动地位,这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情境中像数学家那样去“想数学”,“经历”一遍发现、创新的过程,那么在获得概念的同时还能培养创造精神。引入是概念教学的第一步,也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想。牛顿曾说:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”因此,在概念引入时,教师要有意识地培养学生敢于猜想的习惯。其次,在概念教学中注重学生思维品质的培养。如何设计数学概念教学,如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质,是我们在教学中经常遇到并且必须解决的问题。下面我以“数列的极限”一课的教学设计为例,谈谈概念教学中各个阶段上培养思维能力,优化思维品质的一点体会。①展示概念背景,培养思维的主动性。思维的主动性,表现为学生对数学充满热情,以学习数学为乐趣,在获得知识时有一种惬意的满足感,创设求知情境(观察圆的正n边形的周长an)就成为一条捷径。②培养思维的敏捷性。思维的敏捷性表现在思考问题时,以敏锐地感知,迅速提取有效信息,进行“由此思彼”的联想,果断、简捷地解决问题(思考n与an的变化趋势)。③精确表述概念,培养思维的准确性。思维的准确性是指思维符合逻辑,判断准确,概念清晰(数列极限的含义)。④解剖新概念,培养思维的缜密性。思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征,对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解,对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识(任何数列的极限都存在?)。⑤运用新概念,培养思维的深刻性。思维的深刻性主要表现在理解能力强,能抓住概念、定理的核心与知识的内在联系,准确地掌握概念的内涵与使用的条件和范围。在用概念判断命题的真伪时,能抓住问题的实质;在用概念解题时,能抓住问题的关键(数列极限的严格定义)。
2.培养计算能力
教学大纲规定:要培养中学生正确迅速的运算能力。高考考试大纲把运算能力考查排在各种能力考查的第二位。因此,在日常教学中,我们应该重视学生的运算能力的培养。首先要让学生准确理解和掌握基础知识。数学概念、公式、法则、性质,有的是运算的依据,有的是运算的方法与步骤。只有在理解掌握的基础上,再通过一系列练习,学生才能逐渐形成运算技能。其次要加强基础技能练习,形成运算技能。数学运算技能的形成过程是将数和式子进行处理的一连串外部操作方式与内部心智活动方式,经过反复练习而达到熟练的、自动化的反应过程。一些同学听课时,认为听懂老师讲的就行了,做练习时往往只是看看题目,大致想出思路后就跳过了。这就是这些同学考试时“一看就会,一做就错”的原因。因此,要使学生形成运算技能,教师还须进行适当的基础技能训练。
3.培养选择方法的意识
在高中数学学习的过程中,“学知”与“学做”总是密不可分的,学习完新知识以后,往往必须通过“学做”去验证。可是在这个“做”的过程中,往往伴随着许多问题,教师经常遇到的是:学生反映在“学知”时看似已经掌握的知识,但到自己解题时,总是一看便做,一做就错。事实上,学生并不是因为这些问题的解答太难或是其知识面上的缺失,而是在解题中缺乏整体酝酿、选择方法的习惯。因此,这就要求教师在平时教学中注重指导和培养学生选择方法的意识。
4.从错误中寻找资源
周恩来曾经说过:“要知道,错误常常是正确的先导。错误也是财富。错误能使自己变得聪明,成熟;错误能给他人提供向前的阶梯,提供有益的指路标向。”所以老师应科学辩证地对待学生的错误,从错误中找到财富、阶梯和指路标向。例如课堂上的错误,作业中的错误,还有试卷中的错误堪称挖掘财富的三大块宝地,若能充分利用,一定会促进学生的进步和发展。
了解错误,积累错误,善待错误,从错误中寻找丰富的数学资源,这样会让师生共同进步和成长。
参考文献:
[1]郭思乐.数学思维教育论.上海教育出版社.
[2]鲁献蓉.概念学习及其教学的过程与条件.
[3]朱新.概念教学与思维品质的培养.强化概念教学促进思维发展——数学教学点滴谈.
[4]余致甫.数学教育学概论.华东理工大学出版社.
