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高中數学题目复杂多变，但要真正掌握数学的解题精髓，那就需要对数学题目多作研究，从不同侧面去解决它，透过多变现象发现其本质，把握一条最佳的解题路径，从而对数学的解题规律有一个较为全面的认识、较为深刻的理解，但在倡导一题多解的时候，也要注意方式、方法，不能机械地去解决。何谓“一题多解”？简言之，就是从不同角度、按不同思路、用不同方法给出同一道习题的解答。“一题多解”有利于我们的学习它能启发我们对数学题目可能提出两种、三种甚至更多种解法，课堂成为我们同学之间合作、争辩、探究、交流的场所，它能极大提高我们的学习兴趣。还有利于我们积累解题经验，丰富解题方法，学会如何在其它学科乃至生活中综合运用已有知识的能力。
我们在数学学习过程中利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行学习，就能更好地在课堂上参与到老师的教学中去，从而使我们对数学学习的兴趣更加浓厚，不仅能使我们克服思维定势的影响，还可以使我们所学的知识得到活化，融会贯通，开阔思路，促进我们发散、创新思维能力的提高。
下面结合具体例题进行说明。
问题1.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.
解法1： 设M（x，y），由题意可得：（x-4）2+y2=（x+5）2，整理为y2=16 x
（直译法，求轨迹方程的一般方法。）
解法2：设点M的坐标为（x，y）.由条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x=-4的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.所以点M的轨迹方程为y2=16 x.（定义法，根据对象点的条件满足何种曲线的定义先判断出轨迹，再求相关量从而确定方程.）
说明：通过两种解法，努力建构完整的求轨迹方程的方法，形成一个整体（解题结束后要有小结与归纳），形成思想与方法，这才是解题的真正目的.
问题2.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。
解法1.直线AB的方程为[y=x-1]，设A、B两点坐标为[（x1，y1）、（x2，y2）]，与抛物线方程联立方程组：
[y=x-1y2=4x]解得[x1=3+2y1=3-2x2=2+22y2=2-22]，所以|AB|=8
解法2. 直线AB的方程为[y=x-1]，设A、B两点坐标为[（x1，y1）、（x2，y2）]，与抛物线方程联立方程组：
[y=x-1y2=4x]整理为[x2-6x+1=0]，可知[x1+x2=6，x1?x2=1，|x1-x2|=32]，所以|AB|=[1+k2?x1-x2=8]
解法3. 直线AB的方程为[y=x-1]，设A、B两点坐标为[（x1，y1）、（x2，y2）]，与抛物线方程联立方程组：
[y=x-1y2=4x]整理为[x2-6x+1=0]，可知[x1+x2=6，]，由抛物线的性质可知：|AB|=[x1+x2+2=8，]
说明：通过三种解法，努力建构系统的解题方法，方法1是最一般的求线段长的方法;方法2是直线与圆锥曲线位置关系中弦长公式的运用，也是一种通法但有缺陷（直线的斜率必须存在）;方法3是一种特殊方法，要理解抛物线的性质.三种方法代表不同的思维水平，通过本题的研究能对相关的知识与方法有更为深刻的体会，也能建构完整的知识体系。
孙维刚老师有个理念“时时刻刻、事事处处，总使知识以“系统中的知识”的面貌，出现在我们学生面前，着眼于知识之间的联系和规律，使我们养成从系统的高度去把握知识、认识世界和进行思考。”只要长期坚持，我们的创新思维能力就会不断提高。
问题3.过抛物线[y2=2px]的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为[y1、y2]，求证：[y1y2=-p2].
方法1. 设直线与抛物线的两个交点A、B的坐标为[（x1，y1）、（x2，y2）]直线AB的方程为[y=k（x-p2）]，与抛物线方程联立方程组：
[y=k（x-p2）y2=2px]整理为[y2-2pky-p2=0]，所以[y1y2=-p2].
若直线AB的斜率不存在，此时两个交点的坐标分别为[（p2，p）、（p2，-p）]，所以[y1y2=-p2].
方法2. 设直线与抛物线的两个交点A、B的坐标为[（y122p，y1）、（y222p，y2）]，又焦点F坐标为[（p2，0）]，A、B、F三点共线，所以直线AF与直线BF的斜率相等（有斜率的时候），所以有[（y122p-p2）?y2=（y222p-p2）?y1]，整理为：[（y1y2+p2）（y1-y2）=0]，因为[y1-y2≠0]，所以[y1y2=-p2].
若直线AB的斜率不存在，此时两个交点的坐标分别为[（p2，p）、（p2，-p）]，所以[y1y2=-p2].
方法3. 设直线与抛物线的两个交点A、B的坐标为[（y122p，y1）、（y222p，y2）]，又焦点F坐标为[（p2，0）]，A、B、F三点共线，所以[FA//FB]，又因为[FA=（y122p-p2，y1），FB=（y222p-p2，y2）]，所以有：[（y122p-p2）?y2=（y222p-p2）?y1]，整理为：[（y1y2+p2）（y1-y2）=0]，因为[y1-y2≠0]，所以[y1y2=-p2].