关键词: 高中数学错误 类型 成因 教学策略
什么是错误?传统观念认为是学生在学习过程中所产生的各种不同于“标准观念”或“标准答案”的想法(或作法)。小学生学数学常犯错,中学生随着数学知识的拓展、加深,随着逻辑性、抽象性和应用性的增强,错误更是五花八门,难以预料。错误就像学生的影子,赶也赶不走。下面我们一起探讨归纳高中数学错误的类型,分析错误的成因,寻找教学策略。
一、错误的类型及成因
1.概念理解不到位
心理学研究表明:中学生大多是从功用性定义或具体形象描述水平向接近本质定义或具体解释水平转化。掌握抽象概念有一定困难,在一定程度上要依靠主观的、具体的内容,特别是比较复杂的抽象概念,还抓不住其本质属性,分不清主次的特征,所以学生做题时经常出错。举例如下:函数的定义域是函数的灵魂,而学生往往视而不见,例如在求二次函数、三角函数的值域时,往往忽略定义域,在求函数的单调区间,特别是求对数的复合函数的单调区间时,把定义域抛到了九霄云外。又如“空集”是一个抽象概念,学生更是该想着的时候没想着。举例如下:已知集合A是集合B的子集,B={-1,1},A={x |ax 1=0},求a的值。很多同学的解法如下:
解:因为A是B的子集,所以A={-1}或A={1}或A={-1,1}。
又因为ax 1=0不可能有两个解,所以A={-1,1}舍去。
当A={-1}时,解得a=1;当A={1}时,解得a=-1,
所以的a值为-1或1。
这个解题过程显然忽略了集合A是“空集”的时候。
2.计算能力不过关
运算准确是对运算能力的基本要求,它要求根据算理和题目的运算要求,有根有据地一步一步地实施运算。在运算过程中使用的概念、公式、法则要准确无误,最终才能保证运算结果的正确性,只要运算的全过程的某一环节出现问题,就会导致整个运算的错误。一些学生不太注重运算错误,认为那只是一时疏忽。其实运算出错并不能简单地归结为粗心,往往是由于跳步或者公式、法则运用不合理等造成的。再加上高中阶段,有些教师只重视解题思路的分析,计算过程通常是留给学生课后解决,但是由于高中学生学习任务重,空闲时间少,练就成了纸上谈兵,久而久之,一些学生养成了只列式不运算,重思路、轻运算的,以看代算的不良习惯。
3.方法选择不习惯
在高中数学学习的过程中,“学知”与“学做”总是密不可分的,学习完新知识以后,往往必须通过“学做”去验证。可是在这个“做”的过程中,往往伴随着许多问题,教师经常遇到的是:学生反映在“学知”时看似已经掌握的知识,但到自己解题时,总是一看便做,一做就错,或者解题很繁琐。有时,在考完试或者讲解完一道题后,常常看到学生拍脑袋:“唉,这么简单!我怎么就想不到呢?”事实上,学生并不是因为这些问题太难解答或是其知识面上的缺失,而是在解题中缺乏整体酝酿、选择方法的习惯。这种意识的缺失,有的是来自于教师教学中的疏漏,而更多的则来自于学生自身。这就要求教师在平时教学中注重指导和培养学生选择和优化解题方法的意识。
二、教学策略
1.重视概念教学
概念教学是基础知识和基本技能教学的核心,正确理解概念是学好数学的基础,学好概念是学好数学最重要的一环。在一些学生数学之所以差,概念不清往往是最直接的原因,特别是普通中学的学生,数学素养的差异关键是对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此,我认为抓好概念教学是提高教学质量的带有根本性意义的一环。教师在教学过程中如果能够充分考虑到这一因素,抓住有限的概念教学的契机,提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的。同时,数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件和必要保障。通过研究和实践,我觉得数学概念的教学可以在如下方面作些努力与探索。
(1)教师要清醒地认识到所教概念的重要性,以及其在整个数学体系中的地位和作用。
概念教学不能简单地处理为“看懂—背诵—理解—运用”的模式。目前,对中学数学概念教学,有两种不同的观点:一种观点是要“淡化概念,注重实质”,另一种观点是要保持概念阐述的科学性和严谨性。对这一问题的处理教师应该“轻其所轻,重其所重”,不能一概而论。提出“淡化概念,注重实质”是有针对性的,它指出了教材和教学中的一些弊端。一些次要和学生一时难以深刻理解但又必须引入的概念,在教学中教师必须对其定义作淡化的处理;但一些重要概念的定义还是应该以比较严格的形式给出为妥,否则学生容易对概念产生误解和歧义。例如高中数学课程中的函数的概念,函数单调性的概念,等等,它们在数学学科体系中有重要的地位和作用。对这类概念,教师不但不能作淡化处理,而且要花大力气处理好,让学生对概念能较好地理解和掌握。总之,对于数学概念的处理,要取慎重的态度,继承和改革都不能偏废。