说明：在本题中同一个条件“过抛物线[y2=2px]的焦点的一条直线和此抛物线相交”联想到了三种不同的方法，而方法2与方法3本质上是一回事，是三点共线的两种体现。同一个条件可以有不同的体现，这是数学的魅力之一，这也正是可以“一题多解”的原因。 “一题多解”可以使我们从不同角度不同侧面去分析问题解决问题，从而使我们加深对知识与方法的理解，加深理解数学知识的内部联系和规律，提高数学思维的深刻性，提高我们的学习能力。
只要我们在平时学习过程中始终重视养成对问题“一题多解”的习惯，就能多角度分析问题，灵活运用已有知识方法多途径解决问题。这样就可以总结解题规律并能对知识与方法融会贯通，进一步发展我们的创新思维能力，我们的学习效率也会有很大提高。
我们在数学学习过程中利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行学习，就能更好地在课堂上参与到老师的教学中去，从而使我们对数学学习的兴趣更加浓厚，不仅能使我们克服思维定势的影响，还可以使我们所学的知识得到活化，融会贯通，开阔思路，促进我们发散、创新思维能力的提高。
下面结合具体例题进行说明。
问题1.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.
解法1： 设M（x，y），由题意可得：（x-4）2+y2=（x+5）2，整理为y2=16 x
（直译法，求轨迹方程的一般方法。）
解法2：设点M的坐标为（x，y）.由条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x=-4的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.所以点M的轨迹方程为y2=16 x.（定义法，根据对象点的条件满足何种曲线的定义先判断出轨迹，再求相关量从而确定方程.）
说明：通过两种解法，努力建构完整的求轨迹方程的方法，形成一个整体（解题结束后要有小结与归纳），形成思想与方法，这才是解题的真正目的.
问题2.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。
解法1.直线AB的方程为[y=x-1]，设A、B两点坐标为[（x1，y1）、（x2，y2）]，与抛物线方程联立方程组：
[y=x-1y2=4x]解得[x1=3+2y1=3-2x2=2+22y2=2-22]，所以|AB|=8
解法2. 直线AB的方程为[y=x-1]，设A、B两点坐标为[（x1，y1）、（x2，y2）]，与抛物线方程联立方程组：
[y=x-1y2=4x]整理为[x2-6x+1=0]，可知[x1+x2=6，x1?x2=1，|x1-x2|=32]，所以|AB|=[1+k2?x1-x2=8]
解法3. 直线AB的方程为[y=x-1]，设A、B两点坐标为[（x1，y1）、（x2，y2）]，与抛物线方程联立方程组：
[y=x-1y2=4x]整理为[x2-6x+1=0]，可知[x1+x2=6，]，由抛物线的性质可知：|AB|=[x1+x2+2=8，]
说明：通过三种解法，努力建构系统的解题方法，方法1是最一般的求线段长的方法;方法2是直线与圆锥曲线位置关系中弦长公式的运用，也是一种通法但有缺陷（直线的斜率必须存在）;方法3是一种特殊方法，要理解抛物线的性质.三种方法代表不同的思维水平，通过本题的研究能对相关的知识与方法有更为深刻的体会，也能建构完整的知识体系。
孙维刚老师有个理念“时时刻刻、事事处处，总使知识以“系统中的知识”的面貌，出现在我们学生面前，着眼于知识之间的联系和规律，使我们养成从系统的高度去把握知识、认识世界和进行思考。”只要长期坚持，我们的创新思维能力就会不断提高。
问题3.过抛物线[y2=2px]的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为[y1、y2]，求证：[y1y2=-p2].
方法1. 设直线与抛物线的两个交点A、B的坐标为[（x1，y1）、（x2，y2）]直线AB的方程为[y=k（x-p2）]，与抛物线方程联立方程组：
[y=k（x-p2）y2=2px]整理为[y2-2pky-p2=0]，所以[y1y2=-p2].
若直线AB的斜率不存在，此时两个交点的坐标分别为[（p2，p）、（p2，-p）]，所以[y1y2=-p2].
方法2. 设直线与抛物线的两个交点A、B的坐标为[（y122p，y1）、（y222p，y2）]，又焦点F坐标为[（p2，0）]，A、B、F三点共线，所以直线AF与直线BF的斜率相等（有斜率的时候），所以有[（y122p-p2）?y2=（y222p-p2）?y1]，整理为：[（y1y2+p2）（y1-y2）=0]，因为[y1-y2≠0]，所以[y1y2=-p2].
若直线AB的斜率不存在，此时两个交点的坐标分别为[（p2，p）、（p2，-p）]，所以[y1y2=-p2].
方法3. 设直线与抛物线的两个交点A、B的坐标为[（y122p，y1）、（y222p，y2）]，又焦点F坐标为[（p2，0）]，A、B、F三点共线，所以[FA//FB]，又因为[FA=（y122p-p2，y1），FB=（y222p-p2，y2）]，所以有：[（y122p-p2）?y2=（y222p-p2）?y1]，整理为：[（y1y2+p2）（y1-y2）=0]，因为[y1-y2≠0]，所以[y1y2=-p2].
说明：在本题中同一个条件“过抛物线[y2=2px]的焦点的一条直线和此抛物线相交”联想到了三种不同的方法，而方法2与方法3本质上是一回事，是三点共线的两种体现。同一个条件可以有不同的体现，这是数学的魅力之一，这也正是可以“一题多解”的原因。 “一题多解”可以使我们从不同角度不同侧面去分析问题解决问题，从而使我们加深对知识与方法的理解，加深理解数学知识的内部联系和规律，提高数学思维的深刻性，提高我们的学习能力。
只要我们在平时学习过程中始终重视养成对问题“一题多解”的习惯，就能多角度分析问题，灵活运用已有知识方法多途径解决问题。这样就可以总结解题规律并能对知识与方法融会贯通，进一步发展我们的创新思维能力，我们的学习效率也会有很大提高。