(2)教师对教学过程要作好充分地分析与思考。
首先,概念教学应该讲清概念的来源、形成。由于概念本身具有的严密性、抽象性和概括性,教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性,在方式上以“告诉”为主,让学生“占有”新概念,置学生于被动地位,这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情境中像数学家那样去“想数学”,“经历”一遍发现、创新的过程,那么在获得概念的同时还能培养创造精神。引入是概念教学的第一步,也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想。牛顿曾说:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”因此,在概念引入时,教师要有意识地培养学生敢于猜想的习惯。其次,在概念教学中注重学生思维品质的培养。如何设计数学概念教学,如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质,是我们在教学中经常遇到并且必须解决的问题。下面我以“数列的极限”一课的教学设计为例,谈谈概念教学中各个阶段上培养思维能力,优化思维品质的一点体会。①展示概念背景,培养思维的主动性。思维的主动性,表现为学生对数学充满热情,以学习数学为乐趣,在获得知识时有一种惬意的满足感,创设求知情境(观察圆的正n边形的周长an)就成为一条捷径。②培养思维的敏捷性。思维的敏捷性表现在思考问题时,以敏锐地感知,迅速提取有效信息,进行“由此思彼”的联想,果断、简捷地解决问题(思考n与an的变化趋势)。③精确表述概念,培养思维的准确性。思维的准确性是指思维符合逻辑,判断准确,概念清晰(数列极限的含义)。④解剖新概念,培养思维的缜密性。思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征,对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解,对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识(任何数列的极限都存在?)。⑤运用新概念,培养思维的深刻性。思维的深刻性主要表现在理解能力强,能抓住概念、定理的核心与知识的内在联系,准确地掌握概念的内涵与使用的条件和范围。在用概念判断命题的真伪时,能抓住问题的实质;在用概念解题时,能抓住问题的关键(数列极限的严格定义)。
2.培养计算能力
教学大纲规定:要培养中学生正确迅速的运算能力。高考考试大纲把运算能力考查排在各种能力考查的第二位。因此,在日常教学中,我们应该重视学生的运算能力的培养。首先要让学生准确理解和掌握基础知识。数学概念、公式、法则、性质,有的是运算的依据,有的是运算的方法与步骤。只有在理解掌握的基础上,再通过一系列练习,学生才能逐渐形成运算技能。其次要加强基础技能练习,形成运算技能。数学运算技能的形成过程是将数和式子进行处理的一连串外部操作方式与内部心智活动方式,经过反复练习而达到熟练的、自动化的反应过程。一些同学听课时,认为听懂老师讲的就行了,做练习时往往只是看看题目,大致想出思路后就跳过了。这就是这些同学考试时“一看就会,一做就错”的原因。因此,要使学生形成运算技能,教师还须进行适当的基础技能训练。
3.培养选择方法的意识
在高中数学学习的过程中,“学知”与“学做”总是密不可分的,学习完新知识以后,往往必须通过“学做”去验证。可是在这个“做”的过程中,往往伴随着许多问题,教师经常遇到的是:学生反映在“学知”时看似已经掌握的知识,但到自己解题时,总是一看便做,一做就错。事实上,学生并不是因为这些问题的解答太难或是其知识面上的缺失,而是在解题中缺乏整体酝酿、选择方法的习惯。因此,这就要求教师在平时教学中注重指导和培养学生选择方法的意识。
4.从错误中寻找资源
周恩来曾经说过:“要知道,错误常常是正确的先导。错误也是财富。错误能使自己变得聪明,成熟;错误能给他人提供向前的阶梯,提供有益的指路标向。”所以老师应科学辩证地对待学生的错误,从错误中找到财富、阶梯和指路标向。例如课堂上的错误,作业中的错误,还有试卷中的错误堪称挖掘财富的三大块宝地,若能充分利用,一定会促进学生的进步和发展。
了解错误,积累错误,善待错误,从错误中寻找丰富的数学资源,这样会让师生共同进步和成长。
参考文献:
[1]郭思乐.数学思维教育论.上海教育出版社.
[2]鲁献蓉.概念学习及其教学的过程与条件.
[3]朱新.概念教学与思维品质的培养.强化概念教学促进思维发展——数学教学点滴谈.
[4]余致甫.数学教育学概论.华东理工大学出版社.